ВВЕДЕНИЕ
I Методологические основы моделирования
1.1.Понятие и классификация видов моделирования
1.2. Математическая модель и методика ее создания
II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ
2.1. Параметры и требования математических моделей
2.2. Формализация и алгоритмизация информационных процессов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ИСТОЧНИКИ И ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование является основным методом исследований во всех областях знаний и научно обоснованным методом оценок характеристик сложных систем, используемым для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. Существующие и проектируемые системы можно эффективно исследовать с помощью математических моделей, реализуемых на ПЭВМ, которые в этом случае выступают в качестве инструмента экспериментатора. Обычно под математической моделью понимается «приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженного с помощью математической символики».
Диалектика функционирования дискретных вычислительных, информационных и управляющих систем с учетом возможного параллелизма и асинхронности взаимодействия их подсистем может быть описана рядом моделей. Каждая из таких моделей отражает те или иные аспекты поведения систем и из-за этого имеет ограниченное применение.
Изобретение и дальнейшее развитие персонального компьютера значительно упростило жизнь человека.
Персональная ЭВМ давно превратилась в предмет труда. Ни одно предприятие не обходится без электронной базы данных, без современных средств коммуникаций, мощных вычислительных средств. Он позволяет осуществлять не только производственный процесс на дому, но и целый ряд всевозможных процессов.
Модель должна строится так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.
Основные черты современного математического моделирования связаны с тем, что в последнее десятилетие математическое моделирование быстро теряет «академические» черты чисто научного и узкопрофессионального направления. Это относится не только к теоретическим вопросам, таким, например, как «типизация» математических моделей (феноменологические модели, системные модели и все более набирающие силу виртуальные модели) или как проблема адекватности моделей, понимаемая в самом широком смысле.
Не менее важны многочисленные проблемы, возникающие при практическом использовании методов и результатов моделирования. В отличие от академической трактовки моделирования (например, как области вычислительной математики), в практике модельных задач большое внимание приходится уделять проблеме взаимоотношения моделирования с «внешним миром».
Объектом исследования данной работы является моделирование информационных процессов. Предметом выступают математические модели информационных процессов.
Задачи исследования:
1. Рассмотреть методологические основы моделирования;
2. Рассмотреть понятие и классификация видов моделирования;
3. Изучить математическую модель и методику ее создания;
4.Рассмотреть математические методы моделирования информационных процессов и систем.
Практическая значимость: овладение методами и практическими приёмами математического моделирования информационных процессов.
При написании курсового проекта были применены такие методы научного исследования, как изучение научной литературы по теме исследования, нормативно-правовой базы, аналитический и сравнительный методы.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
I Методологические основы моделирования
1.1. Понятие и классификация видов моделирования
Задачей любого исследования, выполненного научными методами, является установление связей между воздействием на некоторый объект природы или техники и его реакцией на это воздействие. Этому предшествует выделение объекта из окружающего мира, с которым он связан очень большим числом связей и выявление тех связей или воздействий, которые наиболее существенны с точки зрения предпринимаемого исследования. Именно это является отправной точкой моделирования.
Когда мы исследуем некоторое природное явление, очень важен выбор причин и следствий. Это предполагает некоторый первичный анализ явления и его замену более упрощенным объектом — моделью явления. Важность предварительного анализа особенно проявляется, когда явление воспроизводится в лабораторных условиях и связи, кажущиеся не очень важными, не просто игнорируются, а исключаются.
Модель — это упрощенный образ изучаемого явления, создаваемый для исследования связей между такими его характеристиками, которые нас интересуют в данный момент. Иногда переход к исследованию других характеристик приводит к целесообразности использования совершенно непохожих моделей, хотя исследуемое явление остается одним и тем же.
Рис. 1. Классификация видов моделирования
Различают физическое и математическое моделирование.
Первое из них требует создания, обычно в специальных лабораториях, опытной установки, имитирующей объект или процесс. При этом обычно физическая модель имеет меньшие размеры, чем натуральный объект, но не исключена и обратная ситуация. Помимо пространственного масштабирования возможно и масштабирование времени , то есть на модели можно за сравнительно короткое время изучить явление, протекающее в природе долгие годы, и наоборот, внимательно рассмотреть мгновенно протекающий процесс.
Таким образом, при физическом моделировании используется сама система, либо подобная ей (летательный аппарат в аэродинамической трубе).
Однако физическому моделированию присущи недостатки, прежде всего, экономического характера. Созданию физической модели предшествуют предварительные работы по ее проектированию, изготовлению узлов и деталей, монтажу и наладке, оснащению вспомогательным оборудованием. Любая лабораторная установка требует площадей для ее размещения и персонала для обслуживания, потребляет энергетические и материальные ресурсы при эксплуатации. Кроме того, диапазон изменений исследуемых характеристик на физических моделях обычно невелик и ограничивается не только разумностью затрат на проведение опытов, но и возможностями конструкционных материалов, из которых изготовлена модель.
Математическое моделирование предполагает эксперименты с математическими моделями явлений. В отличие от физической модели, которая материальна, математическая модель является логическим объектом. Математическая модель – это упрощенный образ изучаемого явления, записанный с помощью математической символики. Процесс моделирования состоит из математических экспериментов, сущность которых основана на выполнении различных операций над математическими моделями. Обычно это решение систем уравнений или логических задач различного вида и сложности.
Таким образом, математическое моделирование – процесс установления соответствия математической модели M реальной системе S и исследование полученной модели с целью изучения характеристик реальной системы.
Применение математического моделирования позволяет исследовать объекты , реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны (дорого, опасно для здоровья, однократные процессы, невозможные из-за физических или временных ограничений – находятся далеко, еще или уже не существуют и т.п.).
В свою очередь, выделяют следующие виды математического моделирования: аналитическое, статистическое, имитационное.
Аналитическое моделирование заключается в том, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде математических соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных, логических и т.д.). Аналитическая модель может быть исследована аналитическим методом, когда устанавливаются явные зависимости, получаются точные решения. Если математические зависимости, составляющие модель сложно или невозможно решить аналитически, то прибегают к численным методам, когда получаются приближенные решения. В самых сложных случаях аналитическую модель исследуют качественно, т.е. в явном виде находят не само решение, а его некоторые свойства.
Статистическое моделирование – это обработка статистических данных о системе (модели) с целью получения искомых характеристик системы.
Имитационное моделирование – это воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функционирования исследуемой системы, соблюдая логическую и временную последовательность протекания процессов, что позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в определенные моменты времени. Для имитации процесса обычно формулируется алгоритм (программа для ЭВМ), что позволяет проводить вычислительные эксперименты.
В соответствии с указанными видами моделирования различают и математические модели – аналитические, статистические и имитационные. Часто вместо термина «статистические» употребляют понятие эмпирические модели.
Математическое моделирование получило особенно широкое распространение в связи с возросшими вычислительными возможностями современных компьютеров. Этот вид моделирования свободен от многих недостатков, которыми страдает физическое моделирование. Прежде всего, это гораздо более экономичный и удобный способ познания. Все эксперименты проходят над нематериальным объектом, существующим в виртуальной действительности. Затратами здесь можно считать использование вычислительных ресурсов и умственного труда человека-исследователя. При математическом моделировании диапазон изменения исследуемых параметров лимитируется только здравым смыслом и правилами математики.
Безусловно, создание математической модели и работа с ней требуют определенных затрат, но их объем обычно не идет ни в какое сравнение с затратами на создание и эксплуатацию лабораторных установок. Справедливости ради следует отметить, что в настоящее время все еще не удается полностью отказаться от услуг физического моделирования, особенно в естественных науках, поскольку некоторые параметры исследуемых процессов могут быть определены только экспериментально. Однако считается, что при использовании математического моделирования затраты в среднем сокращаются в 10-100 раз.
В целом в математическом моделировании более развита теоретическая основа. Если при физическом моделировании она проявляется, как правило, при выдвижении исходной гипотезы и осмыслении полученных опытных данных, то при математическом моделировании, кроме того, необходимо формализовать (перевести на язык математики и логики) изучаемые свойства, теоретически обосновать аналогию между моделью и реальным явлением, правильно интерпретировать и обобщить результаты математического эксперимента. Без этого математическое моделирование перестает быть достоверным источником информации о реальных явлениях.
1.2. Математическая модель и методика ее создания
Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Применительно к задачам исследования качества системы математическая модель должна обеспечивать адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на показатели ее качества. Что касается точности модели, то ее уровень должен обеспечивать достоверное сравнительное оценивание и ранжирование по уровню качества альтернативных вариантов.
В основе изучения и моделирования процессов функционирования технических систем всегда лежит эксперимент — реальный или логический. Суть реального эксперимента состоит в непосредственном изучении конкретного физического объекта. В ходе логического эксперимента свойства объекта исследуются не на самом объекте, а с помощью его математической или содержательной (словесной) модели, изоморфной объекту с точки зрения изучаемых эксперименте свойств.
Основные этапы построения математической модели:
• составляется описание функционирования системы в целом;
• составляется перечень подсистем и элементов с описанием их функционирования, характеристик и начальных условий, а также взаимодействия между собой;
• определяется перечень воздействующих на систему внешних факторов и их характеристик;
• выбираются показатели эффективности системы, т.е. такие числовые характеристики системы, которые определяют степень соответствия системы ее назначению;
• составляется формальная математическая модель системы;
• составляется машинная математическая модель, пригодная для исследования системы на ЭВМ.
Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя процесс на ее выходе, исследователь получает возможность установить и записать математически существующую между ними связь в виде уравнения, связывающего для каждого интервала времени значения входных и выходных воздействий и потому называемого уравнением «вход-выход».
Кроме того, для адекватного отражения связи между входом и выходом системы в системотехнике вводится понятие «состояние». По своему смыслу состояние z(τ) представляет собой совокупность существенных свойств (характеристик) системы, знание которых в настоящем (в момент времени τ) позволяет определить ее поведение в будущем (в моменты времени t > τ). Благодаря этому понятию, уравнение “вход-выход”-состояние принимает вид:
YT = A(T, z(τ), XT), (1.1)
где XT, YT — входной и выходной процесс на интервале времени T;
A(*)- оператор выходов.
Согласно (1.1), выходной процесс полностью определяется входным процессом и начальным состоянием и не зависит от того, каким образом система была переведена в это состояние. Отсюда ясно, что уравнение (1.1) ограничивает класс рассматриваемых систем только такими системами, функционирование которых в настоящем не зависит от того, как они функционировали в прошлом.
Для полного описания процесса функционирования системы необходимо задать условия определения состояния системы. Для этого вводится понятие уравнения состояния:
z(t) = B(τt, z(τ), Xτt), (1.2)
где B(*) — оператор, устанавливающий однозначную зависимость z(t) от пары (z(τ), Xτt), которая задана на интервале t, и называемый оператором перехода.
Уравнения (1.1) и (1.2) имеют достаточно логичное обобщение и на многомерный случай, когда каждая из компонент уравнений имеет векторный вид
Таким образом, модель функционирования системы должна обеспечивать прогнозирование процесса функционирования на всем интервале функционирования T (множество времени) по заданному вектору начального состояния записанном в векторном виде входному процессу (T).
Согласно изложенному выше, для решения этой задачи достаточно задать множества допустимых значений входных X и выходных Y процессов, а также множество возможных состояний системы Z и операторы выхода A и перехода B. Модель функционирования системы без предыстории представляет собой кортеж
MF = <T, X, Y, Z, A, B>. (1.3)
Если все компоненты в (1.3) известны, модель функционирования полностью определена и может быть использована для описания и изучения свойственных системе процессов функционирования. Множества и операторы, составляющие общесистемную модель (1.3), могут обладать различными свойствами, совокупность которых позволяет конкретизировать характер функционирования системы:
N – непрерывность;
L – линейность;
C – стационарность;
P – стохастичность (вероятность).
Общесистемная и системные модели функционирования (в дальнейшем термин «модель функционирования» для краткости может заменяться термином «модель» с сохранением исходного смысла) обладают исключительно высокой степенью общности. Они, безусловно, необходимы для теоретических исследований и полезны, так как выявляют общие закономерности, присущие весьма широкому классу систем. Но в повседневной практической деятельности инженеры традиционно используют так называемые конструктивные модели — гораздо менее общие, но позволяющие производить конкретные вычисления.
Конструктивные модели в сущности представляют собой алгоритмы, пользуясь которыми, можно определить значения одних переменных, характеризующих данную систему, по заданным или измеренным значениям других переменных.
Однако между системными и конструктивными моделями нет противоречия. По мере накопления знаний о системе, уточнения и конкретизации ее свойств и характеристик системная модель естественным образом преобразуется в конструктивную.
Следовательно, конструктивная модель может и должна закономерно вырастать из более общей системной модели. Такой — истинно системотехнический подход – представляется более обоснованным, чем априорное задание конструктивной модели исследователем, использующим для этого лишь свою интуицию и субъективные представления о возможностях тех или иных математических схем.
Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построения модели функционирования системы определяются процессом реализации системотехнической цепочки преобразований «общесистемная модель системная модель конструктивная модель машинная модель».
Моделирование процессов функционирования конкретной системы должно начинаться с записи всех компонент общесистемной модели (1.3), определения их содержательного смысла и областей изменения.
Согласно модели (1.3), необходимо определить: интервал времени, на котором нас интересует функционирование системы; множество входных и выходных воздействий и области их возможных изменений; множество характеристик состояния системы и область их возможных изменений.
Рис. 2 Классификация системных моделей
MNLCP — легкое математическое описание
MNLCP — нет адекватного математического описания (трудно)
Инверсия (N) – данное свойство не выполняется, например нет свойства непрерывности
Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности устанавливают закономерности, которые присущи всем или широкому классу систем. В инженерной практике используют так называемые конструктивные модели, пригодные для инженерных расчетов.
КМ – алгоритмы, пользуясь которыми можно определить значения одних переменных, характеризующих систему по заданным или измеренным значениям других переменных.
КМ – может и должна вырастать из большой общей системной модели путем конкретизации ее свойств.
При построении моделей функционирования систем применяют следующие подходы:
1) непрерывно-детерминированный подход (дифференцированные уравнения);
2) дискретно-детерминированный (конечные автоматы);
3) дискретно-стохастический подход (вероятностные автоматы);
4) непрерывно-стохастический подход (системы СМО)
5) обобщенный / универсальный подход (агрегитивные системы)
Исходной информацией при разработке математической модели системы или объекта служат данные о назначении и условиях ее работы. Эта информация определяет основную цель моделирования , требования к модели, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.
Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса функционирования системы в виде некоторой математической модели.
При пользовании математической схемой исследователя, в первую очередь, должен интересовать вопрос об адекватности отображения реальных процессов в исследуемой системе в виде конкретных модельных схем, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.
Например, представление процесса функционирования информационной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания даёт возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде.
Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды. В этой связи важно рассматривать такое важное свойство системы (объекта), как ее состояние.
Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний объекта моделирования. Это пространство теоретически может быть бесконечным, а может быть ограниченным. Состояния объекта (системы) могут меняться непрерывно, но могут иметь дискретный характер. Также непрерывными или дискретными могут быть независимые переменные модели (пространственные координаты и время).
Таким образом, учитывая вид и характер параметров, законы функционирования модели можно разделить не только на детерминированные или стохастические, но и на непрерывные или дискретные.
Комбинация этих признаков позволяет выделить следующие классы типовых математических схем:
· непрерывно-детерминированные (D схемы);
· дискретно-детерминированные (F схемы);
· непрерывно-стохастические (Q схемы);
· дискретно-стохастические (P схемы);
· гибридные или комбинированные.
В общем случае процесс создания математической модели включает в себя следующие этапы:
1. Постановка задачи исследования. На этом этапе осуществляется выбор свойств объекта (системы), которые подлежат отражению в модели и отбрасывание тех свойств, которые на данном этапе исследования разработчик считает несущественными. Этот выбор основан на анализе возможных областей применения модели и определяет степень ее универсальности.
Далее необходим сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания разработчиков; научно-техническая литература, прежде всего справочная; описание прототипов — имеющихся моделей для объектов, близких по свойствам к исследуемому; результаты экспериментальных исследований.
2. Синтез структуры математической модели. Этап заключается в получении общего вида математических соотношений без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров.
3. Определение числовых значений параметров модели. Эта операция ставится, как задача минимизации погрешности математической модели.
структуры. Она иногда носит название параметрический синтез. При этом часто используются экспериментальные значения выходных параметров объекта исследования при заданных входных и управляющих.
4 Анализ модели. На этом этапе производится оценка точности и адекватности полученной математической модели. Для этой оценки должны применяться те значения выходных параметров, которые не были использованы ранее при определении числовых значений параметров.
Следует отметить, что значительную ценность представляют не оценки точности, выполненные в двух-трех точках пространства внешних переменных, а сведения об области адекватности математической модели. И хотя определение области адекватности требует больших вычислительных и экспериментальных затрат, это придает математической модели завершенность и возможность дальнейшего многократного использования.
Общая схема процесса получения аналитических и статистических моде-лей представлена на рис. 3.
Рис. 3. Общая схема получения математической модели
Если анализ модели показывает, что она неудовлетворительно описывает объект, то сначала следует попытаться изменить числовые значения некоторых параметров. Когда и данный путь не привел к успеху, нужно скорректировать структуру модели, а затем повторить нижеследующие этапы. Возможна ситуация, при которой мы и теперь не получили желаемого результата. В таком случае ошибка кроется на стадии постановки задачи, то есть необходимо возвратиться в самое начало работы и повторить процесс вновь.
Из рассмотренной схемы видно, что этапы могут выполняться неоднократно в процессе приближения к желаемому результату. Необходимо также добавить, что этап анализа обычно заключается в однократном решении уравнений, составляющих математическую модель. Однако в процессе получения адекватной модели он повторяется много раз.
Этап постановки задачи является основополагающим, наиболее ответственным и важным этапом. Он целиком базируется на знаниях об объекте исследования. Постановка задачи абсолютно не поддается формализации, здесь невозможно дать заранее приготовленных рецептов. Это творческий процесс и его успех полностью зависит от опыта, знаний и интуиции исследователя.
Немаловажную роль опыт и интеллект исследователя играют и на стадии синтеза структуры математической модели. Это тоже творческая, плохо формализуемая операция. Однако существуют определенные методические подходы, позволяющие несколько облегчить получение математических моделей. О них будет сказано ниже.
Другие этапы получения математической модели, а также работа с ней допускают использование методов вычислительной математики и могут быть сравнительно легко формализованы. Поэтому они должны выполняться с использованием современных средств вычислительной техники. Для этого требуется создать соответствующие алгоритмы и разработать программы для компьютера.
Следует сказать, что в настоящее время существуют разнообразные пакеты прикладных программ, реализующие многие математические методы решения уравнений и задачи оптимизации. Это программное обеспечение может быть полезно как при параметрическом синтезе, так и при анализе полученной модели.
Однако, нельзя забывать, что численные методы могут вносить заметные погрешности и даже существенно искажать полученные данные. Поэтому, применяя их, следует внимательно относиться к интерпретации результатов математического моделирования.
При получении математических моделей можно использовать теоретический и формальный методы.
Аналитические математические модели создаются в результате исследований процессов и их закономерностей. Они базируются на фундаментальных законах, а также общепринятых положениях в данной области науки. При выводе таких моделей применяют строгие математические преобразования.
Также неформально можно получить и статистические модели. Однако при их получении изучаются лишь внешние проявления свойств объекта исследований — выходные параметры и фазовые переменные, а затем производится обработка экспериментальных результатов. Формальные методы получения моделей используются при известных математических моделях элементов.
Рассмотрим более подробно математические методы моделирования информационных процессов и систем.
II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ
2.1. Параметры и требования математических моделей
Среди свойств объекта, отражаемых в математических моделях, следует различать воздействия на объект и его реакцию на воздействия. Количественное выражение этих величин осуществляется с помощью параметров. Любой процесс или объект, исходя из внешних признаков, может быть условно изображен следующим образом (рис.4).
Рис. 4. Условное изображение объекта моделирования
При этом воздействия описываются входными параметрами xi, а реакция объекта моделирования — выходными параметрами y j. Последние характеризуют состояние объекта исследования и определяются суммарным воздействием входных параметров.
Среди входных параметров, в свою очередь, можно выделить:
— внешние параметры; их значения могут быть измерены, но возможность воздействовать на них отсутствует;
— управляющие параметры; на них можно оказывать прямое воздействие, в соответствии с теми или иными требованиями, что позволяет управлять процессом;
— возмущающие параметры; они изменяются случайным образом и не доступны для измерения.
Можно привести следующий пример.
Для аудиосистемы внешним параметром является уровень (напряжение) входного сигнала, который можно измерить, но обычно нельзя регулировать. Управляющими параметрами здесь являются коэффициенты усиления, которые можно произвольно менять в некоторых пределах. Возмущающими параметрами в данном примере следует считать появление случайных помех в канале передачи. В качестве выходных параметров аудиосистемы выступают, например, выходная мощность сигнала, потребляемая мощность, величина искажений выходного сигнала и пр.
Пусть объект характеризуют n входных и m выходных параметров. Тогда векторы этих параметров можно обозначить таким образом:
X = (x1 , x2 ,…xn ) ; Y = (y1 , y2 ,…ym ).
Поскольку свойства объекта зависят от входных параметров, имеет место зависимость:
Y=F(X) (2.1)
Приведенная система соотношений является примером математической модели объекта.
Выходной процесс полностью определяется входным процессом и начальным состоянием и не зависит от того, каким образом система была переведена в это состояние. Отсюда ясно, ограничивает класс рассматриваемых систем только такими системами, функционирование которых в настоящем не зависит от того, как они функционировали в прошлом.
Наличие математической модели вида (2.1) позволяет легко оценивать выходные параметры по известным значениям вектора X. Однако существование данной зависимости не означает, что она известна и может быть представлена именно в таком явном относительно вектора Y виде.
Как правило, такую математическую модель удается получить только для очень простых объектов. Типичной является ситуация, когда математическое описание процессов в исследуемом объекте задается в форме системы уравнений, в которой фигурирует вектор фазовых переменных V.
В свою очередь, входные и выходные параметры связаны зависимостями с фазовыми переменными:
L[ ( )] = F( ) , причем
V Z Z X = Y1 (V), Y = Y2 (V) , (2.2),
где L — некоторый математический оператор; Z — вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты; Ф(Z) — заданная функция независимых переменных.
Фазовые переменные характеризуют физическое состояние объекта, а их изменения во времени выражают переходные процессы в объекте. Наиболее типичным примером фазовых переменных (для упомянутой выше аудиосистемы) являются величины электрического тока и напряжения, поскольку с их помощью можно описать все входные и выходные параметры данного устройства. При моделировании механических систем фазовыми переменными являются силы и скорости, для гидравлических систем – давления и расходы и т.д.
На практике довольно часто встречаются случаи, когда объект настолько сложен, что его структура либо неизвестна совсем, либо ее корректное математическое описание невозможно. В таких случаях исследователь вынужден игнорировать внутренние процессы, протекающие в объекте, и анализировать лишь влияние входных параметров на выходные.
При этом модели получаются путем обработки статистических данных и относятся к классу статистических. Однако в литературе имеется еще одно название для таких математических моделей – модели типа «черный ящик».
К математическим моделям предъявляются требования универсальности, точности, адекватности и экономичности.
Степень универсальности математической модели характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Обычно математическая модель отражает только некоторые свойства объекта.
Так, при научных исследованиях большинство математических моделей описывают протекание тех или иных процессов. При этом не требуется, чтобы модель описывала, скажем, форму объекта или его цвет. Универсальность математической модели отражает ее применимость к широкому классу объектов. Степень универсальности не имеет количественной оценки.
Точность математической модели оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью математической модели.
Пусть отражаемые в математической модели свойства оцениваются век-тором выходных параметров Y. Тогда обозначив истинное значение j-го выходного параметра через yj ист , а рассчитанное с помощью математической модели yj мм , определим относительную погрешность e j расчета параметра yj так:
e j = (yj мм — yj ист ) / yj ист . (2.3)
Таким образом, получается векторная оценка точности математической
модели:
= (e1,e2,…em) . (2.4)
E
Если необходимо, можно представить ее в скалярной форме, используя
какую-либо норму вектора, например
E = max(e j ). (2.5)
Адекватность математической модели — способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями вектора входных параметров, погрешность зависит от их значений. Как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения входных и управляющих параметров, в так называемой области адекватности математической модели.
Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинного времени и памяти компьютера). Впрочем, часто экономичность модели зависит не только от ее свойств, но и от особенностей операционной системы компьютера, языка программирования, модели компьютера.
Можно заметить, что требования точности, универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны, и экономичности с другой — противоречивы. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих требований зависит от особенностей решаемых задач и полностью определяется разработчиком.
2.2. Формализация и алгоритмизация информационных процессов
С развитием вычислительной техники наиболее эффективным методом исследования больших систем стало машинное моделирование, без которого невозможно решение многих крупных народнохозяйственных проблем.
Поэтому актуальными задачами являются освоение теории и методов математического моделирования с учетом требований системности, анализ динамики и возможности управления машинным экспериментом с моделью, анализ адекватности моделей исследуемых систем.
Общие методологические аспекты широкого класса математических моделей позволяют исследовать механизм явления, протекающие в реальном объекте с большими или малыми скоростями, когда в натурных экспериментах с объектом трудно (или невозможно) проследить за изменениями, происходящими в течение короткого времени. или когда получение достоверных результатов сопряжено с длительным экспериментом. При необходимости машинная модель «растягивает» или «сжимает» реальное время, так как машинное моделирование связано с понятием системного времени, отличного от реального. Кроме того, с помощью машинного моделирования можно обучать персонал АСОИУ принятию решений в управлении объектом.
Сущность машинного моделирования системы состоит в проведении на ЭВМ эксперимента с моделью, которая представляет собой некоторый программный комплекс, описывающий формально и (или) алгоритмически поведение элементов системы S в процессе ее функционирования, т. е. в их взаимодействии друг с другом и внешней средой Е.
Требованиями пользователя к модели M процесса функцинирования системы S являются:
1 Полнота модели должна предоставлять пользователю возможность получения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точностью и достоверностью.
2 Гибкость модели должна давать возможность воспроизведения различных ситуаций при варьировании структуры, алгоритмов и параметров системы.
3 Длительность разработки и реализации модели большой системы должна быть по возможности минимальной при учете ограничений на имеющиеся ресурсы.
4 Структура модели должна быть блочной, т. е. допускать возможность замены, добавления и исключения некоторых частей без переделки всей модели.
5 Информационное обеспечение должно предоставлять возможность эффективной работы модели с базой данных систем определенного класса.
6 Программные и технические средства должны обеспечивать эффективную (по быстродействию и памяти) машинную реализацию модели и удобное общение с ней пользователя.
7 Должно быть реализовано проведение целенаправленных (планируемых)машинных экспериментов с моделью системы с использованием аналитико- имитационного подхода при наличии ограниченных вычислительных ресурсов.
Моделирование систем с помощью ЭВМ можно использовать в следующих случаях:
а) для исследования системы S до того, как она спроектирована, с целью определения чувствительности характеристики к изменениям структуры, алгоритмов и пара метров объекта моделирования и внешней среды;
б) на этапе проектирования системы S для анализа и синтеза различных вариантов системы и выбора среди конкурирующих такого вариантах;
в) при эксплуатации системы, для получения информации, дополняющей результаты натурных испытаний (эксплуатации) реальной системы, и получения прогнозов развития системы во времени.
Так, в данной главе курсовой работы мы рассмотрели математическое моделирование информационных процессов, их формализацию и алгоритмизацию.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Моделирование является важнейшим и неотъемлемым этапом процедуры проектирования современных устройств и систем. В настоящее время сложно представить себе специалиста, не способного проверить моделированием обоснованность принятых технических решений. Соответственно, постоянно возрастает роль моделирования в учебном процессе.
Любая информация может быть получена на основании прошлого опыта, а именно теории проверенной практикой (научные факты, методики и расчеты, опыт каждого человека). Новая информация может быть получена путем наблюдения, то есть, изучением системы без вмешательства в её функционирование. Также она может быть получена путем эксперимента, то есть, изучая систему при целенаправленном воздействии на её параметры.
Модель исследуется для того, чтобы можно было управлять исследуемым объектом или системой, на основании полученной по модели информации. Управление системы связано с улучшением его характеристик или её стабилизацией, то есть с возможностью прогнозирования поведения систем.
Развитие микроэлектроники и микропроцессорной техники создало условия для нового качественного скачка в функциональных возможностях технических систем, связанных с движением механических устройств. В связи с тем, что мехатронная система – это синергетическое объединение механической, электрической и компьютерной частей, средства моделирования должны допускать совместное моделирование этих частей на единой методологической основе, давая возможность строить и исследовать многоаспектные модели.
Реализовать это возможно двумя способами. Во-первых, можно перейти к единой системе дифференциальных уравнений, как это обычно делается в теории автоматического управления (ТАУ). В этом случае все физические особенности отдельных частей системы будут потеряны. Вариант такого подхода – структурное моделирование, где все переменные являются скалярными сигналами и их можно соединять.
Другой вариант – использование систем моделирования, которые способны на единой методологической основе моделировать механические, электрические и информационные компоненты, т. е. объединять их в единую схему, сохраняя при этом привычные для специалистов в предметных областях способы задания исходной информации.
ИСТОЧНИКИ И ЛИТЕРАТУРА
Учебники и учебные пособия
1. Абланская Л.В., Бабешко Л.О., Баусов Л.И. и др. Экономико-математическое моделирование. – М.: Экзамен, 2016. – 800 с.
2. Альсевич В.В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория. – М.: Либроком, 2013. – 256 с.
3. Андреева Г.И., Тихомирова В.А. Основы управления предприятием. Модели и методы в условиях неопределенности. В 3 книгах. Книга 2. – М.: Финансы и статистика, 2016. – 304 с
4. Дубовский С.В. Энергетика и распределение доходов в экономическом развитии. Математические модели. – М.: РОХОС, 2014. – 48 с.
5. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. – М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013. – 512 с
6. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 332 с.
7. Колеснев В.И., Шафранская И.В. Экономико-математические методы и моделирование. Практикум. – М.: ИВЦ Минфина, 2012. – 392 с.
8. Косачев Ю.В. Математическое моделирование интегрированных финансово-промышленных систем. – М.: Логос, 2014. – 144 с.
9. Крохин Л.С. Экономико-математические методы в оперативном управлении на транспорте. – М.: ВИНИТИ РАН, 2012. – 252 с.
10. Кузьмин В.В., Схиртладзе А.Г. Математическое моделирование технологических процессов сборки и механической обработки изделий машиностроения. – М.: Высшая школа, 2014. – 280 с.
11. Мажукин В.И., Королева О.Н. Математическое моделирование в экономике. Часть 3. Экономические приложения. – М.: Флинта, МПСИ, 2015. – 176 с.
12. Мишина М.Е. Экономико-математические исследования. Математические модели и информационные технологии. – М.: Наука, 2013. – 343 с.
13. Меняйлов А.И. Математический практикум. – М.: Академический Проект, 2013. – 192 с.
14. Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели. – М.: Академия, 2013. – 320 с.
15. Новиков Д.А., Иващенко А.А. Модели и методы организационного управления инновационным развитием фирмы. – М.: Ленанд, 2006. – 336 с.
16. Панюков А.В. Математическое моделирование экономических процессов. – М.: Либроком, 2014. – 192 с.
17. Певзнер Л.Д., Чураков Е.П. Математические основы теории систем. – М.: Высшая школа, 2013. – 504 с.
18. Попов В.Ю., Шаповал А.Б. Инвестиции. Математические методы. – М.: Форум, 2014. – 144 с.
19. Попков Ю.С. Макросистемные модели пространственной экономики. – М.: КомКнига, 2013. – 240 с.
20. Покровский В.В. Математические методы в бизнесе и менеджменте. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2014. – 112 с.
21. Просветов Г.И. Математические методы и модели в экономике. Задачи и решения. – М.: Альфа-Пресс, 2013. – 344 с.
22. Самыловский А.И. Математические модели и методы для социологов. Книга 2. Математическая статистика. – М.: КДУ, 2015. – 154 с.
23. Самыловский А.И. Математические модели и методы для социологов. Книга 1. Теория вероятностей. – М.: КДУ, 2014. – 216 с.
24. Степанов В.И., Терпугов А.Ф. Экономико-математическое моделирование. – М.: Академия, 2013. – 112 с.
25. Урубков А.Р., Федотов И.В. Методы и модели оптимизации управленческих решений. – М.: Дело АНХ, 2013. – 240 с.
26. Хачатрян Н.К. Математическое моделирование экономических систем. – М.: Экзамен, 2014. – 160 с.
27. Ширяев В.И., Ширяев Е.В. Принятие решений. Математические основы. Статические задачи. – М.: Либроком, 2013. – 208 С.