Динамика траекторий на фазовой плоскости. Часть 2.

Страницы: 1 2 3

Глава 2. Численное исследование ультрарелятивистского серфотронного ускорения при умеренных начальных энергиях заряженных частиц

В настоящей главе будет рассмотрено ультрарелятивистское серфотронное ускорение при умеренных начальных энергиях заряженных частиц волнами в плазме на основе численных расчетов процесса захвата частиц волнами с последующим сильным ускорением с анализом благоприятных условий реализации серфинга.

Раздел 2.1. Численные расчеты серфотронного ускорения электронов электромагнитной волной при умеренных начальных энергиях частиц. Динамика траекторий на фазовой плоскости.

Рассмотрим численные расчеты с использованием  программы Mathcad14 для некоторых значений исходных параметров : u, b_p , h, g(0), s , a.  Начальная фаза волны на траектории частицы бралась из интервала Y(0) Î ( — 3, 3 ) с шагом  dY(0) = 0.2. Интервал счета по t был до 40000. Здесь h, g(0) компоненты безразмерного импульса частиц вдоль магнитного поля и волнового фронта соответственно.

Область благоприятных фаз, при которых заряженные частицы захватываются волной сразу (в начальный момент времени), определялась численными расчетами для разных значений Y(0) с относительно малым шагом dY(0) при различных значениях начальной отстройки частицы от черенковского резонанса, определяемой параметром a = {[ b_x(0)/b_p] – 1}. В результате проведенных численных расчетов были получены интервалы областей  захвата (благоприятные начальные фазы) частицы электромагнитной волной при различных значениях величины отстройки от черенковского резонанса (следует отметить, что при более малых отстройках и шаге по dY(0) обьем расчетов увеличивается значительно).

Рассмотрим диапазоны начальных фаз на траектории частицы Y₀ , в которых происходит захват заряда в режим неограниченного ускорения. Безразмерная амплитуда волны σ выбиралась выше порогового значения σ_c  включая случай малой надкритичности, когда σ / σ_крит » 1.1, и случай больших значений параметра надкритичности σ / σ_крит » 2.3. Затем численными расчетами определялся диапазон начальных фаз, в котором имел место захват заряда сразу в режим неограниченного ускорения волной, изучались временная динамика фазы Y(t), компонент импульса и скорости захваченных частиц, релятивистского фактора g(t), а также темпа ускорения dg/dt и траектории частицы в плоскости, перпендикулярной внешнему магнитному полю.

Определялся  диапазон благоприятных для реализации ускорения начальных фаз Y₀ , при которых происходит захват заряда в режим неограниченного ускорения волной. В программе Mathcad нелинейное, нестационарное дифференциальное уравнение второго порядка (11) решалось численно для фазы волны Y(t) на траектории заряженной частицы, колеблющейся в эффективной потенциальной яме. Времена захвата заряда в режим ускорения t_tr представлены ниже в таблице 1 для значений начальной фазы из интервала Y(0) Î ( — 3, 3 ) с шагом  dY(0) = 0.2 и некоторого выбора исходных параметров задачи.

Таблица 1. Время захвата t_tr для начальных фаз Y(0) Î ( — 3, 3 ) с шагом по фазе dY(0) = 0.2, s = 1.6 s_с  при а = 0. Время счета t < t_m .

 

Согласно таблице 1 в области Y(0) Î ( — 2, 1 ) захвата нет при t < t_m .  Для остальных начальных фаз захват частиц волной происходит сразу с последующим ультрарелятивистским ускорением.

В случае выбора параметра  а = 0.4 при неизменных прочих параметрах, указанных в таблице 1,  на временах счета t < t_m захвата частиц электромагнитной волной для начальных фаз Y(0) Î ( — 3, 3 ) не наблюдается. Аналогичная ситуация получается при а = 0.8, а = 1.2, а = 1.6 и неизменных величинах прочих параметров. Вывод из этого в том, что это довольно большие отстройки от черенковского резонанса  и на доступных компьютерах захват частиц в режим серфотронного ускорения наблюдать невозможно поскольку время захвата очень большое. Кроме того поскольку захват все таки должен быть при достаточно больших временах расчетов сильное серфотронное ускорение зарядов не может реализоваться вследствие необходимости учета конечной толщины волнового пакета, при которой пакет проходит область локализации частицы и поле волнового пакета в ней станет меньше критического значения.

Было рассмотрено серфотронное ускорение волной для исходных параметров задачи u = 0.22, b_p = 0.37, h = 11, g = 19, s = 1.6 s_c , a = 0 для интервала начальных фаз Y(0) Î ( — 3, 3 ). Численные расчеты показали, что в данном случае

захват частицы волной в режим ультрарелятивистского ускорения происходит сразу для начальных фаз в диапазоне 1 £ Y(0) £ 3. Для других значений начальных фаз на временах счета t £ 50000 захвата нет. Приведем графики некоторых характеристик для случая начальной фазы Y(0) = 2.4 при ускорении электрона монохроматической электромагнитной волной в космической плазме. На рис.4а приведен график фазы волны на траектории захваченной частицы для относительно малого промежутка времени t £ 6000. Отметим некоторую моду-

ляцию нелинейных колебаний фазы, связанную с нестационарностью эффективной потенциальной ямы, образуемой совместным действием электрического поля волны и внешнего магнитного поля в плазме. Для широкого интервала времени

t £ 60000 график фазы на траектории захваченной частицы дан на рис.4б и он имеет типичный вид.

Рис.4а. График фазы Y(t).

С ростом времени происходят медленные уменьшение амплитуды колебаний и рост их периода, как показывают аналитические оценки Y(t) из уравнения (11).

Типичный график получается при численных расчетах уравнения для фазы Y(t)  и для функции cos Y(t), определяющей темп ускорения захваченной частицы электромагнитной волной в плазме. Для рассматриваемого случая выбора исходных параметров задачи, указанного выше, он представлен ниже на рис.4в.

Рис.4в. График функции cos Y(t) для интервала времени t £ 4000.

Вариации cos Y(t) обусловлены нелинейными колебаниями фазы на траектории захваченной частицы вблизи значения, соответствующего дну эффективной потенциальной ямы.

Раздел  2.2. Численные расчеты серфотронного ускорения электронов пространственно локализованным пакетом электромагнитных волн при умеренных начальных энергиях частиц. Динамика траекторий на фазовой плоскости.

Представим результаты численных исследований серфотронного ускорения заряженных частиц локализованным в пространстве (с лоренцовской огибающей амплитуды поля) волновым пакетом для умеренно релятивистских энергий частиц. Графики здесь представлены только для следующего варианта параметров задачи:

h = 6.0, g_y(0) = 9.5, β_p = 0.37, u = 0.22, σ = 2.3 σ_c , σ_c = u γ_p , а = 0, ρ =  4∙10⁴ , а начальная энергия заряженной частицы была γ(0) ≈ 12.142. Начальное положение частицы соответствовало левому краю области волнового пакета, в которой электрическое поле пакета выше порогового (для захвата частицы в режим сильного сеофотронного ускорения) значения.  Волновой пакет перемещался направо вдоль оси х.

Выбор начальной фазы δΨ(0) = — 3 соответствует диапазону благоприятных фаз, в котором имеют место захват электрона волновым пакетом и последующее ускорение на временах t £ 60000. На рис.5а показана динамика приращения фазы пакета на несущей частоте в этом временном интервале. Как видим, для захваченного электрона реализуются быстрые осцилляции Ψ малой амплитуды около некоторого слабо наклонного профиля. Отметим несколько возрастающий профиль Ψ на протяжении всего пакета пока частица является захваченной, а амплитуда электрического поля  E_x соответствует движению заряда в ускоряющем поле. После вылета электрона из эффективной потенциальной ямы ускорение прекращается, а фаза Ψ в свою очередь быстро возрастает. Наблюдаемый вылет электрона на правой стороне волнового пакета, обусловлен  значениями амплитуд поля пакета ниже пороговой для серфинга величины.

Рис.5а. Динамика фазы при надкритичности σ = 1.45 σ_c.

Для захваченного электрона функция cos (Ψ), определяющая эффективность воздействия волны на частицу, осциллирует в области отрицательных значений, что соответствует росту релятивистского фактора электрона γ(τ).

После вылета электрона из эффективной потенциальной ямы ускорение прекращается, поскольку cos(Ψ) осциллирует согласно рис.5б  в интервале (- 1, 1) с нулевым средним, а фаза волны на траектории частицы в среднем растет пропорционально времени имея нелинейную модуляцию со сравнительно небольшой амплитудой.

Рис.5б. График cos(Ψ), определяющей темп ускорения заряда.

Динамика ускорения отрицательного заряда показана на рис.5в  графиком релятивистского фактора γ(τ). Отметим практически линейный рост γ для захваченного электрона. После вылета отрицательного заряда из эффективной потенциальной ямы релятивистский фактор γ практически не меняется.

Рис.5в. Графики релятивистского фактора  частицы γ(τ) и его аналитической аппроксимации М(τ).

Формула  для аналитической аппроксимации М(τ) релятивистского фактора на стадии ускорения электрона имеет вид: М(τ) = γ(0) + 0.106·τ. Как видно из рис.5в, она достаточно хорошо описывает поведение γ(τ). Максимальное значение релятивистского фактора ускоренного электрона на интервале счета γ(τ) до 4·10⁴ равно величине γ_max = 2767. Расчеты для различных значений надкритичности σ / σ_c  показали следующее. Темп серфотронного ускорения частицы для различных значений надкритичности практически постоянен, однако максимальные значения релятивистского фактора при ускорении волновым пакетом могут сильно раличаться поскольку размер области по оси х (направление распространения волнового пакета), в которой поле пакета выше критического значения, возрастает с увеличение фактора надкритичности пропорционально [(σ / σ_c) – 1]^0.5 при постоянном темпе роста dγ(τ)/d τ.

Расчеты также показали, что на стадии сильного ускорения захваченной частицы компоненты ее импульса γ β_y, γ β_x возрастают практически линейно с увеличением времени поскольку после захвата, например, отрицательного заряда  пакетом имеет место рост поперечных компонент его импульса g_x(τ) , g_y(τ) по асимптотикам : g_x ≈ β_p·γ , g_y ≈ γ / γ_p . Пересекая пакет электрон попадает в область, где поле пакета меньше порогового (для серфинга) значения, ускорение прекра-щается, происходит ларморовское вращение с достаточно большим циклотронным периодом. На рис.5г показана только начальная стадия циклотронного вращения.

Рис.5г.  График поперечных компонент импульса γ β_y и γ β_x  при малой надкритичности

Траектория изображающей точки на плоскости поперечных, к внешнему магнитному полю H₀ , компонент скорости ускоряемого волновым пакетом отрицательного заряда ( β_x , β_y ) для интервала времени τ = 0 ÷ 60000 представлена ниже на рис.6а, рис.6б.  Поскольку в рассматриваемом случае фазовая скорость β_p  мала, наибольшеее ускорение электрона происходит вдоль волнового фронта т.е. вдоль оси у.

Рис.6а. Траектория изображающей точки на плоскости (β_x, β_y) при  малой надкритичности. Отметим, что диапазоны вариаций β_x, β_y весьма малы.

Рис.6б. Траектория изображающей точки на плоскости (β_x, β_y)  для  большой надкритичности.

Поскольку захваченный заряд смещается вместе с волной со скоростью β_x ≈ β_p координата ξ(τ) = ω₀ x / c возрастает ξ(τ) ≈ β_p·τ. Компонента скорости заряда вдоль внешнего магнитного поля β_z убывает обратно пропорционально 1 / γ.

Пусть Φ(τ) = dΨ(τ)/dτ. В качестве примера движение изображающей точки на фазовой плоскости ( Φ(τ), Ψ(τ) — Ψ(0) ) для захваченного электрона при сильном ускорении его волной показано на рис.6в для интервала времени 10000 < τ < 45000. Вращение происходит по часовой стрелке.

Рис.6в.  Структура фазовой плоскости  для захваченного пакетом заряда с энергией γ(τ) на интервале времени 10000 < τ < 45000.

Как видим, на фазовой плоскости имеется особая точка типа устойчивый фокус, к которой постепенно стремится траектория изображающей точки по мере ускорения захваченного электрона. Для большого времени времени ускорения, когда τ = 41000 имеем Ψ(τ) — Ψ(0) = — 0,789. Траектории на левой части рисунка соответствуют меньшим временам.

Как было указано выше, при отсутствии захвата частицы волновым пакетом Ψ(τ) имея малые вариации в среднем возрастает пропорционально времени, а частица испытывает циклотронное вращение в левой части пакета, Для случая ускорения позитрона, график фазы волны на его траектории дан на рис.7а.  Рассмотрим подробнее расчеты для варианта выбора фазы Ψ(0)= — 3.  При этом захват заряда имеет место на временах τ₁ = 8700, а вылет после пересечения пакета при τ₂ = 34170. На интервале 8700 < τ < 34170 частица колеблется в области ускоряющих значений электрического поля волны, а среднее значение фазы при  смещении заряда вдоль волнового пакета меняется в соответствии с амплитудой огибающей так, что средний темп ускорения частицы сохраняется.

Рис.7а.  Динамика фазы для позитрона. Она вполне аналогична показанной выше для электрона.

Рис.7б. Положительный заряд до захвата совершает сложное циклотронное вращение.

До захвата частицы пакетом заряд совершал циклотронное вращение как это видно из графиков на рис.7б и рис.7в, где η(τ) смещение частицы вдоль волнового фронта η(τ) = ω y / c, ξ = ω x/ c . Заметим, что для незахваченной частицы траектория на плоскости (ξ,η), перпендикулярной внешнему магнитному полю, существенно отличается от окружности. Пусть Φ(τ) = dΨ(τ)/dτ. Движение изображающей точки на фазовой плоскости ( Φ(τ), Ψ(τ) — Ψ(0) ) для захваченного электрона показано на рис.7в, для интервала времени 10000 < τ < 45000. Вращение происходит по часовой стрелке.

Рис.7в. Структура фазовой плоскости  для захваченного пакетом электрона с энергией γ(τ) на интервале времени 10000 < τ < 45000 для малой надкритичности.

Согласно рис.7в, вначале изображающая точка движется по сжимающейся спиралевидной траектории к центру эффективной потенциальной ямы, а попадая в область полей с величиной ниже критического значения, уходит вправо, где фаза волны в среднем растет пропорционально времени.

На рис.7г показан график смещения заряда вдоль волнового фронта на интервале времени τ < 4000 для незахваченной частицы. Согласно графику в данном случае происходят достаточно сложные колебания заряда в эффективной потенциальной яме, существенно отличающиеся от чисто циклотронного вращения в постоянном магнитном поле. Эти особенности обусловлены движением частицы в нестационарной, нелинейной, эффективной потенциальной яме.

Рис.7г. Смещение частицы вдоль волнового фронта (по оси у).

Это означает, что имеются существенные локальные изменения энергии незахваченной частицы, представленные на рис.8а графиком релятивистского фактора γ(τ) для интервала времени τ < 4000.

Рис.8а. Локальные изменения энергии незахваченной частицы.

Приведем также график релятивистского фактора частицы для интервала времени счета τ до 6×10⁴. На рис.8б показан график γ(τ) и его аналитической аппроксимации M(τ). Рис.8б свидетельствует о том, что рост энергии захваченной частицы соответствует почти постоянному темпу ее ускорения волновым пакетом.

Рис.8б. График γ(τ) и его аналитической аппроксимации M(τ).

Временная динамика ускорения заряда определяется функцией cos (Ψ) Согласно расчетам, в центре волнового пакета (области ускоряющих полей), амплитуда поля максимальна, значения функции cos (Ψ) отрицательны (рис.8в) для отрицательного заряда, что соответствует ускорению.

Рис.8в. График функции cos(Ψ), определяющей темп ускорения заряда.

Раздел 2.3. Оценки характерных энергий ускоренных частиц при серфотронном ускорении в космической плазме гелиосферы

Приведем оценки для энергии заряженных частиц, получаемой ими при серфотронном ускорении электромагнитными волнами в плазме гелиосферы. Прежде всего отметим, что наиболее подходящие условия для серфинга зарядов на электромагнитных волнах имеются на периферии гелиосферы для расстояний от Солнца порядка (100-150) а.е. (астрономических единиц), где 1 а.е. = 1.5×10⁸ км  — расстояние от Земли до Солнца [17]. Заметим, что аппарат Вояджер зафиксировал присутствие в этой области электромагнитных волн с частотами f =  w / 2p порядка 10² Герц [18]. В указанной области плазма приходящего солнечного ветра слабонеоднородна, уровень турбулентности достаточно мал, магнитное поле H₀ имеет величину порядка микрогаусса (мкГс).

Следовательно, при нормировке магнитного поля на эту характерную величину для электронной циклотронной частоты можем использовать формулу w_He = ( H₀ / мкГс) ×17 / сек. Согласно проведенному выше анализу, для прироста релятивистского фактора электрона при серфотронном ускорении имеем выражение dg » u b_p g_p dt, где dt  безразмерное время, в течение которого электрон был захвачен волной или волновым пакетом. Пусть длина ускорения L_a , тогда для dt имеем формулу dt = w L_a / с b_p поскольку захваченный заряд пересекает область серфотронного ускорения с фазовой скоростью волны с×b_p . Теперь для прироста релятивистского фактора получаем выражение  dg » ( H₀ / мкГс)×(17 / w)×(b_p g_p w L_a / с b_p ). В итоге будет следующая оценка для прироста релятивистского фактора захваченного электрона при серфотронном ускорении электромагнитными волнами на периферии гелиосферы

dg = 8.5×10⁴×( H₀ / мкГс)×( L_a / 10×а.е.) ×g_p.

Следовательно,  прирост энергии электрона можно представить в следующем виде dƐ_е = 43.4 ГэВ×( H₀ / мкГс)×( L_a / 10×а.е.) ×g_p . Если взять L_a = 100×а.е. , H₀ = 1.5 мкГс, то при серфотронном ускорении на периферии гелиосферы электрон получает энергию dƐ_е = 0.651×g_p × ТэВ. Это значительно превосходит максимальную энергию частиц в солнечном ветре, вылетающих во время солнечных вспышек, которая составляет  3 ГэВ. Такая же оценка получается и для позитронов. Приведем также оценку характерной энергии заряженных частиц при серфотронном ускорении электромагнитными волнами в плазме местных межзвездных облаков (ММО), находящихся на расстоянии порядка долей парсека от солнечной системы. Один парсек равен 3.08×10¹³ км. Полагая L_a = 0.1 парсека при H₀ = 1 мкГс для энергии ускоренного в ММО электрона имеем dƐ_е = 86.8×g_p × ТэВ, что соответствует области вблизи колена в энергетическом спектре космических лучей (характерные энергии колена порядка 10¹⁵ эВ).

Проведенные оценки показывают, что в сравнительно спокойной космической плазме (в отсутствие катастрофических событий типа сверхновых и пр.) распространение электромагнитных волн (при наличии слабого магнитного поля) может приводить к захвату малой доли из потока быстрых частиц (с относительно малыми энергиями в сравнении, например, с энергиями в области колена) с последующим их доускорением и увеличением энергии частицы на три-четыре и более порядков величины, где этот добавок может значительно изменить стандартную величину потока фоновых КЛ.

Поскольку плотность потока космических лучей быстро убывает с ростом их энергии серфотронное ускорение может приводить к существенным вариациям потока КЛ, наблюдаемым, например, в солнечной системе. Причем в спектре КЛ возникают квази-пики с максимумом при энергиях  Ɛ порядка 10⁵ ГэВ [16-18]. Как уже указывалось в работах [16-18], где обсуждались причины возникновения вариаций потоков КЛ, диффузионный механизм ускорения частиц КЛ до максимальных энергий требует характерные промежутки времени порядка 10³ лет, а появление вариаций в спектрах КЛ наблюдается в течение нескольких лет. Кроме того, для реализации диффузион-ного механизма ускорения (в отличие от серфинга) нужны весьма сильные магнитные поля в космической плазме.

2.4. Основные результаты главы 2.

В данной главе изучена временная динамика характеристик ускоряемых частиц, включая их захват и последующее длительное удержание в области ускоряющих напряженностей электрического поля волнового пакета для умерен-ных начальных энергий зарчяженных частиц.

Поскольку начальный циклотронный период частицы во внешнем магнитном поле относительно мал заряд совершив ряд гирооборотов попадает в благоприятную для захвата волной фазу при одновременном выполнении черенковского резонанса. После захвата происходит ультрарелятивистское ускорение частиц с ростом их энергии на (3÷4) порядка величины и более, если время захвата достаточно велико. В случае волнового пакета наиболее сильное ускорение имеет место при захвате частицы  на задней стороне пакета, затем частица ускоряется быстро пролетая с фазовой скоростью (значительно большей групповой скорости) область пакета, где поле выше критического значения.

Следовательно, число ускоренных волновым пакетом частиц может быть достаточно большим вследствие увеличения в пространстве начальных импульсов области, из которой заряды попадают в режим эффективного серфотронного ускорения. Показано, что во время сильного ускорения поперечные компоненты импульса и релятивистский фактор захваченной частицы возрастают практически с постоянным темпом. При отсутствии захвата происходит циклотронное вращение частиц и тем не менее в этом процессе возможно локальное доускорение частиц с увеличением их энергии, например, на порядок.

В заключение данного раздела отметим также следующее. Интересен вариант отрицательного знака компоненты импульса заряда вдоль волнового фронта. Согласно расчетам вначале частица, оставаясь захваченной, тормозится и меняет знак этой компонентры импульса, а затем происходит ее ультрарелятивистское ускорение. В этом варианте задачи по результатам численных расчетов, на первом этапе движение изображающей точки на фазовой плоскости соответствует траектории около неустойчивого фокуса с увеличением расстояния от него по мере торможения заряда. На втором этапе, когда имеет место ускорение частицы электромагнитной волной (частица находится в области ускоряющих фаз электрического поля волны), траектория изображающей точки отвечает движению к другой фазе –  устойчивого фокуса типа цилиндр с амплитудой  осцилляций, медленно убывающей  по мере роста энергии заряда.

Страницы: 1 2 3