Контрольная работа по Математике

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Задача 2.45
2. Задача 3.10
3. Задача 3.45
4. Список использованной литературы

Задача 2.45

На основе представленного интервального вариационного ряда вычислить для изучаемой случайной величины точечные оценки:

а) математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;

б) выборочные центральные моменты третьего и четвертого порядков;

в) коэффициенты асимметрии, эксцесса и вариации;

г) моду и медиану интервального ряда.

Решение:

Составим расчетную таблицу.

а) Рассчитаем точечную оценку математического ожидания – выборочное среднее.

б) Рассчитаем выборочные центральные моменты третьего и четвертого порядков.

в) Определим коэффициент асимметрии.

г) Рассчитаем коэффициент вариации

Отрицательное значение коэффициента асимметрии указывает на левостороннюю асимметрию распределения и сдвиг кривой распределения влево от кривой нормального распределения. Отрицательное значение коэффициента эксцесса указывает на плосковершинность распределения и разброс значений признака от среднего. Коэффициент вариации, не превышающий 33,3%, характеризует распределение, как однородное, следовательно, рассчитанная средняя типична для всей совокупности.

д) Мода – это наиболее часто повторяющийся признак в совокупности.

В данном распределении наибольшая частота, равная 20, соответствует интервалу (86,5 – 87,5), следовательно, он является модальным.

Таким образом, наиболее вероятная себестоимость единицы продукции равна 87,13 руб.

Медиана – это значение признака, делящее ряд распределения на две равные части.

Медианным является первый интервал, имеющий накопленную частоту, превышающую половине объема выборки  В заданном распределении – это интервал (86,5 – 87,5) с накопленной частотой 34.

Таким образом, средняя себестоимость единицы половины товаров не превысила 87,05 руб., а другой половины товаров – не ниже 87,0 руб.

Задача 3.10

По данным банковской статистики, полученным в результате анализа работы 14 банков, выяснилось, что величина вклада клиентов составляет 5000 ден. ед. В предположении, что величина вклада подчиняется нормальному закону со средним квадратическим отклонением :

а) определить ширину доверительного интервала для средней величины вклада с надежностью ;

б) найти доверительную вероятность того, что точность оценивания величины вклада клиентов банка составит ;

в) определить доверительную вероятность того, что средняя величина вклада клиентов банка не превосходит 4950 ден. ед.;

г) определить минимальное число банков, которое необходимо проверить, чтобы с вероятностью  модно было утверждать, что средняя величина вклада клиентов заключена в интервале шириной 200 ед.

Решение:

а) Так как дисперсия нормального распределения известна, по таблице значение функции Лапласа находим значение аргумента.

б) Для значения аргумента находим значение функции и при надежности 0,9715 точность оценивания составит 170 ден. ед.

в) Для значения аргумента находим значение функции и при надежности 0,4811 средняя величина вклада клиентов банка не превосходит 4950 ден. ед.

г) Необходимо проверить 38 банков для обеспечения заданной точности (200 ден. ед.) и надежности (0,966).

Задача 3.45

Контрольные испытания 16 ламп показали, что в среднем срок их службы составляет 3000 ч. При этом оценка среднего квадратического отклонения показателя, полученная по данным выборки, составила s=210 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально:

а) определить границы доверительного интервала для среднего срока службы ламп с надежностью ;

б) найти доверительную вероятность того, что точность оценивания среднего срока службы ламп составит ;

в) определить доверительную вероятность того, что средняя величина срока службы ламп заключена в интервале (2920; 3160) ч.

Решение:

а) Для заданной надежности 0,95 и числа степеней свободы k=16-1=15 найдем значение функции Стьюдента  и границы доверительного интервала.

С надежностью 0,95 можно утверждать, что средний срок службы ламп будет не менее 2883,4 часов и не более 3116,6 часов.

б) По таблице t-распределения Стьюдента для числа степеней свободы k=6-1=15 берем ближайшее к полученному значению  значение надежности , т.е. при надежности 0,9 точность оценивания составит 100 часов.

в) По таблице t-распределения Стьюдента для числа степеней свободы k=6-1=15 берем ближайшее к полученному значению  значение надежности . Т. о., с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя величина срока службы ламп заключена в интервале (2920; 3160) ч.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болдин К.В. и др. Основы теории вероятностей и математической статистики: Учебник. – М.: Флинта, 2010.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. — М.: Юрайт, 2013. — 479 c.
3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М., Высш.шк., 2004.- 404 с.
4. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. — 551 c.
5. Попов А.М., Сотников В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: Юрайт, 2011.
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. — 576 с.