Контрольная работа по Статистике

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона на основании следующих данных.

Решение:

Выдвинем гипотезу H₀: распределение генеральной совокупности подчинено нормальному закону.

Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычислим по формуле:

По таблице критических значений  при уровне значимости α=0,02 и числе степеней свободы k=l-3=4-3=1 (l – число групп) найдем: .

Так как , то гипотезу о нормальном распределении можно принять на данном уровне значимости.

Средняя концентрация хлора 11 случайно отобранных проб воды бассейнов одного района составляет 4,2 мг/л при среднеквадратическом отклонении 0,5 мг/л, а для 13 случайно отобранных проб воды бассейнов другого района – 3,9 мг/л при среднеквадратическом отклонении 0,6 мг/л. В предположении о нормальном законе распределения генеральных совокупностей, можно ли на уроне значимости утверждать, что:

а) средние концентрации хлора в бассейнах двух районов различны;

б) бассейны первого района в среднем имеют более высокую концентрацию хлора, чем второго (в чем разница пунктов а) и б)?)

Решить задачи пунктов а) и б) в условиях следующих допущений:

1. Считать данные в условии СКО найденными путем длительных исследований генеральными среднеквадратическими отклонениями ϭ_x и ϭ_y.
2. В предположении, что истинные значения дисперсий генеральных совокупностей неизвестны, а в условии даны полученные по выборкам выборочные средние квадратические отклонения S_x и S_y.

Решение:

Считаем данные в условии СКО найденными путем длительных исследований генеральными среднеквадратическими отклонениями ϭ_x и ϭ_y.

а) Проверим гипотезу о равенстве средних:  против конкурирующей гипотезы .

Рассчитаем статистику:

– численность выборок

– средние выборочные значения

При конкурирующей гипотезе  выбираем двустороннюю критическую область.

Функция T имеет t – распределение (распределение Стьюдента) с числом степеней свободы .

По таблице t – распределения для v=23 и уровня значимости α=0,05 (для двусторонней критической области) находим:

Критической областью является .

Расчетное значение  не принадлежит критической области, следовательно, гипотеза  принимается, т.  е. средние концентрации хлора в бассейнах двух районов не различаются.

б) Проверим гипотезу  против конкурирующей гипотезы .

По таблице t – распределения для v=23 и уровня значимости α=0,05 (для правосторонней критической области) находим:

Критической областью является .

Расчетное значение  не принадлежит критической области, следовательно, гипотеза  принимается, т.  е. бассейны первого района в среднем имеют более высокую концентрацию хлора, чем второго.

Предположим, что истинные значения дисперсий генеральных совокупностей неизвестны, а в условии даны полученные по выборкам выборочные средние квадратические отклонения S_x и S_y.

а) Критическая двусторонняя область .

Расчетное значение  не принадлежит критической области, следовательно, гипотеза  принимается, т.  е. средние концентрации хлора в бассейнах двух районов не различаются.

б) Правосторонняя критическая область .

Расчетное значение  не принадлежит критической области, следовательно, гипотеза  принимается, т.  е. бассейны первого района в среднем имеют более высокую концентрацию хлора, чем второго.

Аудиторская проверка 100 торговых точек показала, что 30 коммерсантов дали неверные сведения о своих доходах. В предположении, что генеральная совокупность подчиняется биноминальному закону распределения, проверить на уровне значимости 0,05 следующие гипотезы:

а) Позволяет ли данная информация считать, что каждый четвертый коммерсант пытается уйти от уплаты налогов. Или на самом деле процент уходящих налогов от коммерсантов выше? (проверить против двух соответствующих конкурирующих гипотез).

б) Сравнить доли нечестных налогоплательщиков среди коммерсантов и госслужащих, если при проверке 2000 случайно отобранных госслужащих выявлены 25 человек, подавшие налоговые декларации с неверными доходами.

Решение:

а) Вычислим значение выборочной доли (или найдем точечную оценку вероятности биномиального закона распределения, т. е. вероятности того, что случайно выбранный коммерсант пытается уйти от налогов)

Проверим гипотезу о равенстве величин  против альтернативной гипотезы .

Рассчитаем статистику:

– объем выборки

Находим t_крп границу критической области, с помощью функции Лапласа, применяя соответствующую таблицу:

Критической областью является .

Расчетное значение  не принадлежит критической области, следовательно, гипотеза  принимается, т.  е. каждый четвертый коммерсант пытается уйти от уплаты налогов.

Проверим гипотезу  против альтернативной гипотезы .

Правосторонняя критическая область .

Расчетное значение  не принадлежит критической области, следовательно, гипотеза  принимается, т.  е. процент уходящих от налогов коммерсантов не выше 0,25.

б) Доля нечестных налогоплательщиков среди госслужащих составляет:

Выборочная доля нечестных налогоплательщиков среди коммерсантов выше, чем среди госслужащих: 0,3>0,0125.

В таблице представлены данные опроса клиентов по оценке техосмотра, проведенного тремя мастерами.

Требуется при 5%-ном уровне значимости сравнить, отличается ли оценка работы мастеров клиентами.

Решение:

Рассчитаем теоретические частоты по формуле:

Вычислим статистику:

По таблице -распределения находим:

– число степеней свободы

Так как , то гипотеза об отличии оценки работы мастеров клиентами принимается.