Введение
Составление математической модели предприятия
Заключение
Список литературы
Введение
Линейное программирование – основной раздел математического программирования, включающий в себя аналитические методы решения таких задач, в которых ограничения и целевая функция выражены в линейной форме, то есть неизвестные, входящие в ограничения и в целевую функцию, имеют первую степень.
Линейное программирование представляет собой совокупность методов, позволяющих наилучшим образом распределить ресурсы, имеющиеся в нашем распоряжении для решения различных экономических задач. Сущность этих задач в том, чтобы из множества возможных вариантов исследуемого экономического процесса выбрать по какому-либо признаку оптимальный вариант, и часто связана с поиском способов оптимального распределения ограниченных ресурсов.
Многие математические методы в экономике опираются на теоретические основы, разработанные в области линейного программирования.
Задачи, в которых находят максимум или минимум линейной функции при линейном ограничении, называют задачами линейного программирования.
Линейное программирование развивалось в связи с задачами экономики, с поиском способов оптимального распределения ограниченных ресурсов. Оно послужило основой широкого использования математических методов в экономике.
Для оптимизации деятельности предприятия составим задачу линейного программирования посредством средств Эксель.
Составление математической модели предприятия
Имеется предприятие, занимающееся производством 2 видов окон: деревянных и пластиковых-x_1, x_2 — их количество в шт., соответственно. Предположим, что наша компания существует в условиях совершенной конкуренции. Это означает, что цены на товары – факторы производства – определяются рыночными условиями и не могут изменяться производителем. Другими словами, цены труда, капитальных ресурсов и продукции являются экзогенными переменными в условии рассматриваемой задачи.
Месячные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие, ограничены. По сырью эти ограничения обусловлены объемом поставок и емкостью складских помещений, по оборудованию- станочным парком, по электроэнергии — техническими и финансовыми причинами. Также имеем ограничения по трудовым ресурсам.
Исходные период планирования t=1 месяц. На начало периода планирования объем сырья составляет s=800 комплектов. Персонал составляет 34 человека и время их работы 8 часов. Имеется 10 станков. Электроподстанция рассчитана на 200 кВт/ч.
Нормы расхода сырья, времени работы оборудования и затрат электроэнергии необходимые для изготовления одного окна, приведены в таблице.
| Ресурсы |
Нормы расхода ресурсов на одно окно |
|
| Деревянные | Пластиковые | |
| Сырье (s) шт | 1 комплект | 1 комплект |
| Оборудование (o) ч | 2,5 | 0,9 |
| Электроэнергия(Е) кВт/ч | 20 | 14 |
| Затраты (z) у.е | 10000 | 4300 |
| Рыночная стоимость (с) у.е | 15600 | 7800 |
Цель производства- получение максимальной прибыли от продажи товара, произведенный за период планирования t.
Перепрограммируем станки, так как на деревянные окна спрос ниже ввиду их высокой стоимости, будет логичнее сделать больше станков, производящие пластиковый окна. Всего у нас n=10 станков (по условию). n_1 – станки, производящие деревянные окна, n_2 – станки, производящие пластиковые окна.
Составим математическую модель задачи.
Пусть фабрика изготавливает столов х_1 – деревянных столов, х_2 – пластиковых.
По смыслу задачи эти переменные неотрицательны, х_1,х_2 ≥ 0.
Прибыль от реализации такого количества составит: F=15600х1+7800х2→ max.
Теперь составим ограничения задачи.
Для изготовления x1 деревянных окон потребуется: 2,5 х1+20х2
затраты которой составляют 10000: 2,5 х1+20х2≤10000
Для изготовления x1 пластиковых окон потребуется: 0,4 х1+14х2
затраты которой составляют 4300: 0,4 х1+14х2≤4300
Получаем задачу линейного программирования:
F=15600х1+7800х2→ max.
{█(〖2,5х〗_1+〖20х〗_2≤10000@〖0,4х〗_1+〖14х〗_2≤4300@х_1,х_2>0)┤
Решим задачу средствами Excel. Заполним ячейки исходными данными (в виде таблицы) и формулами математической модели. Вычисляемые ячейки пометим цветом.
Таблице в режиме чисел:
Таблица в режиме формул:
Вызываем надстройку «Поиск решения» и заполняем параметры: Вносим целевую функцию и ограничения.
Указываем линейность задачи и неотрицательность переменных:
Запускаем решение:
Получили нецелочисленное решение – 101,571 деревянных окон и 166,143 пластиковых. Чтобы получить более «реальное» в экономическом смысле решение, добавим ограничение целочисленности переменных, тогда получим:
Таким образом, следует производить 103 деревянных окна и 165 пластиковых окон, при этом прибыль от реализации будет максимальна и составит 16995 рубля. Эти же данные видны в отчете по результатам (см. последние два столбца последней таблицы):
Запишем сопряженную (двойственную задачу к исходной):
F=15600х1+7800х2→ max.
{█(〖2,5х〗_1+〖20х〗_2≤10000@〖0,4х〗_1+〖14х〗_2≤4300@х_1,х_2>0)┤
Так как исходная задача была на максимум, двойственная задача будет на минимум, причем коэффициенты при переменных соответствуют правым частям ограничений, число переменных равно числу ограничений и равно трем: 10000у1+4300у2+16995у3→ min .
Строим ограничения, транспонируя матрицу коэффициентов в ограничениях. Так как и первая и вторая переменные были неотрицательны, первое и второе ограничение будут иметь знаки ≥ . Так как все ограничения имеют знак ≤ , все двойственные переменные неотрицательны. Правые части ограничений – это коэффициенты при переменных в исходной целевой функции. Получаем:
{█(〖2,5у〗_1+у_2+〖0,4у〗_3>10000@у_1+〖14у〗_3>4300@х_1,х_2>0)┤
Заключение
В данной работы мы изучили методы нахождения оптимального решения с помощью линейного программирования, а также научились составлять модели организации, планирование производственной программы предприятия и ее анализ.
В заключении можно сказать, что функционирование любого бизнеса невозможно без принятия решений. К настоящему времени инструментарий для процесса принятия решений богат математическими и статистическими методами. К тому же, развитие компьютерных программ облегчает этот процесс для менеджеров, не обладающих глубокими знаниями высшей математики. Однако, позволяет широко использовать достижения прогресса.
Список литературы
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2014
Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология: Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2017
Гарнаев А. Ю. Excel, VBA, Internet в экономике и финансах. — Спб.: БХВ — Петербург, 2014
Глухов В. В., Медников М. Д., Коробко С. Б. Математические методы и модели для менеджмента: Учебник. — Спб.: Лань, 2015
Друри К. Введение в управленческий и производственный учет. — М.: Аудит, ЮНИТИ, 2016
Исследование операций: В 2-х томах / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби; Пер. с англ. — М.: Мир, 2017
Кузин Б. И., Юрьев В. Н., Шахдинаров Г. М. Методы и модели управления фирмой: Учебник. — Спб.: Питер, 2016
Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б.Математическое программирование: Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2014
Курицкий Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. — Спб.: BHV — Санкт-Петербург, 2017
Кутузов А. Л. Математические методы в экономике и менеджменте: Практикум по использованию пакетов прикладных программ QSB+, QS и программы Excel. — Спб.: Изд-во СпбГТУ, 2014
Липсиц И. В. Коммерческое ценообразование: Учебник. Сборник деловых ситуаций. Тесты. — М.: БЕК, 2015
Таха Х. А. Введение в исследование операций / Пер. с англ. — М.: Вильямс, 2014
Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука / Пер. с англ. — М.: Мир, 2015