ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ПРИМЕРЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОГРАММ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
3.1 Программно-методический комплекс GRAN1
Бурное развитие информатики все острее ставят перед образованием задание расширение практики использования новейших технологий обучения, совершенствования образовательных методик разработки путей формирования мышления, целенаправленного развития интеллекта, обучению приемов познавательного поиска, к которому относятся: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, конкретизация, классификация, систематизация и др. Внедрение в педагогическую практику проведения интегрированных уроков занимает особое место в формировании указанных выше качеств у учащихся.
В современном мире, пожалуй, нет отрасли, где бы ни использовался компьютер, и образовательная отрасль не является исключением. Интерес к изучению предмета во многом зависит от того, как проходят уроки. применение компьютерной техники на уроках позволяет сделать урок нетрадиционным, ярким, насыщенным, наполняя его содержание знаниями из других предметных областей, что превращают предметные дисциплины с объекта изучения в средство получения новых знаний.
Эффективность применение новых информационных технологий на уроках обусловлена следующими факторами:
1. разнообразие форм представления информации;
2. высокая степень наглядности;
3. возможность моделирование с помощью компьютера различных объектов и процессов;
4. освобождение от рутинной работы, отвлекает внимание от усвоения основного содержания;
5. возможность организации коллективной и индивидуальной исследовательской работы;
6. возможность дифференцировать работу учащихся в зависимости от уровня подготовки, познавательных интересов и др., используя современные информационные технологии;
7. возможность организовать компьютерный оперативный контроль и помощь со стороны учителя.
Самыми доступными и самыми распространенными технологиями является применение табличного процессора MS Excel, программы для создания презентаций Microsoft Power Point, пакета программ Gran1, Advanced Grapher. Каждый элемент с указанного перечня программных средств достаточно совершенным в своем роде. Считаем, что, используя их на уроке по очереди или вместе, можно в значительной степени повысить эффективность учебно-воспитательного процесса.
Рассмотрим использования математических процессоров для компьютерной поддержки обучения математике на примере программного средства GRAN1, который предназначен для графического анализа функций, что отражает его название — Graphic Analysis. После открытия ярлыка, на экране открывается окно программы, состоящее из трех внутренних окон: «График», «Список объектов», «Ответы» (рис. 3.1)
Рис. 3.1 Начальное окно программы
В верхней строке окна программы находится «Строка заголовка», под
ней — «Строка меню». В программе реализована контекстная справка. Для ее получения надо выбрать нужную команду и нажать клавишу F1. В окне график строятся графические изображения объектов и графиков функций, отражаются объяснительные надписи и др. При перемещении указателя по координатной плоскости в окне перемещается указатель координат. В верхней части окна «График», над рабочим полем, отражаются текущие координаты указателя, в нижней части (Строке статуса) – максимальное и минимальное значения координат на плоскости. Окно список объектов состоит из двух частей. В верхней части находится поле со списком восьми типов зависимостей между переменными (рис. 3.2),
Рис 3.2 Типы зависимостей между переменными
которые можно выбрать для построения графического объекта, а ниже — список введенных объектов, среди которых текущий объект отмечен пометкой. Во второй части окна находятся сведения о текущем объекте: функция, промежуток, на котором она рассматривается, минимальное и максимальное значение функции или другие параметры графического объекта.
В окне ответы подаются результаты выполнения различных операций, выбираются в меню операции — вычисление расстоянии от точки, вычисления длины дуги и др. Это окно можно очистить, выполнив операции — «ответы» — «Очистить». Слева в окне программы находится панель инструментов.
1. Выполнение вычислений.
Одной из самых распространенных функций математических процессоров является выполнение различных математических вычислений. Программное средство GRAN1 имеет расширенные возможности поэтапного вычисления, которые выполняются в окне калькулятор («Операции» — «Калькулятор»). Ввод выражений можно осуществлять или с клавиатуры, или используя кнопки окна «Калькулятор». После завершения ввода выражений нужно нажать Enter или выбрать кнопку «вычислить» в окне «Калькулятор».
Числовые выражения поддаются правилам, близким к правилам табличного процессора Excel. Все допустимые функции и операции представлены на кнопках Калькулятора. Пропуски в записи выражений не допускаются. Дробная часть в записи чисел отделяется точкой. Приоритет операций «общепринятый». Для его изменение используют скобки. Редактирование введенного выражения осуществляется традиционными способами.
2. Построение графиков функций.
В GRAN1 можно построить графики восьми основных типов зависимостей между переменными (рис. 3.2). Одновременно в окне можно отобразить до пяти графиков. Все они автоматически рисуются различными цветами. Цвет линий каждого объекта отображается в окне «список объектов», рядом с уравнением функции.
Общий алгоритм построения графика зависимости между переменными:
1. Выбрать в окне «список объектов» — тип зависимости между переменными.
2. Выбрать в меню объект команду «Создать».
3. Ввести в поле диалогового окна выражение зависимости и выбрать кнопку ОК.
4. Выбрать в меню график команду «построить график».
Визуальное представление на рис. 3.3
Рис 3.3 Построение графиков
Рассмотрим алгоритм построения графика функции на таком примере:
Задача 2.
Постройте график функции у = │х│.
Известно, что для построения графика функции у=│х│ сначала нужно построить график функции у=х. Это прямая, является биссектрисой 1,3- четверти, а затем часть прямой, лежащей ниже оси ОХ, зеркально отобразить относительно этой оси.
Для построения графика функции у=│х│с помощью программы GRAN1 необходимо, использовать кнопки «Создать» — «График функции»-«Объект», ввести функцию Y(X)= Abs (X), выбрать нужный тип зависимости функции, её цвет, тип,толщину линии и нажать команду «Применить». Затем появится изображение (рис.3.4)
Рис. 3.4 График функции у=│х│
3. Решение уравнений и систем уравнений графическим способом.
Рассмотрим, как можно использовать программный средство GRAN1 для графического решения уравнение с одной переменной. Алгоритм решения данного типа задач состоит из трех этапов:
1. Построить график зависимости.
2. Отметить на координатной плоскости точку пересечения графика функции с осью Ох.
3. Определить координаты указателя, которые отражаются в верхней строке окна «График». Это и будет корнем уравнения. Полученные таким способ значения являются приближенными. Погрешность возникает с учётом того, что перемещения указателя на рабочем поле имеет свой шаг.
Рассмотрим графическое решение уравнений с одной переменной.
Задача 3.
Решить систему уравнений графическим способом.
Чтобы решить систему уравнений данным способом, необходимо построить на одной координатной плоскости графики обоих уравнений. Координаты каждой точки прямой, являются графиком уравнения, которые удовлетворяют условиям этого уравнения. Координаты каждой точки прямой, являются графиком уравнения, которые удовлетворяют условиям этого уравнения. Построенные графики пересекаются в точке (3,2).
Поэтому точка (3,2) является единственным решением данной системы.
Чтобы решить систему уравнений графическим способом с помощью программы GRAN1 нужно, используя функцию «Создать»-пункт «Объект», ввести такие уравнения y=(9-x)/3, y=2*x-4
Далее необходимо выбрать неявный тип зависимости и цвет линии, и нажать команду «ОК». после этого должно появиться изображение (рис. 3.5):
Рис. 3.5 Решение системы уравнений
Задача 3.1
Решите систему уравнений графическим способом.
График первого уравнения окружность, другой- гипербола ( ).
Построив эти графики в одной системе координат, находим координаты
точек их пересечения: (3, 4), (4, 3), (- 3 — 4), (-4; 3).
Итак, имеем ответ: х1 = 3, у 1 = 4; х2 = 4, 2 = 3; х 3 = 3, у3 = -4; х4 = 4,
у4 = -3.
Выбираем тип связи «неявная» и строим графики.
Решение системы с помощью программы GRAN1 изображено на рис. 3.6
Рис. 3.6 Решение системы уравнений
4. Решение простейших задач по геометрии
Рассмотрим использования программного средства GRAN1 для решения геометрической задачи.
Задача 4.
Определить вид четырехугольника ABCD, который задан координатами вершин A (1; 1), B (2, 3), C (0; 4), D (-1; 2). Чтобы решить эту задачу с использованием программы GRAN1, нужно выполнить следующие шаги:
1. Запустить программу GRAN1.
2. Выбрать в окне «список объектов» тип зависимости «Ломаная».
3. Выбрать в меню «Объект» команду «Создать».
4. Ввести в диалоговое окно «Координаты вершин ломаной» координаты вершин четырехугольника и выбрать кнопку «OK».
5. Выбрать в меню «График» команду «Построить график».
6. Измерить по очереди длины сторон и диагоналей, выполнить операции — «Операции с ломаными» — «Длина ломаной».
Часть процесса визуализации представлена на рис. 3.7
Рис 3.7 Визуализация построения фигуры и измерения длин ломанных.
3.2 Программно-методический комплекс Advanced Grapher
В настоящее время существует множество программ по компьютерному моделированию для студентов различных колледжей, техникумов, университетов и учащихся школьных учреждений. Выбор сопутствующей программы часто связан с индивидуальными особенностями и предпочтениями каждого студента и преподавателя
Одна из наиболее качественных и в тоже время простых в использовании программ — ADVANCED GRAPHER. С помощью этой программы можно создавать графики функций, отслеживать изменения в поведении, изменять параметры в онлайн режиме, дублировать и всячески их преобразовывать.
Программа дает отличную возможность сделать решение задачи доступным и более наглядным, в сравнении с построением некомпьютерным моделированием.
Школьники, имеющие компьютеры дома, могут проверить правильность выполнения задачи, сделанной математически, на компьютере.
Известно, что уроки, посвященные изучению расположения графиков функций в системе координат, требуют построения достаточно большого количества графиков. Чем больше их будет построено, тем лучше ученики усвоят данный материал. Но существует существенная проблема — учащиеся во время урока просто не могут построить у себя в тетрадях достаточно большого количества графиков, ввиду нехватки сил и времени. В этом случае на помощь приходит программа ADVANCED GRAPHER, с помощью которой можно не просто построить значительное количество графиков функций, но и задать нужный цвет линии и нужную толщину.
Кроме всего этого, программа успешно используется на факультативных занятиях.
Изучение функций, графиков функций начинается в курсе алгебры 7 класса. Учащиеся знакомятся с линейной функцией, ее графиком, овладевают умениями их построения. Конечно, на этом этапе программа ADVANCED GRAPHER не нужна. Ее применение целесообразно при изучении взаимного расположения графиков линейных функций, и решении систем линейных уравнений графическим способом.
В 8 классе практикуются уроки-исследования. Графически выясняют, сколько корней может иметь уравнение. С помощью программы ADVANCED GRAPHER ученики практически способом подбора имеют возможность установить зависимость между коэффициентами a и b и количеством корней уравнения.
В 9 классе при изучении неравенств, в тетрадях учащиеся решают упражнения методом интервалов, а на компьютере – графическими способами. При изучении темы «системы уравнений второй степени», программа ADVANCED GRAPHER дает возможность быстро и качественно повторить графики изученных функций изучить и усвоить данные системы как графическим, так и аналитическим способом.
При изучении темы 10-го класса «Графики тригонометрических функций» перед учеником выстраивается целая цепочка графиков, в которых нужно выполнить различные преобразования: растяжения, сжатия, переносы вдоль координатных осей. Все эти приемы на компьютере выглядит последовательно, динамично и ярко. Конечно, данная программа всего лишь надежный помощник учителя на уроке. Основная же цель — приобретение прочных практических навыков учащимися, которая достигается в результате многократного выполнения упражнений.
В 11 классах программа ADVANCED GRAPHER может применяться при изучении темы «Производная». Учитель имеет возможность сам задать производную, а потом предложить учащимся провести исследовательскую работу.
Если учитель не имеет возможности провести данное занятие в компьютерном классе, программа ADVANCED GRAPHER позволяет набрать целую серию карточек и распечатать их, создавая собственную базу методических материалов.
С помощью проектора на большом экране удобно показывать все перемещения графика: растяжение, сжатие, переносы вдоль координатных осей в динамике последовательных действий.
ADVANCED GRAPHER можно использовать и на внеклассных занятиях, и при решении задач вступительных экзаменов в вузы, так как программа позволяет строить кривые, заданные параметрическими уравнениями или уровня читаемых в полярных координатах.
Выражения в ADVANCED GRAPHER состоят из переменных, констант, чисел и функций от них, соединенных операторами.
Операторы и арифметические операторы: +, -, *, /, ^ (возведение в степень).
Пример: 2 + 2 ^ 3 = 10
Операторы отношения:>, <,> =, <=, =, <>.
Функции
При использовании функций необходимо использовать синтаксис <имя функции> (<Аргумент>).
Примеры: sin (x + 2) ln (ln (1 / x)); sin (x) ^ 3.
Advanced Grapher поддерживает следующие функции:
sin синус
cos -косинус
tan -тангенс
cot -котангенс
asin -арксинус
acos -арккосинус
atan — арктангенс abs -модуль числа
sqrt -квадратный корень
ln –натуральный логарифм
lg -десятичный логарифм
exp -експонента
Константы
В выражениях есть возможность использовать константу «Pi». Если необходимо использовать константу «e» (основание натурального логарифма), то нужно ввести: «exp».
Переменные
Вы также можете использовать одну или две переменные, например, X, Y, A или T (в зависимости от ситуации).
Построение графиков
Advanced Grapher имеет мощные средства для управления графиками. Вы можете легко создавать, удалять, дублировать графики, изменять их свойства и порядок в списке графиков.
Advanced Grapher располагает определенными модулями для того, чтобы «молниеносно» управлять поведением, постройкой, дублированием, существующими свойствами графиков функций.
Данное приложение имеет схожий, интуитивно понятный интерфейс, как у программы GRAN1, рассмотренной выше.
Пример 1
Построить график функции y = x 2 по точкам с помощью таблицы.
1. На панели инструментов нажимаем кнопку «Добавить график», «таблицы». Появляется таблица, в которой записываем значение абсцисс и ординат графика (рис. 3.8). Делаем пометку в «точки». Нажимаем ОК. Полученный график представлен на рис 3.9.
В случае, когда необходимо построить график функции с помощью уравнения, необходимо реализовать цепочку шагов:
-нажать на вкладку «Графики», выбрать «Добавить график», а после ввести необходимую функцию, график которой необходимо отобразить в программе (рис. 3.10)
Рис. 3.8 Таблица значений абсцисс и ординат функции.
Рис. 3.9 Табличное построение графика функции y = x 2 .
Рис. 3.10 Отображение графика функции y = x 2 с помощью ввода функции.
Отдельно хочется выделить возможность отображать участок графика, а также функцию «трассировка» — возможность визуально посмотреть процесс построения графика перемещая ползунок в соответствующем диалоговом окне, там отражается значение функции в этой точке (рис. 3.11).
Также необходимо отметить возможность вычисления определенного интеграла с функцией определения как числового значения, так и получения области, по которой определяется площадь.
Также в этой программе, есть возможность переключения оси х в тригонометрический вид, то есть кратный p. Помимо этого программа более корректно обрабатывает экстремум — не соединяет противоположные концы функций.
Рис. 3.11 Просмотр значения функции в точке (трассировка по точкам).
Решение уравнений
С помощью программы Advanced Grapher удобно решение уравнения и системы уравнений.
Известно, что уравнение иногда проще решить графически чем алгебраически. Для этого необходимо построить график функции расположен в левой части уравнения, а затем в правой. Абсциссы точек пересечения будут решением данного уравнения.
Пример 2
Решим уравнение: x3+x=
Построим графики функций: y = x 3 + x и y = и найдем точки их пересечения. (Алгоритм построения графиков функций и нахождение точек их пересечения показан в Пример 1)
Y1 (x) = x ^ 3 + x
Y2 (x) = sqrt (x)
Минимум X = -10 Максимум X = 10
Точность (кол-во дес. знаков) = 2
Количество шагов = 200
Точки пересечения:
х y
0,57 0,75
Решением уравнения будет пара чисел (0,57; 0,75).
Полученный результат визуализации представлен на рис. 3.12.
Рис. 3.12 Графическое решение уравнения.
Для решения систем уравнений следует из каждого уравнения выразить у и затем строить графики. Например, чтобы построить круг x 2 + y 2 = 25, выражаем y: у = — и у = и строим два полукруга и находим точки пересечения построенных полукругов.
Решение неравенств
При решении линейных неравенств с помощью программы Advanced Grapher ученики видят графическую интерпретацию решения. Выражение приобретает отрицательные значения, если график функции располагается слева и находиться ниже оси ОХ.
Пример 3
Решить неравенство: 7-0,5х <0.
1. На панели инструментов нажимаем «+ F» и вводим функцию у = 7-0,5х.
2. Щелкаем в первой вкладке, ищем запись «уравнение или неравенство» и нажимаем левую кнопку мыши. Во втором окне вводим неравенство и «ОК».
3. На экране появится график (рис 3.13).
Рис. 3.13 Полученный график функции у = 7-0,5х.
Рассматривая полученный график, ученикам следует объяснить, почему заштрихованы именно эти области. Компьютер делает штрихи на том промежутке, где выполняется неравенство.
Эта программа — хороший инструмент в руках учителя при изучении и темы «квадратные неравенства» графическим способом. Известно, что количество решениями неравенства зависит от размещения параболы в системе координат и знака неравенства. А таких возможностей является большое количество
Преобразование графиков функций
Эта тема встречается в школьном курсе несколько раз. А именно после изучения квадратичной функции, а затем тригонометрических. При преобразовании квадратичных функций ученики для экономии времени пользуются лекалам (фигурные линейки). Для построения тригонометрических функций пригодится программа Advanced Grapher.
При построении большого количества графиков ученики легко понимают характер преобразований в зависимости от аргумента и числового коэффициента. Но прежде, чем перейти к работе с тригонометрическими функциями, следует изменить интервалы по оси абсцисс (надо, чтобы отметки были в радианах). Для этого выбираем среду инструментов, окошко «Графики», щелкаем левой кнопкой мыши и выбираем «набор свойств», а затем «тригонометрических набор».
Исследование функций
С помощью этой программы можно не только строить графики функций, но и исследовать их (находить экстремумы и нули функции). Для этого на панели инструментов выбираем окно «исследование функции» и вводим функцию, которую надо исследовать.
Построение касательной к графику функции
При изучении темы «Касательная к графику функции», ученики находят касательную к графику в точке по формуле y = f (x 0) + f / (x 0) (x — x 0) Для наглядной интерпретации этой темы на уроке закрепления знаний целесообразно использовать эту программу для работы учащихся в парах.
Пример 5
Записать уравнение касательной к графику функции f (x) = x 3 + 2, в точке х 0 = 1.
Чтобы построить касательную и записать ее уравнение на компьютере ученик делает следующее:
1. Щелкает в окне + F и вводит данную функцию.
2. Щелкает в окне «Касательная и нормаль» и введите точку касания и нажмите «добавить к графику».
Запишем уравнение касательной:
y = f (x 0) + f / (x 0) (x — x 0)
1. f (x 0) = f (1) = 3,
2. f / (x) = 3x^2,
3. f / (x 0) = f / (1) = 3.
Подставим в уравнение:
у = 3 + 3 (х-1) = 3 + 3х-3 = 3х
Ответ: у = 3х
Полученный графический результат представлен на рис. 3.14.
Рис. 3.14 Касательная к графику функции
Нахождение площадей плоских фигур
Программа позволяет находить и визуально видеть площади криволинейных трапеций и фигур, которые ограничиваются графиками функций, при помощи определенного заданного интеграла.
Пример 7
Необходимо найти и визуализировать площадь фигуры, ограниченной двумя графиками функций:
• y = x^2,
• y = 2х-х^2.
1)Алгоритм построение графиков:
а) «Графики» — «Добавить график». В окне «Формула» введите формулу функции — выберите толщину линии – «ОК».
б) Для обозначения степени используйте знак ^ (например, х 4 запишется х ^ 4)
в) Подписать название функции: «Правка» — «Добавить название»
2) Нахождение точек пересечения.
а) «Пересечение». В поле «Формула» введите формулы данных функций- «ОК». С появится таблица с координатами точек пересечения, которые и будут пределами интегрирования.
3) Вычисление определенного интеграла (нахождение площади).
а) «Интегрирование» — вводим параметры, в верхнем окне — функцию, ограничиваем график сверху,
в нижнем окне — функцию, ограничиваем график снизу.
б) в окошках «минимум», «максимум» вводим пределы интегрирования. Нажимаем «Считать».
Полученный графический результат представлен на (рис. 3.15).
Рис 3.15 Площадь фигуры, ограниченной графиками функций
3.3 Уроки c применением компьютерного моделирования графиков функций в приложении Advanced Grapher
Урок первый:
Тема: Графики функций
Цель: обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся.
Оборудование: ПК, программа «Advanced Grapher».
Ход урока
Проверка домашнего задания
Ученики проверяют правильность решения квадратных неравенств, которые выполняли дома, с помощью программы «Advanced Grapher».
Мотивация урока
Мы закончили тему «Функции и графики», и сегодня на уроке мы систематизируем и обобщим ваши знания по теме.
Актуализация знаний.
Фронтальный опрос
• Дайте определение функции.
• Способы задания функции?
• Что называют областью определения функции?
• Какие виды функций вы знаете?
• Какие преобразования графиков функций вы выучили?
• Всегда график уравнения является графиком функции
По графику функции или уравнения, записан им на экране монитора, запишите ее формулу. Сделайте это в виде математического диктанта c взаимопроверкой.
Решение упражнений
Остановимся подробнее на квадратичной функции.
• Дайте определение квадратичной функции.
• Что называется графиком квадратичной функции?
• Алгоритм построения графика квадратичной функции?
Посмотрите на монитор. Изображен график функции y = x 2 -4х-5.
Охарактеризуйте график данной функции.
Переходим к квадратным неравенствам
• Какие способы решения квадратичных неравенств вы знаете?
• В чем заключается графический способ?
• Назовите алгоритм метода интервалов.
ЗАДАЧА №1
Решите неравенство:
Уровень А уровень В
8> X (2 + X) (X 2 + 7 x + 10) / (X 2 — 4) <0
Сначала вы решаете это неравенство методом интервалов, а затем выполняете на компьютере графическим способом.
Последний пункт нашего плана — системы уравнений второй степени.
• Способы решения систем уравнений вы знаете?
• В чем заключается графический способ?
• Способ подстановки?
• Способ сложения?
Решите системы уравнений:
а) х-у 2 = 0,
y-х = -2,
б) х + у = 8,
1 / х + 1 / у = 4/3.
Ученики решают системы в тетради любым способом, а потом проверяют правильность решения на компьютере.
Урок второй:
Тема: Нахождение площадей плоских фигур.
Цель: Формирования умений и навыков у учащихся применять интеграл к вычислению площадей плоских фигур. Развивать воображение, логическое мышление, умение высказывать собственное мнение.
Оборудование: ПК, Программа Advanced Grapher.
Ход урока:
Актуализация опорных знаний
Площади плоских фигур.
— Какая фигура называется криволинейной трапецией?
-Как найти площадь криволинейной трапеции?
-Как найти площадь заштрихованной фигуры?
— Как найти пределы интегрирования?
-График либо функции ограничивает данную фигуру сверху?
-Как найти координаты вершины параболы?
— Как найти площадь фигуры, размещенной ниже оси абсцисс
Проверка работа.
«Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»
Пользуясь инструкцией, необходимо найти площади фигур, ограниченных графиками:
а) графиком функции у = х 2 + 2, и прямой у = 6 а) графиком функции
у = х 2 -2х + 8 и у = х 2 + 2х + 2
б) графиком функции у = х 2 -2х-8 и прямой у = 0 б) графиком функции
у = sinx, и y = cosx на
промежутке [0; 90 0] Постройте графики функций, пользуясь алгоритмом
а) ___________________________
б) ___________________________
Алгоритм:
1. Откройте Advanced Grapher с рабочего стола.
Построение графиков:
а) «Графики» — «Добавить график» … — в окне «Формула» введите формулу функции — выберите толщину линии — ОК.
б) Для обозначения степени используйте знак ^ (например, х 3 — х ^ 3).
в) Для набора тригонометрических функций используйте схему: «Графики» — «Набор параметров» — «тригонометрических набор». Далее по обычной схеме, но необходимо увеличить масштаб.
3. Подписать название функции: «Правка» — Добавить метку …
Найдите точки пересечения этих графиков:
а) ______________________________
б) ______________________________
Определите промежуток интегрирования
а) _______________
б) _______________
Учащиеся выполняют эти задачи математическим путем, а затем проверяют с помощью программы Advanced Grapher.
Урок третий.
Тема: Взаимное расположение двух прямых на координатной плоскости (геометрия 9 класс).
Цель: научить учащихся распознавать размещения прямых на плоскости в зависимости от коэффициентов. Выработать навыки составлять уравнения прямой параллельной или перпендикулярной данной.
Развивать самостоятельность, внимание, логическое мышление.
Оборудование: ПК, Программа Advanced Grapher.
Ход урока:
В начале урока учитель сообщает ученикам цель урока и отмечает то, что помогать им будет графическая программа ADVANCED GRAPHER. Ученикам выдаются следующие задачи:
Задача № 1
1. Постройте графики функций:
y = 4х — 2;
в = 0,5 х + 3;
у = — 1,2 х — 4.
2. Выписать коэффициенты k и b.
3. Сделайте вывод о взаимном расположении прямых в зависимости от коэффициентов k и b.
Задача № 2
1. Постройте графики функций:
y = 1,7 x + 3,
y = — 0,8 x + 3,
y = — 3,1 x + 3,
y = 4,8 x + 3.
2. Опишите взаимное расположение прямых (если они пересекаются, то точки).
3. Сделайте вывод о взаимном расположении прямых от коэффициентов k и b.
После выполнения работы учащиеся говорят о том, какие выводы они сделали, общий вывод записывается в тетради.
Вывод: Графики линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны, и пересекаются, если их угловые коэффициенты различны. Если произведение угловых коэффициентов равно 1, то графики перпендикулярны.
На следующем этапе урока идет закрепление полученных выводов и их применение при выполнении упражнений.
Урок четвертый:
Тема: Тригонометрические функции. Устно-письменный зачет. (Алгебра 10 класс).
Цель: выявить уровень знаний учащихся по теме. Продолжать формировать умения и навыки учив четко и ясно выражать свое мнение. Развивать настойчивость, внимание.
Мотивация урока
Во время зачета будем пользоваться персональным компьютером и программой Advanced Grapher, чтобы урок прошел более динамично и наглядно. Во время зачета учащиеся получат комбинированную оценку:
-устные ответ + построение графиков максимум 4 балла
-тестовая робота максимум 8 баллов
Просмотр презентации. Устный зачет.
Ученик, глядя на экран монитора, дает ответы на вопросы, записанные на экране. Другие ученики дополняют, задают дополнительные вопросы.
Работа с программой Advanced Grapher.
Ученикам предлагается выполнить задания
№4 Построить график функции:
Работа над данными заданиями необходимо в парах.
уровень А y = sinx уровень А y = 2 sinx
уровень В y = 2 cos (x — π / 6) уровень В y = 3 cos2x
Сначала дети выполняют задания в тетрадях, а затем строят графики на компьютере. За правильно выполненное задание ставят себе на полях баллы.
За выполнения уровня А — 1 балл, уровня В — 2 балла.
Тестовые задания
1) Найти наименьший положительный период функции:
y = cos ( + π / 2 )
y = sin (2x + π)
A (8 π) B (π / 2) C (π) D (4 π)
2) Определить знак:
Cos300 0 ? tg160 0 Sin100 0 ? tg200 0
A (>) B (<) C (=)
3) Вычислить:
sin (- π / 2) + cos (π / 2) -tg 2 (- π / 4) Sin (π ) — cos (-2 π ) + tg ( π / 4)
A (2) B (-2) C (1) D (0)
4) В какой координатной четверти лежит угол:
-100 0 -190 0
A (I) B (II) C (III) D (IV)
5) Выразить в градусах:
7 π / 2 0 8 π / 9
A (56 0) B (160 0) C (63 0) D (140 0)
После выполнения тестовых заданий ученики задают дополнительные вопросы. Учитель, после ответов на дополнительные вопросы, проверяет работы и проставляет оценки.
Экскурс в историческую и практическую составляющие тригонометрии.
Тригонометрия еще в глубокой древности конструировалась для расчетов в астрономии, геодезии и архитектуре. Сейчас тригонометрические вычисления применяются не только во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
Большое значение имеет техника триангуляции, которая позволяет измерять дистанции до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.
Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.
Вывод к третьей главе
Использование на уроках информатики возможностей моделирования различных информационных систем, позволяет максимально задействовать межпредметные связки информатики, с одной стороны, и математики, физики, биологии, экономики и других наук, с другой стороны, причем связки эти базируются на хорошо апробированной методологии математического моделирования, которая делает предмет целостным. Метод математического моделирования является с давних времен одним из фундаментальных методов познания, а появление и развитие ИКТ дало новый толчок его совершенствования и развитии компьютерного моделирования.
Чтобы получить полноценное научное мировоззрение, развить свои творческие способности, ученики должны овладеть основами компьютерного моделирования, уметь применять полученные знания в учебной и профессиональной деятельности.
Таким образом, информационные технологии в современных условиях является универсальным средством познавательной деятельности, мощным орудием педагогического воздействия на формирование личности школьника. Использование компьютера, делает уроки яркими и интересными, информационно и эмоционально насыщенными.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Использование в процессе обучения системы исследовательских задач как моделей приближенных к реальным процессам, их исследования, а также возможно обобщение подходов к решению задач на основе информационно-коммуникационных технологий способствуют развитию творческих способностей учащихся, повышению их интереса к учебному предмету информатики, формированию исследовательских умений, развития общего уровня культуры.
Моделирование процесса и явлений позволяет оказывать активное влияние на процесс усвоения знаний, прежде всего за счет создания новой «предметной реальности», модели объекта, процесса, явления. Ученик при этом является не просто наблюдателем, но и активным участником действий. Это требует определенных навыков мыслительной деятельности, таких как анализ, сравнение, обобщение, структурирование и другие.
Компьютерное моделирование представляет собой очевидные проявления информационной революции. Поэтому понятен тот интерес к ним, который проявляют учителя, пытаясь найти пути адаптации школы к современному миру. Уже сегодня очевидно, что электронные учебные продукты открывают широкие перспективы в образовании. Их удобно использовать при изучении нового материала, при выполнении экспериментальных заданий, сочетая реальный и виртуальный эксперименты, а также для дистанционного обучения.
Создание информационных систем, как и их моделирование, неизбежно сопровождается процессом их проектирования. Таким образом, моделирование информационных систем естественным путем связывается с использованием метода проектов в обучении.
Необходимо формировать и развивать навыки осознанного использования приемов такой умственной деятельности.
Таким образом, использование информационно-коммуникационных технологий на учебных занятиях способствуют активизации учебно-познавательной деятельности учеников, быстрому и эффективному усвоению ими учебного материала, формированию ключевых компетенций школьника, что способствует его всестороннему развитию личности.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Агапова, Р. С. О трех поколениях компьютерных технологий обучения в школе / Р.С. Агапов // Информатика и образование. — 2014. — №2.
2. Алексеев, В.В. Физическое и математическое моделирование / В.В. Алексеев. — Санкт-Петербург: Питер, 2015.
3. Басова, Л.Л. Информатика и ИКТ: учебник для 9 класса / Л.Л. Басова.-Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.
4. Басова, Л.Л. Информатика. Методические пособия / Л.Л. Басова, А.Ю.Басова. -Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.
5. Бесплатное дистанционное обучение в Национальном Открытом Ун и в е р с и т е т е « И Н Т У И Т » [ Э л е к т р о н н ы й р е с у р с ] :littp://w\w.intuit.ni/
6. Бешенков, С. А. Моделирование и формализация / С.А. Бешенков,
7. Бешенков, С. А. Непрерывный курс информатики / С. А. Бешенков, Е.А. Ракитина. -Москва: Бином, 2015.
Бешенков, С.А. Еще раз о формализации и моделировании в курсе информатики / С.А.Бешенков // Информатика и образование. — 2015. — №5.
8. Бирюков, Б. В. Моделирование / Б.В. Бирюков, Ю.А. Гастев, Е.С. Геллер. -Москва: БСЭ, 2015
9. Богомолова Е.В. Программа курса «Теория и методика обучения информатике на начальной ступени» // Информатика и образование. 2017. № 1. С. 86-99.
10. Кузнецов. А. А. Методика обуч ения информационному моделированию в основной школе / А. А. Кузнецов, Л. Е. Самовольнова. — Москва: Бином, 2015.
11. Кушниренко, А. Г. Информатика. 7-9 класс / А. Г. Кушниренко, Г. В. Лебедева, Я. Н. Зайдельман. -Москва: Дрофа, 2013.
12. Лаптев В., Немцев А. Учебные компьютерные модели
Информатика и образование. 1991. 4. 70-
13. Лыскова, В.Ю. Учебные задачи в курсе информатики В.Ю. Лыскова, У.Ф. Ракитина //Информатика и образование. — 2015. -№4.
14. Макарова, Н. В. Информатика: 9 класс / Н.В. Макарова. — Санкт
-Петербург: Питер. 2015.
15. Макарова, Н.В. Информатика и ИКТ: учебник для 8-9 класса / Н.В. Макарова. — Питер, 2014.
16. Методика преподавания информатики / М.П. Лапчик, И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер, М.И. Рагулинга — Москва: Академия. 2015.
17. Могилев, А.В. О понятии «Информационное моделирование» / А.В. Могилев // Информатика и образование. — 2015.-№8.
18. Мясникова, O.K. Моделирование и формализация O.K. Мясникова//Информатика и образование. — 2016. -№9.
19. Ракитина Е. А. -Москва: Лаборатория базовых знаний, 2016. 20. Селиванов. В.Л. Организация учебно — исследовательской работы
студентов и школьников по информатике. / В. Л. Селиванов. А. П. Гришаева, Э.Т. Селиванова. -Новосибирск: Перо, 2016.
21. Семакин, И. Г Информатика и информационные технологии. Ю
-11класс/ И. Г. Семакин, И. Д. Угринович. — Москва: Бином, 2016.
22. Семакин, И. Г. Информатика. 9 класс / И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер. — Москва: Лаборатория базовых знаний. 2015.
23. Семакин, И. Г. Информатика. Задачник-практикум. 7 класс / И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер. — Москва: Лаборатория базовых знаний, 2015.
24. Семакин, И.Г. Информатика и ИКТ: учебник для 10-11 класса / И.ГСемакин, И.Н. Бежина. -Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2016.
25. Семакин, И.Г. Информатика: учебник для 11 класса / И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер, Т.Ю. Шейна. — Москва: Бином. Лаборатория знаний. 2015.
26. Программы для средних общеобразовательных учебных заведений. Информатика и ИКТ. / М., 2016.