Динамика траекторий на фазовой плоскости

Страницы: 1 2 3

Личный вклад автора

Основные результаты диссертации получены лично автором. Постановка задач, обсуждение и интерпретация результатов расчетов осуществлялись совместно с научным руководителем.

Автору принадлежат реализация численных моделей, оценка и сопоставление результатов вычислений.

Автор принимал непосредственное участие в физической интерпретации результатов численных расчетов.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы

Актуальность данного исследования связана, в частности, с возможными приложениями в физике космических лучей и околоземного пространства. Земля постоянно бомбардируется заряженными частицами, приходящими из межзвёздного пространства. Обычно заряженные частицы с кинетической энергией Е свыше 100 Мэв называют космическими лучами (КЛ), а с меньшей энергией, порядка (1¸100) Мэв – субкосмическими лучами. Иногда интенсивность КЛ резко возрастает за счёт потоков частиц, порождаемых вспышками на Солнце. КЛ напоминают сильно разреженный релятивистский газ, частицы которого практически не взаимодействуют друг с другом, но испытывают редкие столкновения с веществом межзвёздной и межпланетной сред, а также воздействие космических магнитных полей. В составе КЛ преобладают протоны, имеются также электроны, позитроны, ядра гелия и атомных ядер, например, ¹Н, ³Li, ⁴Be, ¹⁰B, ⁵⁶Fe и ⁶⁰Co.

В окрестности Земли плотность потока КЛ составляет величину порядка  J ~ (0.2¸0.3) частиц/см²×сек×стерадиан. Несмотря на то, что объемная концентрация частиц КЛ довольно мала N ~ 10^-10 /см³, космические лучи обладают значительной плотностью энергии W = 1,5 эВ / см³, которая сравнима с плотностью энергии галактического магнитного поля и плотностью энергии турбулентных движений межзвездного газа. Поэтому КЛ необходимо учитывать при анализе динамики процессов в космической среде . Полная энергия КЛ для всей Галактики порядка 10⁵⁵ эрг, а с учетом галактического радиогало она составляет ~ 10⁵⁶ эрг.

Характерное время жизни частиц в КЛ с учетом гало толщиной ~ 4 кпк (1 парсек » 3.08×10¹³ км) порядка 10⁸ лет. Из сказанного выше следует, что источник генерации КЛ в Галактике обадает мощностью не менее (10⁴⁰ ¸ 10⁴¹) эрг/сек., что скорее всего обеспечено сверхновыми, пульсарами и взрывами галактического ядра. Однако, галактическое ядро не может быть источником регистрируемых в окрестности Солнца КЛ-электронов с энергиями E > (1 ¸ 10) Гэв поскольку, согласно оценкам, они на пути в солнечную систему теряют свою энергию за счет синхротронных и комптоновских потерь. Характерное время тормозных потерь энергии электронами КЛ порядка t_е = 3×10⁷ лет, что значительно меньше времени их движения в галактическом газовом диске [1].

Как показали исследования, развитие в космической плазме неустойчивостей, формирование турбулентности, генерация волн приводят к эффективному рассеянию и перемешиванию КЛ. Поэтому, даже первоначально сильно анизотропное распределение КЛ по направлениям импульсов частиц (особенно в окрестности источников их генерации) достаточно быстро релаксирует в Галактике и межгалактическом пространстве к изотропному распределению,  а их анизотропия становится весьма малой. Таким образом, наблюдаемое почти изотропное распределение КЛ по направлениям их прихода обусловлено перемешиванием КЛ в турбулентной межзвездной среде, включающей стохастические магнитные поля.

Следует отметить, что диаметр галактического газового диска порядка 2R ~ 10²³ см, его толщина порядка 6×10²⁰ см, а магнитное поле в среднем имеет величину H₀ ~ 5×10^-6 Гс. За время пребывания КЛ в Галактике они проходят толщу вещества 10 г / см² для энергии порядка 1 Гэв на нуклон.

По существующим в настоящее время представлениям космические лучи самых высоких энергий должны быть внегалактического происхождения и, соответственно, они должны иметь равномерное распределение по Вселенной. В качестве основных механизмов генерации КЛ обычно рассматриваются ускорение Ферми первого рода при многократном пересечении фронта ударной волны релятивистскими частицами и стохастическое ускорение зарядов случайными МГД-волнами.

Одним из механизмов генерации релятивистских частиц в космической плазме является формирование потоков ультрарелятивистских заряженных частиц, когда они резонансно взаимодействуют с электромагнитными волнами — серфинг зарядов на электромагнитных волнах.

Реализация механизма серфотронного ускорения заряженных частиц в магнитоактивной космической плазме происходит при следующих главных условиях:

• фазовая скорость электромагнитной волны должна быть меньше скорости света в вакууме (при выполнении этого условия возможен  черенковский резонанс волна-частица);
• амплитуда волны должна быть больше некоторого порогового значения (при выполнении этого условия и при наличии внешнего магнитного поля возникает эффективный потенциал, который удерживает частицу в ускоряющей фазе поля электромагнитной волны);
• во время захвата скорость заряда в направлении распространения волны должна быть близка к фазовой скорости волны.

Исследование механизмов формирования потоков ультрарелятивистских частиц входит в число актуальных задач современной астрофизики и представляет интерес для проблемы генерации космических лучей. Одним из главных механизмов формирования потоков ультрарелятивистских частиц является серфинг зарядов на электромагнитных волнах в космической плазме [2-12] причем он возможен в относительно спокойной космической плазме и не требует кризисных процессов типа взрывов сверхновых.

Поэтому для оценок числа ускоренных за счет серфинга частиц, их максимальной энергии и энергетических спектров необходим, в частности, анализ условий захвата заряженных частиц в режим сильного серфотронного ускорения волной, динамика характеристик захваченных частиц, эффективности ускорения при воздействии пакетов и волн конечной амплитуды. Важно также отметить, что ионизация верхней атмосферы космическими лучами может влиять на выпадение осадков, что при наличии вариаций КЛ (обусловленных, в частности, серфотронным ускорением) может вызывать сильные вариации крупномасштабного циклогенеза (высотные профили температуры  атмосферы, траектории циклонов). На связь вариаций КЛ с динамикой крупномасштабного циклогенеза  указывалось, например, в работах [13-14].

Цель и задачи диссертационной работы состоит в теоретическом исследовании на основе численных расчетов серфотронного ускорения заряженных частиц электромагнитными волнами и локализованными в пространстве волновыми пакетами в космической плазме с упором на анализ особенностей траекторий изображающей точки на фазовой плоскости ускоряемой частицы.

Для достижения поставленной цели были решены следующие научные задачи:

1. На основе численных расчетов нелинейного дифференциального уравнения для фазы волны или фазы волнового пакета на несущей частоте на траектории частицы были изучены захват частиц в режим серфотронного ультрарелятивистского ускорения электромагнитными волнами в космической плазме и последующая динамика характеристик захваченной частицы.
2. Исследована структура траекторий на фазовой плоскости при воздействии электромагнитных волн конечной амплитуды. Амплитуды волн считались заданными и постоянными, учитывались вихревые компоненты волновых полей и интегралы движения для ускоряемых заряженных частиц. При этом  задача сводится к анализу нестационарного, нелинейного уравнения второго порядка диссипативного типа для фазы монохроматической волны (либо фазы локализованного в пространстве волнового пакета на несущей частоте) на траектории частицы.
3. Рассмотрена наиболее простая модель серфотронного ускорения, когда волны распространяются поперек достаточно слабого внешнего магнитного поля. Следует отметить, что серфотронное ускорение зарядов возможно и при наклонном (к внешнему магнитному полю) распространении электромагнитной волны причем пороговая (для захвата частиц) амплитуда волны в этом случае будет несколько меньше (см., например, [15]).
4. Проведен анализ динамики захвата частиц волнами в зависимости от начальной энергии заряженной частицы. Определены оптимальные (для захвата частицы в режим ультрарелятивистского серфотронного ускорения) значения фазы волны или фазы пакета на несущей частоте в начальный момент времени на траектории частицы.
5. Рассмотрена временная динамика других характеристик заряженной частицы включая фазу волны (либо волнового пакета на несущей частоте) на траектории частицы, компоненты ее импульса и скорости, типичные траектории изображающей точки на плоскости поперечных (к внешнему магнитному полю) компонент скорости заряда, зависимость поперечных к магнитному полю координат частицы от времени.

Научная новизна работы

Результаты диссертации являются новыми. Для различных значений исходных параметров задачи исследованы характеристики заряженных частиц при взаимодействии с волной или волновым пакетом, на основе которых изучена структура фазовой плоскости для различных (слаборелятивистские, умеренно релятивистские и сильно релятивистские) начальный энергий частиц при их сильном ускорении волнами или волновыми пакетами. Показано, что на фазовой плоскости для захваченных частиц имеется особая точка типа устойчивый фокус т.е. при сильном ускорении частицы постепенно конденсируются на дно эффективной потенциальной ямы.

Для незахваченных частиц фаза волны или пакета на несущей частоте в среднем возрастает пропорционально времени и имеются ее нелинейные, периодические колебания. Определены оптимальные значения начальной фазы, знака компоненты импульса частицы вдоль волнового фронта для ее захвата и максимального ускорения, которое реализуется при амплитудах волны выше некоторого порогового значения, зависящего от величины внешнего магнитного поля. Показано, что с ростом фазовой скорости волны темп роста энергии захваченной частицы увеличивается.

Научная достоверность и обоснованность результатов диссертации

Научная достоверность и обоснованность результатов диссертации обусловлена корректной постановкой решаемых задач, согласием результатов численных расчетов с аналитическими оценками характеристик ускоряемых частиц, публикацией результатов диссертации в рецензируемых изданиях, их апробацией на российских и международных конференциях. Обоснованность используемых моделей анализа серфотронного ускорения была доказана в предшествующих диссертации работах по серфотронному ускорению заряженных частиц волнами. Важно отметить, что численные расчеты проводились автором диссертации одновременно с соавторами на разных компьютерах. Результаты совпадали.

Практическая значимость результатов работы

Практическая значимость результатов диссертации заключается в детальном исследовании на основе численных расчетов сильного серфотронного ускорения заряженных частиц электромагнитными волнами в космической плазме с учетом динамики траекторий изображающей точки на фазовой плоскости для широкого диапазона начальных (до захвта волнами) энергий частиц. Полученные результаты важны для понимания механизмов генерации потоков быстрых частиц в космической плазме включая КЛ, их изменчивости, а также для развития современных методов обработки экспериментальных данных по спектрам этих потоков и корректной интерпретации результатов обработки.

Важно и то, что для космических лучей серфотронный механизм генерации потоков ультра-релятивистских частиц може быть реализован в сравнительно спокойной плазме в областях, где отсутствуют катастрофические события типа сверхновых, пульсаров и взрывов галактического ядра. При этом за счет серфинга (согласно имеющимся публикациям) могут возникать значительные вариации в спектрах КЛ, зафиксированные в данных наблюдений. Следует отметить, что результаты проведенного в диссертации анализа будут важны и для развития в последующем данного направления научных работ с учетом неоднородности плазмы и внешнего магнитного поля, присутствия турбулентности, нестационарности плазмы, а также нелинейной модификации параметров плазмы ускоряющей электромагнитной волной.

На защиту выносятся следующие положения и научные результаты:

1. На фазовой плоскости для захваченный частиц поведение траекторий изображающей точки определяется наличием особой точки типа устойчивый фокус. Поэтому траектории имея спиралевидный характер сжимаются к фокусу.
2. Численными расчетами установлено, что для слаборелятивитстских начальных энергий частица после десятков-сотен и более циклотронных оборотов (при амплитуде волны выше критического (для серфинга) значения быстро попадает в благоприятную фазу (в момент выполнения черенковского резонанса) и захватываясь волной (или волновым пакетом) ускоряется до весьма больших энергий (рост энергии на 3-6 и более порядков величины).
3. В случае локализованного в пространстве волнового пакета максимум роста энергии захваченной частицы определяется размером L_a области, в которой поле волны выше критического значения. Набор энергии захваченной частицы пропорционален L_a и для космической плазмы (на границе гелиосферы или в межзвездных облаках) может быть очень дольшим.
4. Для умеренно релятивистских начальных энергий частицы время ее захвата волной или волновым пакетом значительно больше. Частица совершая до захвата циклотронное вращение будет на том же временном интервале существенно меньше увеличивать свою энергию. В особенности это важно при ее взаимодействии с локализованным в пространстве волновым пакетом.
5. Согласно численным расчетам для незахваченных волной частиц могут быть интервалы времени, когда заряды сравнительно долго находятся в благоприятной фазе и их энергия может увеличиться в разы или на порядок.
6. В случае сильно релятивистских начальных энергий (релятивистский фактор достигает сотен или выше) численные расчеты (для неблагоприятных начальных данных) на имеющейся вычислительной технике не обнаружили захвата частиц волной или пакетом. Можно полагать, особенно при взаимодействии с пространственно локализованным волновым пакетом, что в данной ситуации серфотронное ускорение не реализуется. Например, за время циклотронного вращения волновой пакет перемещаясь с групповой скоростью сдвинется относительно частицы так, что поле волнового пакета станет меньше критического значения и потому захват частицы будет невозможен.
7. При сильном ускорении поперечные, к внешнему магнитному полю H_o , компоненты скорости захваченной частицы выходят на асимптотические значения, а параллельная H_o компонента скорости частицы убывает обратно пропорционально ее релятивистскому фактору.

Глава 1. Основные уравнения модели серфотронного ускорения частиц электромагнитной волной в магнитоактивной плазме и характеристики ускоренных зарядов

В настоящей главе будет дан вывод основного уравнения, численное решение которого позволяет определить динамику всех характеристик резонансного взаимодействия электромагнитных монохроматической волны и волнового пакета с заряженной частицей. Это нелинейное, нестационарное, дифференциальное уравнение второго порядка для фазы волны или фазы волнового пакета на несущей частоте в точке нахождения заряженной частицы. Все характеристики заряженной частицы определяются указанной выше фазой.

Решение этого уравнения производилось с помощью программы MathCaD для достаточно больших значений безразмерного времени w t порядка (10⁴– 10⁶ ), где w частота монохроматической волны либо несущая частота локализованного в пространстве волнового пакета, имеющего лоренцовскую форму в простанстве. При благоприятных для серфинга условиях заряженная  частица за это время захватывалась волной (или пакетом) и ускорялась с ростом ее энергии на 3 и более порядков величины. Причем главные характеристики частицы четко выходили на их асимптотики при сильном ускорении электромагнитными волнами.

Раздел 1.1. Модель серфотронного ускорения быстрых заряженных частиц  монохроматической волной в плазме, интегралы движения, асимптотики энергии, компонент импульса и скорости при сильном ускорении.

В наиболее простой модели серфотронного ускорения положим, что  монохроматическая электромагнитная волна постоянной амплитуды распространяется в однородной, холодной магнитоактивной плазме и пренебрежем влиянием слабой диссипации. Пусть H₀ = H₀ e_z  — внешнее магнитное поле направленное вдоль оси z, e_z единичный вектор. Для упрощения дальнейшего анализа положим, что электромагнитная волна распространяется поперек слабого внешнего магнитного поля, когда выполняется условие неограниченного ускорения волной, с электрическим полем вида  E = Re [A × exp ( i Y)], где Y = w t — k x, A – комплексная постоянная амплитуда волны. Для описания зависимости фазовой и групповой скоростей волны от параметров плазмы используем нерелятивистские линейные уравнения движения электронов плазмы и уравнения Максвелла для высокочастотных электронных колебаний плазмы пренебрегая вкладом тяжелых ионов:

¶v / ¶t + ( e E / m ) + ( e H₀ / m c ) [ v х e_z ] = 0 ,

¶H / ¶t + c rot E = 0 ,

с rot H = ¶E / ¶t + 4 p j ,  j = — e n₀ v

где n₀ = const – невозмущенная плотность электронов плазмы, m масса электрона.

Удобно ввести следующие обозначения: u = w_He /w, v = (w_pe / w)², N = ck / w, где w_He = e H₀ / m c — гирочастота нерелятивистских электронов плазмы, N – показатель преломления плазмы на частоте w, w_pe = ( 4 p e² n₀ / m )^1/2 – ленгмюровская частота электронов плазмы. Учитывая эти обозначения из (1) получаем выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы

e_ïï º e_^zz  = 1 — v,  e_xx = e_yy º e_^=  1 — v / (1 — u² — v),

e_c = — i e_xy = u v / (1 — u²).

Рассмотрим выбор типа поляризации электромагнитной волны, обеспечивающий реализацию серфинга зарядов. При чисто поперечном (к внешнему магнитному полю) распространении волн p-поляризации с компонентами полей  E_x , E_y , H_z  квадрат показателя преломления равен:

N² = e_^ — (e_c² / e_^ )

Заметим, что электромагнитная волна p-поляризации не является чисто электростатической, а имеет вихревую компоненту причем компоненты электрического поля связаны соотношением

E_y = — i ( e_^ / e_c ) E_x

В случае s-поляризации волна имеет H_x , H_y , E_z компоненты полей, показатель преломления определяется выражением

N = (e_ïï )^1/2  <  1

т.е.  w² = w_pe² + c² k²  и, следовательно, фазовая скорость волны больше скорости света в вакууме (захват частиц невозможен). Этот тип волн не представляет интереса для задачи серфотронного ускорения частиц в космической плазме.

Исследуем теперь нелинейное  уравнение для фазы волны на  траектории ускоряемого быстрого электрона. Допустим, что монохроматическая электромагнитная волна p-поляризации распространяется поперек внешнего магнитного поля H₀ . Рассмотрим релятивистское ускорение электронов этой волной. Для компонент поля волны используем выражения:

E_х = E₀ × cos Y,  E_y = c × E₀ × sin Y

H_z = N × c × E₀ × sinY,

где Y = w t – k x, c = e_^ / e_c , параметр c характеризует непотенциальную часть электрического поля волны. Следует отметить, что для сравнительно малых значений u £ 0.3 (использованных в исследованиях) электрическое поле волны практически потенциально, а учет вихревой компоненты (как показали расчеты) не влияет на результаты анализа. Однако при больших u вихревая часть электрического поля волны становится весьма большой. Кроме того, необходимо учитывать нелинейное взаимодействие волны с плазмой.

Учитывая (4) запишем релятивистские уравнения движения для импульса ускоряемого электрона р

dp_x / dt = — e E_x – e v_y ( H₀ + H_z ) / c ,

dp_y / dt = — e E_y + e v_x ( H₀ + H_z ) / c ,

dp_z / dt = 0 , p_z = const.

Для анализа нелинейной системы уравнений (5) удобно перейти к безразмерным переменным t = ω t, ξ = ω x / с и ввести безразмерные скорость заряда  b = v / c,  амплитуду волны  s = e E₀ / m c w, причем для компоненты скорости b_x имеем соотношение b_x = b_p [1 – (dY / dt )], а импульс электрона записывается в виде p = m c g b, где g = 1 / ( 1 — b² )^1/2 — релятивистский фактор ускоряемой частицы.

В итоге релятивистские уравнения движения электронов принимают окончательный вид:

d ( g b_x ) / dt = — s cosY — ( u + s N c sin Y) b_y ,

d ( g b_y ) / dt = — s c sinY + ( u + s N c sin Y) b_x ,

d (g b_z ) / dt = 0 ,   g b_z = const.

Из системы уравнений (6) следует выражение для темпа ускорения заряда

d g / d t = — s ( b_x cos Y + c b_y sin Y )

Используя уравнения (6), (7) находим второй интеграл движения для ускоряемого электрона

J = g × b_y + u × b_p × ( Y — t ) — s × c × cos Y = const.

С учетом (8) выпишем выражения для релятивистского фактора g и компоненты скорости заряда b_y

g = {1 + g_z² + [ J + s c cosY + u b_p ( t — Y ) ]² }^1/2 / (1- b_x²)^1/2 ,

b_y = [ J + u×b_p (t — Y) + s × c × cos Y ] / g.

Здесь g_z = g b_z = const. Анализ ускорения зарядов удобно проводить в рамках вытекающего из (6)-(9) нелинейного уравнения для фазы волны на траектории электрона

d²Y/dt² – [s×( 1 — b_x²)/g×b_p]×cos Y — (u×b_y / g×b_p) + [s×c×b_y ×( b_x – N )/g×b_p]×sin Y = 0.

Начальные условия для решения уравнения (10) следующие:

Y(0) = Y₀ , Y_t(0) = a, т.е. имеем b_x(0) = b_p × ( 1 – a ).

Введем компоненты безразмерного импульса частицы g_x = g b_x , g_y = g b_y º g, g_z = g b_z º h. Пороговое значение безразмерной амплитуды волны, выше которого имеет место серфотронное ускорение, определяется следующей формулой σ_крит = u g_p , где g_p = 1 / ( 1 —  b_p^{2 )1/2} релятивистский фактор ускоряющей волны. Захват заряженной частицы в режим неограниченного ускорения происходит при амплитудах волны σ > σ_крит. Нелинейное уравнение (10) решается численно с указанными выше начальными данными. При этом на больших временах ( t ® ¥ ) численное решение для частицы, захваченной волной, должно выходить на следующие асимптотики для компонент скорости и релятивистского фактора заряда (электрона)

g(t) » u × b_p × g_p × t ,  b_x » b_p ,  b_y » 1 / g_p .

Заметим, что в этой асимптотике для электронов b_x × b_y > 0. В случае позиронов будет b_x × b_y < 0. Важно отметить, что при серфотронном ускорении темп роста релятивистского фактора не зависит от амплитуды поля волны, определяющей положение дна эффективной потенциальной ямы. В итоге уравнение (10) при взаимодействии монохроматической волны с заряженной частицей (электрон) принимает вид

g b_p d²Y /dt² – (1 — b_x²) × (e E_о / mcw) – u b_y = 0,

В случае волнового пакета с лоренцовской огибающей амплитуды из релятивистских уравнений движения заряженной частицы для фазы пакета на траектории частицы (с учетом указанных выше интегралов движения) получаем обобщение уравнения (11) в форме  [3]:

d²Y(t)/dt² – [1 — b_x²(t)]^1.5 ×s×cosY(t) / b_p×G₁(t)×{1 + [t — Y(t)]² /r² } – G₂(t) = 0,

G₁²(t) = 1 + h² + G₃²(t), G₃(t) = J + u b_p [t — Y(t)],

G₂(t) = u× G₃(t)×[1 — b_x²(t)] / b_p×G₁²(t).

Здесь введен безразмерный параметр ρ = ω_о L / c, а ω_о несущая частота волнового пакета, L его полуширина [12] т.е. ρ безразмерная полуширина пакета. Таким образом уравнения (11), (12) являются исходными для проведения численных расчетов серфотронного ускорения заряженных частиц соответственно моно-хроматической волной (r = ¥) и локализованным в пространстве волновым пакетом.

Раздел 1.2. Результаты численных расчетов серфотронного ускорения электронов электромагнитной волной, структура фазовой плоскости при нерелятивистской начальной энергии частиц.

Фазовая плоскость является своего рода координатной плоскостью, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Фазовая плоскость считается частным случаем фазового пространства, которое может иметь и большую размерность. Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки.

След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости (в трехмерном случае) проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени. Полная совокупность различных фазовых траекторий — это фазовый портрет системы.

Он даёт представление о совокупности всех возможных сочетаний динамики  системы и типах возможных движений в ней. Фазовый портрет удобен также для рассмотрения движений макроскопических и квантовых частиц. В нашем случае мы рассматриваем взаи-модействие частиц с волновым пакетом. При отсутствии захвата фазовая плос-кость соответствует циклотронному вращению частицы, показанному на рис. 1а, где dY(t) = Y(t) — Y(0), dY(t) = dY(t) / dt. При этом в среднем фаза растет ~ t.

Рис.1а. Фазовая плоскость для незахваченной частицы.

Для незахваченных частиц типичные графики  b_x , b_y даны на рис.1б.

Рис. 1б.  Поперечные компоненты скорости для незахваченных частиц.

В качествые иллюстрации приведем результаты расчетов серфотронного ускорения монохроматической  волной в случае следующего выбора исходных параметров задачи:  u = 0.2, β_p0 = 0.2, h = 1, g = 1, σ = 1.4 σ_c , Y(0) = — 2.2. В данном случае электрон захватывается волной в режим серфотронного ускорения в момент времени t » 4230. График фазы волны на траектории частицы дан на рис.2а. Как видим, до захвата фаза в среднем растет пропорционально времени с малыми вариациями.

Рис.2а. Динамика фазы волны на траектории частицы.

После захвата электрона волной колебания фазы весьма малы и на графике они незаметны. График смещения частицы x(t) в направлении распространения волны приведен на рис.2б. До захвата волной электрон совершал циклотронное вращение, но ларморовский радиус был невелик и потому на рисунке цикотронные колебания x(t) незаметны. После захвата волной частица движется в направлении ее распространения (ось х) в среднем с фазовой скоростью, что соответствует прямой линии на рисунке. Для времени t = 40000 имеем смещение x(t) » 13270. В

Рис.2б. Смещение частицы в направлении распространения волны.

этот момент времени ее релятивистский фактор достиг значения g » 2316, что соответствует энергии электрона 1.183 ГэВ. При увеличении времени счета рост g продолжается. На рис.2в показана структура фазовой плоскости (F(t), Y(t)) для уже захваченной частицы на интервале времени 10⁴ < t < 3×10⁴ , F(t) = dY(t)/dt.

Рис.2в. структура фазовой плоскости (F(t), Y(t)).

Как видим, для захваченной частицы траектория изображающей точки по спирали сжимается к особой точке типа устойчивый фокус. Интересен вид траекторий изображающей точки на плоскости компонент скорости захваченной частицы, перпендикулярных внешнему однородному магнитному полю. Для интервала времени 10⁴ < t < 3×10⁴ результаты численных расчетов даны на рис.2г. Согласно рис.2г возникает довольно сложная динамика изображающей точки. Стрелкой на рисунке показано направление смещения изображающей точки.

Рис.2г. Динамика изображающей точки на плоскости компонент скорости захваченной частицы, перпендикулярных внешнему однородному магнитному полю H_o .

Как было указано ранее, поперечные компоненты скорости постепенно выходят на следующие асимптотики для ультрарелятивистских энергий захваченной частицы b_x » b_p ,  b_y » 1 / g_p .

Таким образом результаты проведенных численных расчетов при взаимодействии частиц с электромагнитной волной в магнитоактивной плазме показывают разделение взаимодействующих с волной частиц на две группы: пролетные и захваченные. Пролетные частицы совершают циклотронное вращение во внешнем магнитном поле. Однако для них за счет возникновения локальных (по времени) резонансов с волной возможно некоторое увеличение энергии (десятки-сотни процентов). На фазовой плоскости (F, Y) траектории изображающих точек вполне подобны случаю взаимодействия частиц с ленгмюровской волной в плазме без магнитного поля. Группа захваченных волной частиц возникает при превышении полем волны критического значения.

При этом на фазовой плоскости (F, Y) траектории изображающих точек, в отличие от захваченных ленгмюровской волной электронов в плазме без магнитного поля, имеют особую точку типа устойчивый фокус. На фазовой плоскости траектории изображающей точки имеют вид спиралей вокруг фокуса, которые постепенно приближатся к фокусу. Захваченные волной частицы колеблются в эффективной потенциальной яме в области ускоряющих значений электрического поля и для них реализуется серфотронный механизм ускорения. Формально (без учета неоднородностей плазмы, амплитуды волны и внешнего магнитного поля) будет неограниченное серфотронное ускорение.

Темп ускорения (набора энергии) практически постоянен и не зависит от амплитуды электрического поля волны, определяющей положение дна для эффективного потенциала. Проведенные расчеты показали, что при неблагоприятной начальной фазе волны на траектории частицы для  слаборелятивистских начальных энергий электрон совершая циклотронное вращение сравнительно быстро попадает в момент черенковского резонанса с волной в благоприятную для серфинга фазу и становится захваченной. Затем она колеблется в эффективной потенциальной яме и ускоряется до формально неограниченных энергий.

При этом темп роста е энергии практически постоянен, поперечные компоненты скорости выходят на асимптотики, а продольная (относительно внешнего магнитного поля) компонента стремится к нулю обратно пропорционально времени. Здесь следует отметить, что для захвата частицы волной начальное значение поперечной компоненты скорости частицы должно быть больше фазовой скорости волны.

Раздел 1.3. Модель серфотронного ускорения электронов пространственно локализованным пакетом электромагнитных волн при слаборелятивистских начальных энергиях частиц. Результаты численных расчетов при ультрарелятивистском ускорении.

В настоящем разделе на основе нелинейных численных расчетов рассмотрен захват слаборелятивистских заряженных частиц в режим серфотронного ускорения пакетом электромагнитных волн, распространяющимся в плазме поперек слабого внешнего магнитного поля H₀ . Изучен вариант слаборелятивистских частиц, когда период циклотронного вращения заряда сравнительно невелик.

Показано, что при амплитуде волны выше порогового значения на доступных интервалах времени численного счета вне диапазона благоприятных для серфинга начальных фаз волны на траектории частицы вначале происходит вращение заряда во внешнем магнитном поле Однако после ряда периодов циклотронного вращения (сотни, тысячи и более) может быть выполнено условие черенковского резонанса, возникает благоприятная для захвата заряда фаза волны на траектории частицы. В результате имеют место захват заряженной частицы волной и ультрареля-тивистское ускорение заряда. Получены асимптотики компонент импульса и энергии ускоряемой частицы, обсуждается их зависимость от амплитуды волны.

Таким образом в пространстве импульсов частиц область их захвата в режим серфинга на электромагнитной волне оказывается достаточно большой. Результаты представляют интерес для интерпретации экспериментальных данных по регистрации потоков ультрарелятивистских частиц в космических условиях включая околоземное пространство. В частности, одним из механизмов генерации космических лучей является серфинг заряженных частиц на электромагнитных волнах, который может быть локальным источником генерации ультрареляти-вистских заряженных частиц в окрестности сравнительно спокойных звезд, напри-мер, в солнечной гелиосфере, а также он может обеспечивать локальные отклоне-ния регистрируемого спектра КЛ от стандартного степенного скейлинга за счет вариаций космической погоды.

Исходим из релятивистских уравнений движения заряженной частицы, взаимодействующей с пакетом электромагнитных волн, фазовая скорость которых в плазме меньше скорости света в вакууме. С учетом интегралов движения получаем нелинейное уравнение второго порядка для фазы волнового пакета на несущей частоте на траектории ускоряемой частицы. Затем проводятся численные расчеты на его основе при различных значениях исходных параметров. Отметим, что механизм серфотронного ускорения связан с реализацией в магнитоактивной плазме черенковского резонанса при взаимодействии волна-частица, что возможно для волны р-поляризации. Рассмотрим  пакет  электромагнитных   волн в холодной магнитоактивной плазме.

Пусть внешнее  магнитное поле направлено вдоль оси z :  H₀ = H₀ e_z . Захват   в режим серфинга происходит для амплитуды волнового пакета   E_m   выше следующего   порога   σ > σ_c≡ u γ_p = u / ( 1 — β_p² ) ^{1 / 2} , где  σ = e E_m / m c ω, β_p = ω / k c . Берем непрерывный волновой спектр с несущей частотой  ω₀ = ω(k₀)  в   диапазоне верхнего гибридного резонанса т.е. вклад ионов в ток  плазмы  можно  не  учитывать.   Удобно ввести следующие параметры:   u = ω_He / ω, v = (ω_pe /ω)². Здесь ω_He — гирочастота нерелятивистских электронов плазмы, ω_pe – электронная ленгмюровская частота ω_pe = (4πe² n₀/m)^1/2 , n₀ невозмущенная однородная плотность плазмы.   При   поперечном   распространении   волны р-поляризации с компонентами полей  E_x , E_y , H_z для квадрата показателя преломления    плазмы  N² = (ck / ω)²   на   частоте  ω получаем формулу:

N² = ε_⊥ — (ε_c² / ε_⊥) = 1 – [ v (1 – v )] / (1 – u² – v).

Как видим, волна р-поляризации не является чисто электростатической поскольку E_y = — i ( ε_⊥/ε_c ) E_x , H_z = N E_y . В случае s-поляризации волна имеет компоненты H_x , H_y , E_z , показатель преломления равен N = (ε_││ )^1/2 < 1 т.е. ω² = ω_pe² + c²k². Следовательно, фазовая скорость волны больше скорости света в вакууме и она не представляет интереса для задачи серфотронного ускорения заряженных частиц. Ниже будем полагать параметр u² малым т.е. можно пренебречь нелинейностью волны при взаимодействии с плазмой. Приведем выражение для групповой   скорости   волны на частоте ω: v_g ≈ ω_pe ω_He² / c²k₀ ³ << ω / k. Для лоренцовского спектра волн основная компонента электрического поля имеет вид

E_x(x,t) = { E_m / [ 1 + ζ² / L² ] } cos (ω₀t – k₀x ),

где ζ = x – v_g(k₀) t , L = 1 / k_p есть полуширина локализованного волнового пакета, движущегося со скоростью v_g(k₀) << v_p(k₀). Другие компоненты полей E_y , H_z находятся по аналогии с (13). Введем безразмерное время τ = ωt. Характерное время пересечения захваченным зарядом волнового пакета порядка δt ~ 2L / v_p или в безразмерном времени имеем δτ ~ 2L k₀ . За это время центр волнового пакета сместится на расстояние δx ~ 2L (v_g / v_p ) << 2L. Анализ показал, что ультрарелятивистское ускорение захваченных зарядов имеет место в случае достаточно больших времен удержания частиц пакетом в ускоряющей фазе поля т.е. при dτ ≥ ( 10⁴ ÷ 10⁶ ). Условие 2 L k₀ ≥ ( 10⁴ ÷ 10⁶ ) обеспечивает сильное ускорение захваченных зарядов локализованным волновым пакетом в магнито-активной плазме при их захвате на задней стороне пакета. Введем безразмерную полутолщину волнового пакета ρ = L k₀ . При численных расчетах задачу можно упростить пренебрегая вихревыми компонентами волновых полей E_y , H_z и для фазы пакета на несущей частоте Ψ₀(τ) = (ω₀t – k₀x) получаем уравнение

γβ_p0 d²Ψ₀ /dτ² – (1 — β_x²) (eE_x / mcω₀) – u₀β_y = 0,

где E_x(x,t) определено формулой (13), β_p0 = ω₀ /ck₀ , γ = (1 + h² + r₀² )^0.5/ ( 1 — β_x ² )^0.5 ,     r₀ = γβ_y и учтен интеграл движения  J = γβ_y + u₀β_p0 (Ψ₀ — τ), u₀ = ω_He / ω₀,  а   интеграл  h равен γβ_z = const ≡ h. Компонента скорости заряда β_x в (14) определяется     выражением β_x = β_p0 [1 – (dΨ₀ / dτ )]. В итоге (14) принимает вид (12). Это урав-нение решалось численно, в частности, для следуюших значений исходных па-раметров : u = 0.2, β_p0 = 0.2, h = 1, g = 1, ρ = w_o L / c = 4∙10⁴ , σ = 1.4 σ_c . Графики характеристик ускоренной частицы даны ниже. Здесь σ = e E_m/m c ω.

Проведенные расчеты показали, что в центральной области волнового пакета, где амплитуда электрического выше порогового значения, при нахождении заряда в диапазоне благоприятных фаз ( который оказался достаточно широким), а скорость заряда поперек внешнего магнитного поля больше фазовой скорости на несущей частоте (β_⊥ > β_p ), что соответствует возможности реализации черенковского резонанса, в некоторый момент времени имеют место захват и последующее сильное релятивистское ускорение зарядов локализованным волновым пакетом при захвате частицы на задней стороне пакета.

Набор энергии захваченной частицей возрастает с увеличением характерной полуширины (по амплитуде электрического поля) волнового пакета, движущегося с групповой скоростью. Согласно расчетам при ускорении захваченной частицы ее релятивистский фактор и поперечные к внешнему магнитному полю компоненты импульса возрастают пропорционально времени удержания заряда в эффективной потенциальной яме. Поперечные компоненты скорости заряда выходят на асимптотические значения, а продольная (относительно внешнего магнитного поля) скорость стремится к нулю. С течением времени ускоряемые частицы конденсируются на дно эффективной нестацио-нарной потенциальной ямы.

Изложим подробнее результаты численных расчетов серфотронного ускорения частиц волновым пакетом для следующего варианта выбора исходны параметров задачи h = 1, g_y(0) = 1, β_p = 0.2, u = 0.2, σ = 1.4 σ_c , σ_c = uγ_p , а = 0, ρ = 4∙10⁴, соответствующего слаборелятивистским начальным энергиям заряженной частицы γ(0) ≈ 1.257. Пусть начальная фаза Ψ(0) = φ + δΨ(0), где φ = 2π∙3826, соответствует положению частицы на задней стороне волнового пакета, что дает максимум набора энергии ускоренными частицами.

Тогда  захват частиц в режим серфинга на задней стороне пакета происходит, в частности, для диапазона значений параметра  δΨ(0) = 1.6406 ÷ 2.5. В случае Ψ(0) = 2.404∙10⁴ результаты расчетов представлены на рис.3. Так на рис.3а дан график [Ψ(τ) — Ψ(0)]. Вылет частицы на правой (передней) стороне волнового пакета происходит, когда амплитуда пакета становится ниже порогового для серфинга значения т.е. при времени τ ≈ 62335. При этом энергия ускоренной частицы соответствует max γ ≈ 2559 т.е. она » 1.3 ГэВ для электронов.

Графики релятивистского фактора заряда γ(τ) и его аналитической аппроксимации линейной функцией M(τ) показаны на рис.3б. Согласно рисунку, для захваченной пакетом частицы наблюдается постоянный темп ускорения. После вылета заряда из эффективной потенциальной ямы ее энергия практически постоянна, вариации γ незаметны. График функции cos Ψ(τ), определяющей темп ускорения, дан на рис.3в. Отметим, что после вылета заряда из потенциальной ямы среднее значение cos Ψ(τ) равно нулю.

Рис.3а. График фазы пакета на  несущей частоте для частицы, захваченной сразу на левой стороне волнового пакета

Рис. 3б. График релятивистского фактора и его аналитической аппроксимации. Темп роста энергии практически постоянен.

Ниже дан график функции cos Y(t), определяющей динамику серфотронного ускорения. Как видим, после вылета из эффективной потенциальной ямы эта функция колеблется в интервале ( — 1, 1), а ее среднее значение практически нуль.

Рис. 3в. Темп ускорения захваченной частицы. После вылета заряда из

эффективной потенциальной ямы среднее значение cosΨ(τ) равно нулю. Следовательно, серфотронное ускорение прекращается.

Раздел 1.4. Основные результаты главы 1

Рассмотрено серфотронное ускорение электрона монохроматической электромагнитной волной для слабо релятивистских начальных энергий частиц.  Численными расчетами показано, что при благоприятной начальной фазе волны на траектории частицы электрон сразу захватывается волной в режим ультрареля-тивитстского серфотронного ускорения. Для неблагоприятной начальной фазы частица будучи незахваченной совершает циклотронное вращение (сотни-тысячи циклотронных периодов) и затем в момент черенковского резонанса попадает в благоприятную фазу волны на траектории электрона, захватывается волной и реализуется ультрарелятивистское серфотронное ускорение с ростом энергии на использованных интервалах счета по времени на три-шесть порядков величины.

При этом релятивистский фактор захваченного электрона увеличивается с постоянным темпом роста. Важно то, что интервал времени циклотронного вращения сравнительно невелик. Следовательно, резко возрастает число частиц, попадающих в режим серфотронного ускорения. На фазовой плоскости (F(t), Y(t)), где введено обозначение F(t) = dY(t)/dt, изображающая точка движется по спиралевидной траектории, сжимающейся у точки типа устойчивый фокус (вариации F(t) и Y(t)) убывают с ростом времени. Показано, что при неблагоприятном знаке компоненты скорости вдоль волнового фронта частица для благоприятной фазы захватывается волной, тормозится оставаясь захваченной и поменяв знак скорости вдоль волнового фронта далее переходит в режим ультрарелятивистского ускорения (формально – неограниченного при бесконечном интервале области амплитуд волны выше критического для серфинга значения).

На интервале торможения траектория изображающей точки на фазовой плоскости соответствует увеличению расстояния до устойчивого фокуса. В случае взаимодействия частицы с локализованным в пространстве волновым пакетом около положения центра пакета (по оси х) имеется интервал, в котором амплитуда электрического поля волны выше критического значения. В нем частица при благоприятной фазе на несущей частоте пакета может захватиться и быстро перемещаясь на переднюю сторону пакета (движущегося с групповой скоростью, которая значительно меньше фазовой на несущей частоте) сильно ускоряется. Пересекая пакет она попадает в область на передней стороне пакета, где амплитуда электрического поля меньше критического значения, становится незахваченной и ускорение прекращается.

Следовательно, характерный размер пакета (вдоль направления распространения волны) определяет доступное время серфотронного ускорения волновым пакетом. Здесь следует отметить, что в космической плазме, например, гелиосфере или в местных межзвездных облаках характерный размер области реализации серфотронного ускорения может быть очень большим. Поэтому (согласно оценкам) рост энергии захваченных пакетом частиц может быть на три-шесть и более порядков величины, например, от ГэВ до области колена в спектре космических лучей т.е. ~ 10¹⁵ эВ.

Расчетами показано, что при анализе серфотронного ускорения при использованных значениях параметров задачи электрическое поле волны или волнового пакета можно считать потенциальным. Учет в расчетах вихревой компоненты электрического поля и магнитного поля волн практически не меняет результаты. Интересно отметить, что согласно численным расчетам частица не будучи захваченной волной или пакетом тем не менее некоторое (сравнительно небольшое время) может быть в области ускоряюшего поля с ростом ее энергии на десятки-сотни процентов от начального значения.

Страницы: 1 2 3