Курсовая работа на тему «Формирование умения решать задачи повышенной трудности у учащихся третьих классов»

Введение
1. Умение решать задачи повышенной трудности, как залог успеха на предметных олимпиадах
2. Методические особенности решения задач повышенной трудности
3. Обучение умению решать задачи повышенной сложности
Заключение
Список литературы 3

 Введение

 

Учебная деятельность, в процессе которой максимально усваивается система математических знаний, умений и навыков- это решение задач. Именно решение задач в значительной степени направляет и стимулирует учебно- познавательную активность учащихся.

Математические задачи служат основным дидактическим целям обучения, формируют систему знаний учащихся, их творческое мышление , способствуют развитию интеллекта и выполняют познавательную роль в обучении. Решение задач в школьном курсе математики — это и средство формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, -это и ведущая форма деятельности учеников в процессе изучения предмета, — это и одно из основных средств их математического развития.

Разработкой методики обучения решению текстовых задач занимались такие учёные, как Ю. М. Колягин, Д. Пойа, А.А.Столяр и другие. Решение задач в математическом образовании занимает центральное место.

Математика проникает почти во все области деятельности человека. В связи с этим стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую подготовку подрастающего поколения. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснить различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, даёт возможность на практике применять теорию.

Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания (уже в первом классе учащиеся начинают решать текстовые задачи). Всвязи с введением ЕГЭ, ОГЭ, ГВЭ в выпускных классах, вопрос о решении учениками текстовых задач стал ещё более актуальным.

Требования к умению учащимися решать текстовые задачи по математике заложено в «Федеральном компоненте образовательного стандарта основного общего образования по математике» . Это задачи на проценты, текстовые задачи на работу, движение, стоимость, смеси, решать которые предполагается и арифметическим, и алгебраическим способом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, учитывать область допустимых значений, анализируя результат.

Цель работы – рассмотреть особенности формирования умения решать задачи повышенной трудности у учащихся третьих классов.

Задачи работы:

 

Объект исследования – процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования – умение решать задачи повышенной трудности у учащихся третьих классов.

Для решения поставленных задач нами были использованы следующие
методы исследования:  теоретические методы: анализ методической литературы но проблеме исследования; программ, учебников, методических пособий по математике для начальной школы; эмпирические методы: наблюдение, сравнение, эксперимент, тестирование.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех
разделов, заключения, списка использованных источников, приложения.

 

 

Умение решать задачи повышенной трудности, как залог успеха на предметных олимпиадах

 

Одной из основных задач, поставленных перед школой на современном этапе, является забота о всестороннем развитии творческого мышления учащихся.

Воспитание творческой активности учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателями математики в современной школе. Основным средством такого воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи. Умением решать задачи характеризуется в первую очередь состояние математической подготовки учащихся, глубина усвоения учебного материала, умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности»‘.

Поэтому вполне оправдано то повышенное внимание, которое уделяется решению задач при обучении математике. К сожалению, часто самым распространенным методом обучения решению задач является показ способов решения определенных видов задач и значительная практика по овладению ими. И в школьных учебниках, и во многих пособиях для учащихся задачи распределены по группам в соответствии с используемым для их решения математическим аппаратом. Такие задачи учащиеся, как правило, решают неплохо, если указывается, какая теория необходима для их решения. Если же учащиеся лишены такого ориентира, то испытывают затруднения при решении даже несложных задач.

В ныне действующих учебниках алгебры есть специальные разделы с задачами повышенной трудности, для решения которых ученик сам, без подсказки названием главы или параграфа учебника должен определить, какой математический аппарат необходимо применить. Большинство из задач этих разделов нестандартные, требующие от учащихся изобретательности, смекалки.

При обучении математике на решение задач отводится большая часть учебного времени. Подсчитано, что за период обучения в школе учащиеся на уроках и при выполнении домашних заданий решают несколько десятков тысяч задач. Однако навыки решения учащимися задач оставляют желать лучшего, казалось бы, хорошие знания в области теории, знает все требуемые определения, аксиомы и теоремы, но затрудняется при решении весьма несложных задач, с которыми он легко справлялся в школе, когда решали задачи при изучении, закреплении и повторении той или иной темы. Одна из главных причин затруднений учащихся, испытываемых ими при решении задач, заключается в том, что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики.

Роль и значение таких задач исчерпываются в течение того непродолжительного периода, который отводится на изучение (повторение) того или иного вопроса программы. Функция таких задач чаще всего сводится к иллюстрации изучаемого теоретического материала, к разъяснению его смысла. Поэтому учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногда подсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения учеником здесь минимален. При решении задач на повторение, требующих знаний нескольких тем, у учащихся, как правило, возникают определенные трудности.

К сожалению, в практике обучения математике решение задач чаще всего рассматривается лишь как средство сознательного усвоения школьниками программного материала. И даже задачи повышенной трудности специальных сборников, предназначенных для внеклассной работы, в основном имеют целью закрепление умений и навыков, учащихся в решении стандартных задач, задач определенного типа. А между тем функции задач очень разнообразны. Обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие — таковы функции задач, довольно подробно описанные в современной методической литературе.

Общепризнано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития. От эффективности использования задач в обучении математике в значительной мере зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся средней школы, но и степень их практической подготовленности к последующей деятельности в любой сфере народного хозяйства и культуры.

При решении задач в процессе обучения математике наряду с реализацией одной из основных целей обучения математике — формированием предусмотренной программой системы математических знаний, умений и навыков — возможно и необходимо самым естественным образом эффективно использовать задачи для реализации целей воспитания учащихся.

В практике обучения математике воспитывающие функции задач редко выступают в качестве ведущих (в отличие от функций, обучающих или контролирующих). Однако тот или иной элемент воспитания может и должен быть осуществлен через каждую задачу: либо через ее фабулу, либо в процессе ее решения, либо в процессе изучения результатов решения.

Одной из важнейших воспитывающих функций задач является формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения. В процессе решения задач имеется возможность наиболее ярко продемонстрировать учащимся политехнический характер математики, ее прикладную направленность. Иллюстрируя применение математики к решению практических задач, можно показать, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством ее познания.

Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений математических задач, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.

Каждая предлагаемая для решения учащимся задача может служить многим конкретным целям обучения. И все же главная цель задач — развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.

Ознакомление учащихся лишь со специальными способами решения отдельных типов задач создает реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умение самостоятельно решать незнакомые задачи («Мы такие задачи не решали», — часто заявляют учащиеся, встретившись с задачей незнакомого типа).

В системе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы задачи, направленные на отработку того или иного математического навыка, задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, выполняемые по образцу.

Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, общим приемам решения задач, для овладения ими методами научного познания реальной действительности и приемами умственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу.

Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач с помощью специально подобранных упражнений, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо прививать учащимся навыки не только логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления.

 

Методические особенности решения задач повышенной трудности

 

Главная цель задач ‑ развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.

Я считаю, что достичь этой цели с помощью обычных стандартных задач невозможно. Опыт использования ряда нестандартных задач показывает, что для формирования самостоятельности мышления, воспитания творческой активности необходимо включать их в систему упражнений и задач, используемых на уроке, во внеклассной работе. Решение нестандартных задач вызывает у детей наибольшие затруднения. Остановимся на понятии «нестандартная задача».

«Нестандартные задачи ‑ это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения», ‑ считает Фридман Л.М.[20]. Однако следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, знакомы ли ученики со способами решения таких задач.

Нестандартная задача ‑ это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т.е. учащиеся не знают заранее ни способов её решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

Как учитель может помочь учащимся решать нестандартные задачи? Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, нет, т.к. нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы.

Однако в методике можно найти описание опыта учителей, добивающихся хороших результатов в математическом развитии учащихся. Некоторые методические приемы обучения учащихся способам решения нестандартных задач сформированы в книгах Ж. Пойа «Как решать задачу, «Математическое открытие»; Л.И. Фридмана и Е.Н. Турецкого » Как научиться решать задачу»; Ю.М. Колягина «Учись решать задачу». Рассмотрим отдельные методические приемы обучения учащихся решать нестандартные задачи:

Прежде всего, отметим, что научить учащихся решать задачи (в т.ч. нестандартные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание их решать, т.е. если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения ученика. Поэтому задача учителя ‑ вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для учащихся.

Это могут быть ‑ задачи ‑ шутки, задачи ‑ сказки, старинные задачи и т.п. Одно бесспорно: наибольший интерес у учащихся вызывают задачи, взятые из окружающей жизни, задачи, связанные со знакомыми вещами, опытом. Важно показать детям, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгаданного кроссворда или ребуса.

Задачи не должны быть слишком легкими, но и не слишком трудными, т.к. ученики, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. В этом случае очень важно соблюсти меру помощи. Прежде всего, учитель не должен знакомить учащихся с уже готовым решением. Подсказка должна быть минимальной. Л.М. Фридман в своей книге «Как научиться решать задачи» пишет: «Для успешного решения нестандартных задач необходимо, прежде всего, уметь думать, догадываться. Но этого мало. Нужны, конечно, и знания, и опыт в решении необычных задач; полезно владеть и определенными общими подходами к решению».

Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задачи, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений. Умелая помощь учителя оставляющая различную долю самостоятельной работы, позволит ученикам разумную долю самостоятельной работы, позволит ученикам развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь решения новых задач.

«Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания.

Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?»[10]. Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи.

Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что учащиеся уже владеют определенным опытом решения нестандартных задач. Если этот опыт невелик, то можно предложить учащимся вспомогательные задачи. Умело поставленные вопросы, вспомогательные задачи помогут понять идею решения.

Необходимо стремиться к тому, чтобы учащиеся испытывали радость от решения трудной для них задачи.

Рассмотрим примеры решения таких задач, с тем, чтобы выяснить особенности процесса их решения.

В трех ящиках 300 яблок. Число яблок первого ящика составляет половину числа яблок второго ящика и треть числа яблок третьего ящика. Сколько яблок в каждом ящике?

Решение. Эта задача является текстовой. Для подобных задач никакого общего правила, определяющего точную программу, их решения не существует. Однако это не значит, что вообще нет каких-либо указаний для решения таких задач. Обозначим количество яблок в первом ящике через х . Тогда во втором ящике было 2хяблок, в третьем — 3х . Следовательно, сложив все числа х +2х +3х , мы должны получить 300 яблок. Получаем уравнение х +2х +3х =300.Решив уравнение, найдем: х =50 яблок, 2х =100 яблок, 3х =150 яблок.

Значит, в первом ящике было 50 яблок, во втором ‑ 100 яблок, в третьем ‑ 150 яблок. Проанализируем процесс приведенного решения задачи. Сначала мы определили вид задачи «текстовая задача», и, исходя из этого, возникла идея решения («составить уравнение»).

Для этого, пользуясь общими указаниями и образцами решения подобных задач, полученных на уроках («надо обозначить одно из неизвестных буквой, например х , и выразить остальные неизвестные через х , затем составить равенство из полученных выражений»), мы построили уравнение.

Заметим, что эти указания, которыми мы пользовались, не являются правилами, ибо в них ничего не сказано, какое из неизвестных обозначить через х , как выразить остальные неизвестные через х , как получить нужное равенство и т.д. Все это делается каждый раз по-своему, исходя из условий задачи и приобретенного опыта решения подобных задач. Полученное уравнение представляет собой уже стандартную задачу. Решив её, мы тем самым решили и исходную нестандартную задачу.

Смысл решения данной задачи состоит в том, что с помощью особого приема (составление уравнения) мы свели её решение к решению стандартной задачи.

2. В магазин «Цветы» привезли 30 желтых тюльпанов и столько же красных. Каждые 3 желтых тюльпана стоили 20 руб., а каждые 2 красных тюльпана стоили 30 руб. Продавец сложила все эти тюльпаны вместе и решила сделать букеты по 5 тюльпанов и продавать их по 50 руб. Правильно ли она рассчитала?

Решение. Найдем стоимость всех тюльпанов, если бы продавец не складывала тюльпаны вместе (реальную стоимость) руб. Найдем стоимость тюльпанов в том случае, когда продавец сложила их по 5 в букеты и стала продавать по 50 руб. (предполагаемая стоимость) руб. Сравниваем реальную и предполагаемую стоимость тюльпанов 650 руб. > 600 руб. Обнаруживаем, что расчет продавца ошибочен, т.к. при сложении всех тюльпанов и продажи их по 5 шт. в букетах она теряет 50 руб.

Процесс решения этой нестандартной задачи состоит в следующем: данную задачу мы разбили на такие подзадачи:

1) нахождение реальной стоимости;

2) нахождение предполагаемой стоимости;

3) сравнение полученных стоимостей и вывод о расчете продавца.

Решив эти стандартные подзадачи, мы в конечном итоге решаем и исходную нестандартную задачу. По мнению Л.М. Фридмана [19,20], процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

• сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной (способ моделирования);
• разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных вспомогательных подзадач (способ разбиения). Для того чтобы легче было осуществлять способы разбиения и моделирования, мы считаем полезным построение вспомогательной модели задачи ‑ схемы, чертежа, рисунка, графа, графика, таблицы.

Сколько всего различных незамкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A, B , C , D на рисунке?

Задача 3 – это фактически задача на перебор вариантов. Ее цель состоит в том, чтобы дать учащимся возможность накопить некоторый опыт по подсчету числа вариантов и по построению дерева вариантов.

После обсуждения ответов и решений учащихся учитель может сказать примерно следующее: «Вы получили разные ответы, но никто не смог доказать, что он перебрал все возможные случаи. Давайте попробуем разработать такой способ подсчета, при котором можно быть уверенным в том, что мы перебрали все возможные варианты.» Тогда словосочетание «перебор … вариантов» появляется в таком контексте, что смысл его объяснять не надо, тем более, что используемые слова учащимся к этому моменту уже знакомы из других жизненных ситуаций.

Далее учащимся предлагается сначала посчитать, сколько можно построить ломаных с началом в точке А . Рассуждаем так: из точки А можно пойти в точку B или в точку C или в точку D . Чтобы ничего не пропустить, сделаем рисунок:

Теперь подумаем, куда мы можем пойти из точки B , из точки C, из точки D, и т.д. В результате рассуждений получаем такой рисунок.

«Итак, мы видим, что можно построить 6 ломаных с началом в точке A . Как вы думаете, сколько всего ломаных мы получим, если проделаем такую же работу с остальными точками? Проверьте свое предположение дома» [9].

Здесь работа над задачей в классе заканчивается и учащимся предлагается закончить ее дома: изобразить все ломаные с началом в точке A и, рассуждая аналогично (сделав такой же рисунок), выписать и изобразить все ломаные с началом в точках B , C и D . В процессе выполнения этой работы учащиеся заметят, что каждая ломанная повторяется дважды, поскольку, например, ABCD и DCBA – это одна и та же ломаная. Поэтому всего различных ломаных получится не , а вдвое меньше – 12.

Далее учащимся предлагается дома на альбомном листе изобразить все 12 ломаных.

Изобразите отрезок MN. Отметьте на нем точки K и L так, чтобы отрезок KN составлял , а отрезок ML –  отрезка MN . Какую часть отрезков MN , NK , ML , MK и NL составляет отрезок KL ? Прежде чем решать задачу подумайте, какой длины удобно взять отрезок MN .

Подсказка содержится в тексте задачи. Учащимся предлагается в классе прочитать первые два предложения и подумать над подсказкой.

Изобразим отрезок и отметим на нем точки. Отрезок KL составляет  длины отрезка MN ,  длины отрезка NK ,  длины отрезка ML , 1 длины отрезка MK , 1 длины отрезка NL .

Решите задачу подбором. Из 29 коробок часть содержит по 14 кг конфет, а часть по 15 кг. Сколько тех и других коробок, если общая масса конфет в коробках обоих типов одинаковая?

Внимательно изучив данные, видим, что 14 + 15 = 29. Значит коробок, в которых по 14 кг должно быть 15, а тех, в которых по 15 кг – 14 [1].

Пассажир поезда, идущего со скоростью 50 км/ч, заметил, что встречный поезд шел мимо него в течение 10 секунд. Определите длину встречного поезда, если его скорость – 58 км/ч.

Какие величины в задаче известны? Сделаем рисунок:

Длина поезда – это расстояние от начала головного вагона до конца хвостового вагона. Какие величины мы обычно используем, чтобы найти расстояние?

Как бы вы решали задачу, если бы поезд, в котором сидел пассажир, стоял на месте?

Решение.

1) 50 + 58 = 108 км/ч скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.

2) 108 (км/ч) = (108 × 1000) : 3600 (м/с) = 30 (м/с).

3) 30 × 10 = 300 (м) – длина поезда.

Ответ: 300 м.

На отдельном листе бумаги, используя чашку вместо циркуля, проведите карандашом окружность. Вырежьте получившийся круг и подумайте, как при помощи перегибания найти его центр. Подумайте, как найти центр круга в случае, если круг перегнуть нельзя.

Выполнение первого задания – найти центр вырезанного круга перегибанием, как правило, затруднений не вызывает.

Если же круг перегнуть нельзя, то центр найти сложнее. Здесь учащимся следует предложить подумать, какие из свойств углов и окружностей, с которыми они знакомы, можно использовать в этой задаче. Оказывается, достаточно построить прямой угол BAC , где точки A , B , C принадлежат окружности, тогда BC – диаметр, а его середина – центр окружности.

Эти модели способствуют развитию у детей конкретного и абстрактного мышления во взаимосвязи между собой, т.к. модель задачи, с одной стороны, дает возможность школьнику в наглядной форме конкретно представить зависимости между величинами, входящими в задачу, а с другой ‑ способствует абстрагированию, помогает отвлечься от сюжетных деталей, от предметов, описанных в тексте задачи [2].

Методика рассматривает несколько методов решения задач ‑ алгебраический, арифметический, графический, практический, метод предположения, метод перебора. Они могут применяться как при решении стандартных задач, так и нестандартных. Алгебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время. Арифметический метод решения также требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию. Часто встречаются задачи, которые можно решить методом перебора. При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт.

Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условие задачи, показав, что других решений быть не может. Встречаются задачи, в которых алгебраический или арифметический метод недостаточно эффективен. В этом случае при поиске решения используется метод предположения.

В математике нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, т.к. такие задачи в какой-то степени неповторимы. Нестандартная задача в большинстве случаев воспринимается как вызов интеллекту и порождает потребность реализовать себя в преодолении препятствия [10].

 

 

Обучение умению решать задачи повышенной сложности

 

Что значит решить задачу? Решить задачу – значит раскрыть связи между данными и искомым, раскрыть отношения, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем и выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи.

Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ребенка, глубины усвоения им учебного материала.

Развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения. Если деятельность репродуктивная – ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит. Цель такой деятельности – формирование знаний, умений и навыков.

Если деятельность продуктивная – происходит активная работа мышления, связанная с логическими операциями анализа, синтеза, сравнения, аналогии, обобщения. Задумываясь над основанием собственных умений (рефлексируя), ребенок овладевает обобщенными способами действий, лежащими в основе этого умения, и тем самым приобретает знания, которые может конкретизировать при решении целого класса частных задач. В общем случае появлению конкретных знаний предшествует овладение методом получения этих знаний.

В практике работы с одаренными детьми по математике главной задачей является раскрытие принципов действия, решение задачи не только ради точного ответа, но и ради способа его получения, ради логических рассуждений на пути к нему. Для осуществления технологического процесса при данном подходе к обучению необходима строгая логика построения учебного содержания. Для его наполнения мною отбирались специальные задания, которые я могла бы использовать на уроках, в рамках учебного курса математики:

а) решение нестандартных задач ;

б) решение задач с неопределенным условием;

в) усложнение задач;

г) решение геометрических задач повышенной сложности.

Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, ее условии и требовании.

Умение ориентироваться в тексте математической задачи – важный результат и важное условие общего развития ученика.

Итак, работа над любой задачей начинается со знакомства с её текстом. Но чтобы каждый ученик смог выделить все отношения при первичном анализе задачи, их нужно увидеть.

Одним из основных приемов в анализе задачи является моделирование, которое помогает ученику не только понять задачу, но и самому найти рациональный способ ее решения.

Речь идет о моделировании как особом общем способе познания и важнейшем учебном действии, являющимся составным элементом учебной деятельности. С одной стороны, моделирование выступает целью обучения, а с другой – средством самостоятельного решения учащимися конкретных математических задач. Учащиеся в процессе особо организованного обучения овладевают действием моделирования, нарабатывая его как способ или даже метод продвижения в системе понятий.

Моделирование в широком смысле слова – это замена действий с реальными предметами, действиями, с их уменьшенными образцами: моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими заменителями: рисунками, чертежами, схемами и т. п. в роли моделей выступают не конкретные предметы, о которых идет речь в задаче, а их обобщенные заменители (круги, квадраты, отрезки, точки и т. п.) показывая взаимоотношения величин с помощью отрезков с соблюдением масштаба, мы используем чертеж. Если же взаимосвязи и взаимоотношения передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба, то мы работаем со схематическим чертежом или схемой графическая наглядность нужна на всем протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий.

Основные принципы такой организации работы с одаренными детьми:

— В ходе использования моделирования нецелесообразно предлагать детям модель в готовом виде. Модель всегда есть результат некоторого этапа исследования. Существенные признаки и связи, зафиксированные в модели, становятся наглядными для учащихся тогда, когда эти признаки, связи были выделены самими детьми в их собственном действии, т.е. когда они сами участвовали в создании моделей. В противном случае учащиеся не видят их в модели, и она не становится для них наглядной.

— Для того, чтобы учащиеся вышли на новую модель, учитель сначала предлагает им задачу, которую они уже легко решают, используя известный способ и модель. Создав ситуацию успеха, можно предложить детям задачу, которая внешне похожа на предыдущую, но её решение старым способ либо приводит к неудаче, либо нерационально. Ребенок обнаруживает дефицит собственных знаний и понимает, что в такой ситуации, когда у него возникают трудности и известная модель не позволяет ему быстро решить задачу, нужно конструировать новый вид модели. Следовательно, у детей возникает необходимость, что является основой для устойчивой мотивации дальнейшей деятельности.

— Построение модели учащимися обеспечивает наглядность существенных свойств, скрытых связей и отношений, все остальные свойства, несущественные в данном случае, отбрасываются. Часто это не под силу одному ученику, поэтому такую работу целесообразно проводить в группах. Внутри группы дети сами организуют свои действия: либо сначала обсуждают способы решения, а затем каждый самостоятельно пытается выполнить задание, либо сначала каждый пробует выполнить задание, а потом сравнивает свой способ решения со способами других детей. В качестве доказательства правильности решения задачи используется все та же модель. В данном случае она является средством для обоснования точки зрения.

В начальной школе учащиеся вполне могут моделировать логические задачи, задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, графов, уравнений, задачи на измерение величин.

Представляется интересным процесс выполнения схематических рисунков для таких задач:

1. В двух корзинах 75 яблок. Когда из первой взяли 6, а из второй 9, то в корзинах осталось яблок поровну. Сколько яблок было в каждой корзине?
2. В двух коробках 22 карандаша. В первой на 2 карандаша больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке?

Конечно, выполняя схематический рисунок к первой задаче, большинство учащихся изобразят два отрезка, один из которых будет изображать яблоки в первой корзине, а другой – во второй. Но так как из текста задачи не ясно, в какой корзине яблок больше, то и рисунки могут быть разными:

а)  б)

Теперь нужно «взять» 6 яблок из первой корзины и 9 яблок из второй корзины, тогда яблок останется поровну. Вряд ли это условие можно выполнить, если воспользоваться первым схематическим рисунком. Зато, пользуясь вторым рисунком, это можно сделать.

Но процесс выполнения схематического рисунка может быть и другим. Для этого нужно только представить, что из первой корзины уже взяли 6, а из второй 9 яблок и в корзинах яблок поровну.

Теперь из данного схематического рисунка восстановить первоначальную ситуацию:

Соответственно записать различные способы решения задачи:

1)6+9=15(ябл.) 1)75-6=69(ябл.)

2)75-15+60(ябл.) 2)69-9=60(ябл.)

3)60:2=30(ябл.) 3)60:2=30(ябл.)

4)30+6=36(ябл.) 4)30+6=36(ябл.)

5)30+9=39(ябл.) 5)30+9=39(ябл.)

Выполняя схематический рисунок ко второй задаче, можно в качестве ориентира использовать, что в первой коробке на 2 карандаша больше, чем во второй:

Очевидно, если из 22 вычесть 2, то карандашей станет поровну. Таким образом, схематический рисунок помог нам выбрать арифметические действия на вопрос задачи:

1)22-2=20(к.)

2)20:2=10(к.)

3)10+2=12(к.)

Есть такие задачи, которые учащиеся не смогут решить без схематического рисунка. Например:

«В двух вагонах ехали пассажиры, по 36 человек в каждом. На станции из первого вагона вышло несколько человек, а из второго вагона вышло столько, сколько осталось в первом. Сколько всего пассажиров осталось в двух вагонах?»

Если обозначить одинаковыми отрезками количество пассажиров в каждом вагоне (а по условию их было 36 в каждом) и затем показать на каждом отрезке тех пассажиров, которые вышли из одного и другого вагона, то можно будет легко ответить на, который поставлен в задаче.

Таким образом, необходимо уделить должное внимание формированию у учащихся этого способа действия.

Рассмотрим моделирование на различных видах задач:

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ нужно решать как можно чаще и на уроках, и на внеклассных занятиях.

Приведу для примера несколько нестандартных задач, способы их обсуждения и решения.

Задача №1.Два путешественника подошли к реке. У берега стояла лодка. Лодка вмещала только одного человека. И тем не менее путешественники смогли переправиться в этой лодке через реку и продолжить свой путь. Как это могло произойти?

Эта задача – явно нестандартная. Главное – понять, о чем в ней говорится.

Нужно, чтобы дети нарисовали реку, двух путешественников и лодку у берега, например:

Тогда непонятно, как они могли переправиться на другой берег. Но можно спросить, нельзя ли представить ситуацию как-то иначе. И может возникнуть догадка, что рисунок должен быть таким:

И это не противоречит условию, что путешественники подошли к разным берегам реки. В условии сказано, они подошли к реке. И тогда путешественники смогли сделать то, о чем рассказывается в задаче. Итак, на вопрос задачи: «Как это могло произойти?», ответ должен быть таким: «Это могло произойти в том случае, если путешественники подошли к разным берегам реки».

Задача №2. Учитель показал лист бумаги ученику и спросил: «Сколько здесь точек?» «Семь», — ответил ученик. «Верно», — сказал учитель и передал лист другому ученику: «Сколько здесь точек?» «Пять», — ответил ученик. И учитель снова сказал: «Верно». Сколько точек на этом листе?

Нужно попросить детей проанализировать текст и пересказать его своими словами. Они должны сказать, что в задаче два эпизода. В первом учитель показывает лист бумаги одному ученику и беседует с ним. В другом эпизоде то же происходит с другим учеником и с тем же листом бумаги. Оба раза учитель доволен ответами, так, что не может быть, что ученик не заметил двух лишних точек на той же стороне листа. Он не заметил точек на другой стороне. Это могло быть в двух случаях.

Ответ: либо на одной стороне было 5 точек, а на другой 7, либо на одной стороне было 5 точек, а на другой 2.

Задача №3.В клетке сидят две змеи одинаковой толщины. Одна из них длинная, другая – короткая. Придумайте такой лаз, чтобы короткая змея могла через него выбраться из клетки, а длинная не могла.

Ответ: лаз должен пересекать сам себя, имея форму петли. Тогда короткая змея пролезет через него, а длинная запрет сама себя.

Задача №4. Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от пола к потолку и обратно. Первая муха бежит в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая бежит вниз вдвое быстрее, чем первая, а вверх – вдвое медленнее, чем первая. Которая из мух победит?

Нужно нарисовать первый этап соревнования: первая муха достигает потлка, когда вторая на середине пути; первая возвращается к полу, когда вторая достигает потолка. Побеждает первая. Заметим, что несущественно, во сколько раз быстрее ползет муха вниз, чем первая.

Задача №5. Среди 2001 монеты одна фальшивая. Как в два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, легче эта монета или тяжелее, чем настоящая?

Нарисуем весы с положенной на каждую чашу тысячью монет:

В первом случае фальшивая та монета, которая не попала на весы. Вторым взвешиванием узнаем, тяжелее она или легче любой другой монеты.

Во втором случае берем, например, более легкую тысячу монет и сравниваем вторым взвешиванием её половины. Если они уравнялись, то фальшивая монета среди более тяжелой тысячи, т. е. фальшивая монета тяжелее настоящей. А если не уравнялись, то фальшивая монета среди более легкой тысячи, т.е. она легче, чем настоящая.

Задача №6. Девять точек в узлах клеток образуют квадрат. Какое наименьшее число клеток можно к ним добавить, чтобы получился новый квадрат, содержащий имеющиеся точки?

Снова непривычное условие. Надо нарисовать точки, о которых говорится в задаче:

Сразу на ум приходит решение:

Но оно не минимально повернем рисунок так:

И тогда можно догадаться о таком решении:

Ведь в задаче спрашивается, какое число точек наименьшее. А наименьшее – четыре. Это и есть правильный ответ.

ЗАДАЧИ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ УСЛОВИЕМ

Работа над новым материалом.

– Что написано на доске?

Альбом – 28 р.

Карандаши -1/4 76р.

Краски -?

(Краткая запись задачи)

_Восстановите текст задачи и решите её (при этом кто- то обязательно заметит неопределенность условия:1/4 всей суммы, — это стоимости альбома или остатка).

Действительно, неизвестно, карандаши стоят1/4 часть чего? Как же поступить? Да, надо уточнить условие задачи (1/4 от всей суммы, ¼ стоимости альбома или остатка).

• Сейчас вы выберите уточнение и будете работать в паре: один записывает вопрос, другой – решение.

Вариант 1.

К уроку рисования Даша купила альбом за 28 рублей, карандаши, за которые отдала ¼ всех денег, и краски. Сколько Даша уплатила за краски, если всего израсходовала 76 рублей.?

Сколько стоят карандаши?

76:4= 19 (р.)

Сколько стоят карандаши и альбом?

28+19=47(р.)

Сколько стоят краски?

76-47=29(р.)

Ответ:29 рублей стоят краски.

Вариант №2.

Мама купила альбом, карандаши, краски и уплатила за всю покупку 76 рублей. За альбом мама отдала 28 рублей, за карандаши уплатила ¼ стоимости альбома. Сколько стоят краски?

Сколько стоят карандаши?

28:4=7 (р.)

Сколько стоят краски и карандаши?

76 – 28 = 48 (р.)

Сколько стоят краски?

48-7 =41 (р.)

Ответ: 41 рубль стоят краски.

– Как проверить правильность решения? (Сложить цены покупок, и в сумме должно получиться 76.)

— У кого получилось правильно? (Если есть ошибки, дети исправляют)

– Вы предлагали еще один вариант уточнения задачи: ¼ остатка денег после покупки альбома. Кто хочет решить задачу у доски?

1) 76 — 28 = 48 (р.)

2) 48 : 4 = 12 (р.)

3) 48 – 12 = 36 (р.)

Ответ: 36 рублей стоят краски.

-Проверь правильность( 36+12+28=76)

Почему разные ответы в задачах? (Разные условия.)

-Вот как важно быть внимательным при чтении текста задачи и её решении. Данные все одинаковые, но двумя словами отличается условие, и решение отличается, соответственно и ответ другой.

— Выполните чертеж к другой задаче: Два велосипедиста выехали одновременно из одного города. Один велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, другой – 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут велосипедисты через 4 часа?(при решении дети поймут, что не указано направление движения.

 

— Как могут двигаться велосипедисты? (В одном направлении и в противоположных)

– Восстановите задачи по чертежам.

А) Два велосипедиста выехали из города одновременно в одном направлении.

Б) Из города в противоположных направлениях выехали одновременно два велосипедиста…

Решение задачи А:

1 вариант:

1. 19-15=4(км/ч) – на столько больше скорость второго велосипедиста.
2. 4*4=16 (км)- на таком расстоянии велосипедисты будут друг от друга через 4 часа.

2 вариант:

1)15*4=60(км) проедет первый велосипедист за 4 часа.

2)19*4=76(км) – проедет второй велосипедист за 4 часа.

3)76-60=16(км) — на таком расстоянии велосипедисты будут друг от друга через 4 часа.

Решение задачи Б:

1 вариант:

1. 15*4=60(км) — проедет первый велосипедист за 4 часа.
2. 19*4=76(км) – проедет второй велосипедист за 4 часа.
3. 60+76=136(км) – расстояние между велосипедистами через 4 часа.

2 вариант:

1. 19+15=34(км)- скорость удаления велосипедистов друг от друга.
2. 34*4=136(км) – на таком расстоянии будут велосипедисты друг от друга через 4 часа.

УСЛОЖНЕНИЕ ЗАДАЧ.

Надо основательно отработать один тип задачи, а затем постепенно расширять и углублять от простого к сложному.

Первый этап работы над задачей – научить учащихся записывать краткое содержание простых задач. В дальнейшем при решении составных задач, состоящих из разных типов, в основу краткого содержания выношу тот тип, на который нацелен вопрос, например:

Задача: У Кати было 100 рублей. Она купила книгу за 76 рублей. На остальные деньги решила купить тетради, по 3 рубля за каждую. Сколько тетрадей она может купить?

Краткое содержание:

Цена Количество Стоимость

3р. ? (100-76)р.

Задача: У Вити было 4 монеты по 10 к. Он купил 2 закладки по 17 за каждую. Сколько сдачи он получил?

Краткое содержание:

Было – (10*4) к.

Истратил – (17*2)к.

Осталось -?

В каждую тетрадь по математике ученик вкладывает черновик. Сначала дети работают в черновика, составляют краткое содержание задачи, либо зачерчивают схему.

Затем учу проверять решение задачи. Для этого на черновиках в кратком содержании, где уже отражены все результаты вычислений, зачеркиваем одно из исходящих данных и ставим на его месте вопрос. По этому краткому содержанию учащиеся составляют задачу, обратную данной, и решают её. Исходные данные подтверждаются, значит первая задача решена правильно. Таки же образом учащиеся составляют еще одну задачу, обратную данной. Решают её и делают выводы. Такая работа способствует более глубокому пониманию исходной задачи, развивает речь учащихся, но галавное без особого труда знакомит с новым видом задач, напрмер:

Краткая запись

Было – 10м.

Уехало – 6м.

Осталось -?

Обратные ей задачи – это задачи нового вида:

Было – ?м. Было -10м.

Уехало – 6м. Уехало — ?м.

Осталось – 4м. Осталось -4м.

Затем эти задачи усложняем, чтобы они решались в два действия, например так:

Было – 10 м.груз. и 2м.легк.

Уехало – 6м.

Осталось — ?

Было – 12м.

Уехало – 6м. легк. и 2 м. груз.

Осталось — ?

Эти задачи мы также решаем с проверкой, составляя и решая задачи, обратные исходным. Следовательно, все время идет закрепление всех видов задач сразу.

Далее эти виды задач еще усложняем:

Было – 2 ряда по 5м. в каждом Было – 40м.

Уехало – 7м. Уехало – 2ряда по 6 машин в каждом

Осталось -? Осталось — ?

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ повышенной сложности с использованием подвижных моделей.

Рассмотрим несколько примеров:

1) Подвижные геометрические фигуры .

2)Нахождение площади прямоугольного треугольника.

3)Определение площади многоугольника разными способами.

Итак, работая с нестандартной задачей, я выделяю следующие этапы:

I этап.

«Инсайт» – озарение (дети пытаются самостоятельно решить задание на основе ранее полученных знаний)

II этап –

«50/50» — частичная помощь учителя (дополнительный наводящий вопрос, напоминание пройденной темы)

III этап

«Помощь друга» — объяснение задания более сильными одноклассниками (кто смог решить) или учителем и совместное решение

При этом важно помнить, что только при условии установления связи нового со старым возможно проявление сообразительности и догадки.

 

Заключение

 

Итак, одной из важнейших задач методики обучения математике в начальной школе является предупреждение ошибок учащихся. Причиной подавляющего большинства ошибок по математике является формализм в знаниях учащихся.

Решение готовых однородных примеров и задач одинаковыми приёмами в течении длительного времени вырабатывает у учащихся привычку механически производить заученные математические действия в прямом порядке. Погоня только за количеством решённых задач и примеров приводит к автоматизму решения по шаблону и недооценке теоретически обоснованных математических действий. Ребёнок не задумывается, почему нужно производить то или другое действие. Поэтому особое место в учебной деятельности занимают действия самоконтроля.

Решив задачу, учитель должен обратить внимание учащихся на то, чему полезному они научились, решая задачу, какие новые знания приобрели в процессе её решения, что полезно запомнить, а что можно забыть, нельзя ли проверить результат, нельзя ли получить тот же результат иначе, нельзя ли в какой — нибудь задаче использовать полученный результат или метод решения.

С помощью задач учащимся уже в младших классах можно показать, какую роль в математике имеют наблюдение, аналогия, индукция. Закреплению методов решения задач следует постоянно уделять внимание.

Следует отметить, что дать учащимся правила, позволяющие решать любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой — то степени неповторимы. Универсального метода, позволяющего решить любую задачу, к сожалению, нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет творческий процесс отыскания решений нестандартных задач уложить в определённые схемы,

Решение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно исчерпать все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющие решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющего решить любую задачу, к сожалению, нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет творческий процесс отыскания решений нестандартных задач уложить в определенные схемы.

Задачи повышенной трудности служат переходным мостом от классной работы к внеклассной, служат хорошим материалом для выявления наиболее способных к математике учащихся, для дополнительных заданий, как в школе, так и дома.

Последовательное осуществление органической связи между повседневной учебной работой на уроках и внеклассной работой с помощью задач повышенной трудности позволит учителю добиться больших успехов в развитии математических способностей отдельных учащихся и всего класса в целом.

 

Список литературы

 

1. Алексеев В., Бородин П., Галкин В., Панферов В., Сергеев И., Тарасов В. Разные стандартные и нестандартные задачи // Математика, 2016. ‑ №36. – С. 24-27.
2. Генкин Г.З., Глейзер Л.П. Преподавание в классе с углубленным изучением математики // Математика в школе, 2015. ‑ №1. – С. 20-22.
3. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами // Математика, 2018. ‑ №2. – С. 10-14.
4. Епифанова Т.Н. Графические методы решения задач с параметрами // Математика, 2018. ‑ №2. – С. 17-23.
5. Ефремов В.П., Ефремова Л.И. Нестандартные задачи на уроках и после // Математика, 2013. ‑ №7. – С. 56-58.
6. Задачи письменного экзамена по математике за курс нач. школы: условия и решения. Вып I / Д.И.Аверьянов и др. – М.: «Школа – Пресс», 2013. – 128 с.
7. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для 3-5 классов нач.шк. / Б.М.Ивлев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 46 с.
8. Кожухова С.А., Кожухов С.К. Свойства функций в задачах с параметром // Математика, 2014. ‑ №2. – С. 14-17.
9. Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 2012. – 116 с.
10. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 2001. – 237 с.
11. Кучугурова Н.Д. Интенсивный курс методики преподавания математики: Учебное пособие. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2001. – 231 с.
12. Методика преподавания математики в начальной школе / Общая методика / Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 2015. – 336 с.
13. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в начальной школе. – Минск: Высшая школа, 2010. – 267 с.
14. Руководство к решению задач по математике: Справ. пособ. для поступающих в вузы / В.А. Протасеня, Л.А. Залетаева, Г.Т. Пушкина-Варчук, Т.Н. Чуракова; Под общ. ред. В.А. Протасени. – Минск: Высш. шк., 2011. – 350 с.
15. Сборник задач по математике. В 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / В.К.Егорьев, В.В.Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И.Сканави. – М.: Высшая школа, 2018. – 528 с.
16. Столяр А.А. Педагогика математики: Учебное пособие для физико-математических факультетов пед. ин-ов. – Минск.: Высшая школа, 2016. – 414 с.
17. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. – М.: Флинта, 2013. – 224 с.
18. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся нач. классов. – М.: Просвещение, 2014. – 191 с.
19. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 2015. – 350 с.
20. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие. – М.: Просвещение, 2011. – 383 с.