Контрольная работа по дисциплине «Теория множеств в задачах управления». Вариант 3

Задание No3
«Арифметические операции над нечеткими множествами»

Цель: получить практические навыки в выполнении арифметических операций с нечеткими числами (сложение, вычитание, умножение и деление) для различных способов представления нечетких множеств.

Задачи:

• получить навыки выполнения арифметических операций с нечеткими числами, используя вертикальное представление и наиболее известные операторы MAXMIN, MEAN, MAXPROD, PROD;
• получить навыки выполнения арифметических операций с нечеткими числами, используя L-R-представление нечетких множеств;
• представить результаты выполнения арифметических операций с нечеткими числами графически (вертикальное представление и L-R-представление) и аналитически (L-R-представление);
• выполнить анализ полученных результатов.

В нечеткой арифметике базовые математические операции над нечеткими числами представляют собой обобщение соответствующих операций над обычными числами. Правила такого обобщения предложены Заде в виде принципа обобщения, который для систем типа MISO (с двумя входами и одним выходом) реализует отображение y = f (x1, x2).

В большинстве практических ситуаций принцип обобщения для функции нескольких переменных фактически представляет собой задание функции принадлежности выходного значения системы, используя выражение вида:

() =∨=(1,2) (1(1)∧2(2)),∀1,2, ∈

13

Для снижения трудоемкости арифметических операций на основе принципа обобщения часто используется упрощенный механизм выполнения арифметических операций, основанный на L-R-представлении нечетких чисел. В этом случае нечеткие числа A1 и A2 могут быть представлены тройками вида:

=( , ), =( , ) 1 11,1 2 22,2

где m – модуль нечеткого множества,

α и β- расстояния от модуля до точки на области определения, в которой значение функции принадлежности равно 0 вправо в влево соответственно в случае если функция принадлежности кусочно-линейна, или до точки со значением функции принадлежности 0,5 в других случаях.

Ход выполнения.

1. Задайте два нечетких положительных числа на дискретной области определения, например «примерно 6» и «примерно 9». Представьте данные нечеткие числа используя вертикальное представление нечетких множеств графически и в виде таблицы.

2. Заданные нечеткие числа представьте используя L-R-представление нечетких чисел, графически и аналитически.

3. Из представленной ниже таблицы вариантов выберите свой вариант арифметических действий и выполните эти действия. При выполнении операций умножения и деления для представления результата использовать плоское представление нечеткого произведения (частного).

Операции No Операции вар.

4. Представьте результат выполнения арифметических операций графически и аналитически (для L-R-представления).

5.Сравните результаты выполнения одной арифметической операции с одними и теми же нечеткими числами разными методами. Сделайте выводы о точности полученного результата и трудоемкости выполнения операции над нечеткими числами в случае использования вертикального представления и в случае L-R-представления.

Контрольные вопросы.

1. В каком случае при моделировании систем применяются нечеткие числа
2. Какие преимущества предоставляют гибридные модели, состоящие из четких и нечетких блоков?

Сформулируйте принцип обобщения Заде для варианта систем типа SISO.

Поясните на примере, что такое противоположное нечеткое число –А для нечеткого числа А.

Дайте определение обратного нечеткого числа A-1 для нечеткого числа A.

В чем принципиальное различие двух s-норм MIN и MEAN?

Какой из двух операторов сложения нечетких чисел MAXMIN и MAXMEAN обладает большей аддитивностью?

В каких случаях используется L-R-представление нечетких чисел для выполнения арифметических операций? Назовите достоинства и недостатки такого метода.