ВВЕДЕНИЕ
Эпиграф из [1]: «Из нашего девиза «Цель расчетов — не числа, а понимание», следует, что человек, который должен этого понимания достигнуть, обязан знать, как происходит вычисление. Если он не понимает, что делается, то очень маловероятно, чтобы он извлек из вычислений что-нибудь ценное. Он видит голые цифры, но их истинное значение может оказаться скрытым в вычислениях».
Основные этапы решения прикладных задач с использованием компьютеров
- Постановка проблемы — формулировка на языке предметной области.
- Выбор, построение математической модели — полнота, сложность, снижение размерности — формулировка на математическом языке; упрощенная модель (грубая), тестовые примеры.
- Постановка вычислительной задачи — анализ ИД, параметры модели, требования к результату, подготовка контрольных вариантов.
- Анализ вычислительной задачи (существование и единственность решения, корректность, устойчивость).
- Выбор численного метода — время решения, требуемая точность, универсальность.
- Алгоритмизация — порядок вычислений, критерии окончания, контрольные точки и промежуточные проверки.
- Обработка, представление и анализ результатов.
- Корректировка модели, ИД, и т.п., возвращаемся к 1.
В самой общей постановке вычислительная задача состоит в том, что для каждого x из множества исходных данных X требуется найти единственное решение y из множества возможных решений Y.
Пример. Найти решение уравнения ax + b = 0. Здесь исходные данные (ИД) — коэффициенты уравнения a и b, т.е. X = R2 = {(a, b), a, b — действительные числа, a ≠ 0}, Y = R1 = R — множество действительных чисел; задача имеет единственное решение . Если (a, b) = (3, 1), то решаем уравнение 3x+1 = 0.
Его единственное решение — .
Простота, «примитивность» примера не случайна. Нужно стараться все понять на простейших примерах. Линейная функция и линейное уравнение будут основными источниками примеров в течение всего курса.
В дальнейшем будем обозначать (если специально не оговорено другое) y — точное, “теоретическое» решение задачи, x — точные, «теоретические» исходные данные; соответственно y* и x* — их приближенные значения, еще y*— результат численного решения задачи.
Источники и классификация погрешностей численного решения задачи
— погрешность численного решения задачи y = y(x).
Причины возникновения погрешностей:
- погрешность математической модели;
- погрешность исходных данных;
- погрешность приближенного решения задачи;
- погрешность приближенных чисел (округление, ввод в память компьютера).
— неустранимая погрешность — погрешность модели, погрешность ИД;
—погрешность метода — погрешность избранного численного метода; не следует стремиться сделать ее как можно меньшей, желательно — в 2-3 раза меньше неустранимой погрешности;
— вычислительная погрешность — погрешность приближенных чисел, погрешность округления; следует стремиться сделать ее хотя бы на порядок меньше погрешности метода;
Корректность вычислительной задачи
Обозначим x* и y* — приближенные значения исходных данных и приближенное решение вычислительной задачи. Пусть определены их абсолютные и относительные погрешности, а также границы этих погрешностей
(эти понятия интуитивно ясны и известны, использовались в ЛП по физике, точные определения будут даны ниже).
Вычислительная задача называется корректной по Адамару — Петровскому, если:
- при любых существует решение ;
- решение единственно;
- решение устойчиво по отношению к малым возмущениям исходных данных:
для любого существует число , зависит от , такое, что всякому x*, удовлетворяющему условию , отвечает приближенное решение y*, для которого .
Задача некорректна, если нарушено хотя бы одно из этих условий.
Иногда рассматривают относительную устойчивость, т.е. в соответствующих неравенствах и заменяют соответственно на .
Пример некорректной задачи. Задача вычисления ранга матрицы в общем случае.
Для матрицы ранг . В данном случае исходными данными являются коэффициенты матрицы А, решением ранг матрицы А.
Рассмотрим задачу с возмущенными исходными данными . Определитель этой матрицы и, следовательно ранг равен 2.
Пример некорректной задачи. Задача дифференцирования
Пусть — дифференцируемая на всей числовой оси функция. Известно что задача вычисления производной имеет единственное решение. Здесь исходные данные — значение функции .
Рассмотрим на промежутке задачу с возмущенными исходными данными . Погрешность данных задачи.
Прикрепленные файлы: |
|
|---|---|
|
Администрация сайта не рекомендует использовать бесплатные работы для сдачи преподавателю. Эти работы могут не пройти проверку на уникальность. Узнайте стоимость уникальной работы, заполните форму ниже: Узнать стоимость |
|
Скачать файлы:
|
Скриншоты работы: |
|
|---|---|
|
|