Методика изучения геометрии в 7 классе. Часть 2

1 2

---

 

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РАБОТЕ С ПОСТРОЕНИЯМИ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ В 7 КЛАССЕ

2.1 Методика преподавания первых разделов (тем) систематического курса геометрии.

Начиная изучать курс планиметрии в 7 классе, учитель сталкивается с определенными трудностями.

1. Совершается резкий переход к необходимости все доказывать. Если в 5-6 классах в основном использовался индуктивный подход, то в систематическом курсе на первый план выходят дедуктивные рассуждения. При этом ученики считают, что многие факты они уже знают (или наглядно очевидны) и незачем их доказывать.
2. Невозможно дать единого метода доказательства теорем и решения задач.
3. Вводится новая символика, много новой терминологии.
4. Очень много рисунков, чертежей, к которым учащиеся еще недостаточно привыкли.

Учитывая указанные сложности, в начале систематического курса учителю не следует резко отходить от конкретно-индуктивного подхода, широко использовать интуицию учащихся с применением различных наглядных пособий. Одновременно необходимо формировать у школьников потребность в доказательстве вводимых утверждений.

Перед изучением первого раздела учителю целесообразно провести беседу о предмете геометрии. Учитель должен продемонстрировать ученикам различные плоские и пространственные фигуры и попросить учащихся описать их свойства. Таким образом, подводим учащихся к выводу, что геометрия изучает свойства различных плоских и пространственных фигур. При этом некоторые свойства фигур очевидны, другие же необходимо обосновать рассуждениями. После этого переходят к рассмотрению основных понятий и их свойств. Начинают обычно с практической задачи на построение, после чего формулируется свойство, которое затем закрепляется на задачах. При работе над аксиомами планиметрии возможно использование учителем следующей методической схемы.

1. На первом этапе аксиома может быть предварена рисунком с небольшим комментарием учителя.
2. Формулировка аксиомы учителем
3. Логический анализ формулировки аксиомы.
4. Математический диктант.
5. Закрепление при решении задач.

 

2.2 Изучение взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых

В настоящее время практикуются два варианта изложения вопросов о параллельности и перпендикулярности.

1 вариант (учебник Л.С. Атанасяна – 7 класс).

Вначале рассматривается частный случай пересечения прямых – перпендикулярность прямых, затем в отдельную главу вынесен материал о параллельных.

2 вариант (учебник А.В. Погорелова).

Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых рассматриваются вперемежку друг с другом:

а) аксиома параллельных (§1),

б) перпендикулярные прямые (§2),

в) параллельные прямые, признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых, сумма углов треугольника (§4),

г) существование и единственность перпендикуляра к прямой (§4),

д) построение перпендикулярной прямой (§5),

При любом варианте изложения данного материала следует начать с вопроса о взаимном расположении двух прямых на плоскости. Это можно осуществить в виде эвристической беседы:

1. Могут ли две прямые иметь одну общую точку?
2. Могут ли две прямые иметь две общие точки?
3. Могут ли иметь бесконечное множество общих точек?
4. Могут ли не иметь общих точек?

Атанасян: В вопросе о перпендикулярных прямых до аксиомы параллельности рассматривается важное следствие: «две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются». Таким образом, доказывается существование параллельных прямых.

Аксиома параллельных также формулируется по-разному. Если у Погорелова – «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной», а затем доказывается, что такая прямая есть, то у Атанасяна сразу принимается за аксиому, что через точку можно провести единственную прямую, параллельную данной, что является более целесообразным вариантом, поскольку это интуитивно и так понятно.

Методика изучения признаков параллельности прямых.

Вначале целесообразно выяснить вопрос: зачем нужны признаки параллельности? Дело в том, что определение не дает возможности проверки (установления) параллельности прямых. Невозможно на бесконечности проверить пересекаются ли прямые или нет. Поэтому и нужны специальные признаки, по которым можно судить о параллельности.

Первый признак – две прямые, параллельные третьей, параллельны» не вызывает сложностей у школьников.

Вспомнив необходимый материал, учащиеся решают задачу на построение двух прямых b и с, параллельных данной прямой а. выясняется, как соотносятся между собой прямые b и с. предположение противного сразу приводят к противоречию с аксиомой параллельных.

Следующие признаки связаны с рассмотрением углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей. После доказательства одного из признаков формулируются все остальные в виде самостоятельного задания для школьников (или устно). Задачный материал по теме «Признаки параллельности прямых» целесообразно дополнить поисковыми заданиями без заранее данного чертежа, смысл которых состоит в правильности представления той или иной конфигурации, взгляд на проблему «со стороны». Их выполнение может быть осуществлено в виде лабораторной работы.

Например, задача.

1. Могут ли прямые АВ и СD быть параллельными? Ответ объяснить.
2. Внутренние односторонние углы при двух прямых а и b и секущей с. Могут ли а и b быть параллельны?

Возможно использование более свободных по характеру выполнения заданий на составление задач по чертежу.

Например: используя рисунок, составьте несколько задач.

рис.2

По рис.2:

а) СЕ=ЕD, ВЕ=ЕF; б) Как построить сумму АD+ВС?

 

2.3 Геометрические построения в курсе планиметрии. Методика обучения решению задач на построение

Задачи на построение – это задачи, в которых требуется построить некоторую геометрическую фигуру по заранее заданным данным с помощью ограниченного набора чертежных инструментов (чаще всего – линейки и циркуля).

Роль задач на построение в школьном курсе:

1. Способствует развитию воображения школьников, так как еще до решения данной задачи приходится отчетливо представить искомый образ.
2. Развивают конструктивные способности учащихся и закрепляют соответствующие чертежные навыки.
3. Анализ и исследование полученного решения, рассмотрение взаимосвязей между данными и искомыми элементами содействуют развитию логического мышления школьников, в частности – мыслительных операций: анализа, синтеза, абстрагирования; пробуждают их инициативу.
4. Способствуют прочному закреплению теоретического материала курса.

Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам:

1. Ознакомительный этап (1 — 4 кл.). Здесь школьники впервые знакомятся с чертежными инструментами – линейкой, циркулем, треугольником и решают простейшие задачи на построение прямой, отрезка, окружности, угла.
2. Пропедевтический этап (5-6кл.) более значительное внимание к геометрическим построениям подготавливает учащихся к решению более сложных задач систематического курса. Используются линейка, циркуль, транспортир, треугольник. Рассматривается построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки; треугольника с помощью линейки, циркуля и транспортира; окружности, квадрата, прямоугольника.
3. Систематический курс геометрии (7-11 кл.).

7 класс. Здесь впервые учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам – все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в «Началах»: а) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; б) из всякого центра любым раствором циркуля можно описать круг. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение – метод геометрических мест (метод пересечений).

Решение задач на построение выполняет свои указанные выше функции лишь при условии, когда школьники отчетливо поймут и прочно усвоят известный процесс решения этих задач, состоящий из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе:

1. анализ; 2) построение (синтез); 3) доказательство; 4)исследование.

Не все указанные этапы с самого начала обязательно должны явно присутствовать при решении задач на построение. В простейших конструктивных задачах, где алгоритм построения очевиден, допустимо не проводить анализ задачи в явном виде; если же доказательство непосредственно следует из построения, его можно также опустить (например, при построении в 7-8 классах обычно либо отсутствует, либо ограничивается проверкой выполнимости каждой операции и нахождением количества решений (если возможно).

Рассмотрим на примере следующей задачи на построение реализацию указанных этапов.

Задача. Построить треугольник по данному периметру и двум его внутренним углам α и γ.

После рассмотрения основных элементарных задач на построение, навыки, в решении которых обрабатываются до автоматизма, учащиеся приступают к знакомству с первым общим методом решения задач на построение, предварительно рассмотрев понятие геометрического места точек (Г.М.Т.). При введении понятия Г.М.Т. необходимо обратить внимание школьников на следующий факт: при определении того, является ли данная фигура геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством, необходимо фактически проверить два взаимно обратных утверждения:

1. любая точка фигуры обладает указанным свойством;
2. любая точка, обладающая данным свойством, принадлежит этой фигуре.

Метод геометрических мест сводится к отысканию некоторого множества точек, характеризуемого условием, имеющим вид конъюнкции, где Р1(х) – фигура, удовлетворяющая первому условию, Р2(х) – фигура, удовлетворяющая второму условию и т.д.

В качестве первой задачи, решаемой М.Г.М. целесообразно предложить школьникам задачу, уже известную им – построение треугольника по трем сторонам. Построив одну из заданных сторон, находим третью вершину, предварительно выделив условия, каким она удовлетворяет:

а) находится на расстоянии b от точки А (это окружность с центром в точке А и радиусом b);

б) на расстоянии а от точки В.

Точка С будет являться пересечением этих двух геометрических мест точек (окружностей). Правда, здесь надо еще одно Г.М.Т. рассмотреть – заданную полуплоскость относительно прямой АВ. Далее переходим к решению задач М.Г.М. типа № 32: построить треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

 

2.4 Методика изучения геометрических построений в курсе геометрии

Задачи на построение являются важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений.

Перейдем теперь к учебникам геометрии для средней школы. Во всех действующих учебниках по геометрии задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7-го класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в ряде учебников рассматривается метод геометрического места точек. Этим небольшим списком круг задач на построение в учебниках для 7-го класса практически исчерпывается.

Рассмотрим решение задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Основная цель – сформировать умение и развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Схема решения задачи на построении включает в себя следующие этапы: анализ, построение, доказательство, исследование.

Анализ: цель которого – составление плана решения, осуществляется по – разному при различных методах построения: иногда предполагают искомую фигуру построенной, иногда разбивают условие задачи на несколько частей и т.д.

Построение– осуществление плана решения задачи, составленного в результате анализа.

Доказательство – установление правильности решения, доказательство того, что полученное решение удовлетворяет условиям задачи.

Исследование – определение всевозможных случаев, допускаемых условиями задачи, и числа решений в каждом из этих случаев.

С точки зрения логики узловыми этапами решения задачи на построение являются два – анализ и доказательство. Рассмотрим эти этапы подробнее и установим тесную логическую взаимосвязь между ними. Анализ начинается с того, что требуемая фигура построена, т.е. выполнены все те свойства, которые сформулированы в условии задачи. В ходе анализа из этих свойств мы пытаемся извлекать какие-то выводы, и каждый такой вывод анализируем на то, можно ли от него вернуться к данному условию. Другими словами, мы ищем такие необходимые следствия данных условий задачи, которые, в свою очередь, для этих условий окажутся достаточными. Что же происходит при доказательстве? Выведенные в процессе анализа следствия становятся условиями. Из этих условий должны быть выведены те свойства, которые сформулированы в условии задачи. Таким образом, следствия анализа становятся условиями доказательства, а условия анализа – следствиями доказательства. Это означает, что в процессе анализа мы устанавливаем ряд прямых теорем, а в процессе доказательства используем обратные для них теоремы. Отсюда задача анализа выявить в его ходе такие теоремы, обратные утверждения для которых сами будут справедливы, т.е. сами будут теоремами.

Из этой логики вытекает методика обучения решению задач на построение. Указать учащимся на эту логическую связь анализа и доказательства и предложить им каждый раз обнаруживать и четко формулировать прямые теоремы в ходе анализа и обратные для них теоремы в ходе доказательства. Если навык такого подхода будет выработан, то учащиеся будут отчетливо представлять логику решения задач на построение и свою задачу на каждом этапе решения.

Предположим, что в качестве средств построения выбраны циркуль и линейка. Сначала выбираются первичные неопределяемые понятия. Такими являются понятия построенных основных фигур, т.е. каждая из фигур, участвующих в условии задачи, считается изначально построенной. Далее формулируются правила, по которым к имеющимся фигурам с использованием циркуля и линейки можно строить новые фигуры. Вот эти правила (постулаты).

(П1). Если есть две различные точки А и В, то можно построить отрезок АВ, прямую АВ и четыре луча.

(П2). Если есть три точки А, В, С (В не равно С), то можно построить окружность с центром в точке А с радиусом, равным отрезку ВС.

(П3). Если построены две непараллельные прямые, то можно найти точку их пересечения.

(П4). Если построены пересекающиеся прямая и окружность, то можно найти точки их пересечения (в частности, на данной прямой отложить отрезок, равный данному отрезку).

(П5). Если построены две пересекающиеся окружности, то имеем точки их пересечения.

Учебник И.Ф. Шарыгина.

7класс. Построение углов и отрезков заданной величины, построение перпендикуляра к прямой, построение параллельных прямых.

Учебник Л.С. Атанасян

7 класс. Построение треугольника по трем элементам.

Методы решения задач на построение.

1. Метод геометрических мест – состоит в том, что задача сводится к отысканию некоторой точки, характеризуемой условием.
2. Метод применения движения(параллельный перенос, поворот, осевая симметрия) – состоит в том, что предполагая искомую фигуру построенной, подбирают такое движение, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям:

а) она может быть построена по данным задачи;

б) она связана с искомой фигурой. Таким образом, что, будучи сама построенной, позволяет построить и искомую фигуру.

1. Метод подобия – состоит в том, что условие задачи разбивают на две части, одна из которых определяет «форму» искомой фигуры, а другая – ее размеры. По первой части условия строят фигуру, подобную искомой, затем преобразовывают ее в искомую с учетом второй части условия.
2. Метод алгебраический – этот метод заключается в том, что в искомой геометрической фигуре выделяется отрезок, угол или отношение отрезков при этом длина этого отрезка выражается через длины данных отрезков по некоторой формуле. Для того, чтобы построить выделенный отрезок в искомой геометрической фигуре нужно провести построение отрезка, длины которых задаются формулами.

Основные задачи на построение, решение которых даются в школьном курсе математики.

1. Отложить отрезок вдоль данного отрезка  равный данному.
2. Построить сумму и разности данных отрезков.
3. Отложить от данного отрезка угол равный данному.
4. Построить сумму и разность двух углов.
5. Найти середину отрезка.
6. Построить биссектрису угла.
7. Восстановить перпендикуляр к прямой к данной ей точке.
8. Опустите перпендикуляр из данной точки на данную прямую.
9. Провести из данной точки параллельной данной.
10. Разделите данный отрезок в данном отношении в заданном как отношение данного отрезка а:в или как отношение целых чисел m:n.

 

2.5 Задачи по геометрии по готовым чертежам для 7 класса

Начиная изучать геометрию в 7 классе, учащиеся обладают лишь незначительными знаниями по данному предмету, которые они смогли получить на уроках математики в предыдущих классах. Очень трудной задачей на первых порах для учителя является то, как правильно научить оформлять решение: сделать хороший наглядный чертёж, выписать условие задачи, правильно сформулировать заключение, т.е. то, что нужно доказать, или найти неизвестные элементы геометрических фигур, привести подробное решение с пояснением каждого действия. Пока учащиеся не приобрели достаточных навыков решения и правильного оформления геометрических задач, у них на это уходит  много времени. Тем более что задачи по геометрии по своему оформлению отличаются от того, как их решали раньше на уроках математики, или как их решают на уроках алгебры или физики, тоже новом для них предмете, имеющем свою специфику оформления задач.

Поэтому, если на уроках рассмотрено какое-либо новое понятие или доказана теорема, бывает недостаточно для их закрепления решить одну-две задачи, а если их решать полностью и подробно, больше и не успеть. Поэтому для закрепления только что изученных понятий и для успешного выполнения домашнего задания очень помогают заранее заготовленные задачи по готовым чертежам, которые чаще всего решаются устно.

Задачи подобраны достаточно дифференцированным образом: от самых простых с применением лишь определения или свойства геометрической фигуры, до более сложных, которые решаются в несколько действий различными приёмами с использованием множества понятий, фактов и свойств, изученных ранее.

Проверка знаний учащихся по таким карточкам – таблицам помогает учителю диагностировать типичные ошибки учащихся, а ученикам глубже изучить предмет при подготовке к текущим и итоговым зачётам.

Данные карточки помогают учителю в организации следующих дидактических задач:

1) выработка навыков применения определений, теорем, свойств геометрических фигур;

2) организация обучающей или контролирующей самостоятельной работы;

3) развитие устной математической речи учащихся;

4) повторение курса планиметрии в конце или в начале следующего учебного года;

5) повторение курса планиметрии при подготовке учащихся к экзаменам.

Данные карточки могут применяться для работы на уроке всем классом, что позволяет  разобрать широкий круг задач при минимальной затрате времени и активном участии в их обсуждении всех учащихся. Они могут также быть розданы учащимся для выполнения определённого домашнего задания. Например, подготовить рассказ по какой-то таблице, используя учебное пособие. Такое задание выполняется, как правило, с большим интересом, порождает здоровую атмосферу соревнования за лучшее обоснование решения той или иной задачи.

Существенную помощь оказывает применение этих карточек для индивидуальной работы с учащимися:

• предложив такую карточку с заданиями по готовым чертежам слабоуспевающему ученику, он сможет подготовить 8-10 задач лёгкого и среднего уровня;
• принять зачёт у всего класса одному учителю нереально, и тут на помощь приходят ученики-консультанты, которые относятся к своему поручению принять зачёт у своего одноклассника иной раз более тщательно, чем сам учитель;
• если ученик пропустил часть уроков и у него образовался пробел в знаниях, ему трудно включиться в работу. Опять же, решая задачи на карточках от простых до более сложных,  он самостоятельно сможет ликвидировать пробелы в знаниях.

По опыту работы известно, что ученикам нравится работать по таким карточкам. Стоит лишь достать папку с заданиями, вырастает лес рук: «Дайте мне, пожалуйста».

Данные карточки обновляются и пополняются новыми интересными задачами.

Содержание таблиц

1. Смежные и вертикальные углы (приложение №1)
2. Признаки равенства треугольников  (приложение №2)
3. Равнобедренный треугольник и его свойства (приложение №3)
4. Признаки параллельности прямых (приложение №4)
5. Углы треугольника (приложение №5)
6. Свойство углов при параллельных прямых (приложение №6)
7. Признаки равенства прямоугольных треугольников (приложение №7)

 

Приложение № 1

 

Приложение № 2

 

Приложение № 3

Приложение № 4

 

Приложение № 5

 

Приложение № 6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Преподавание геометрии было и остается непростым делом. Сегодня во многих школах верным помощником учителя стал компьютер, но, к сожалению далеко не во всех школах у учителя геометрии имеется компьютер и электронная доска, с помощью который они могут демонстрировать фигуры, их свойства и т.д. В большинстве школ остается тряпка, мел и доска. Поэтому многие учителя вынуждены разрабатывать различные карточки, демонстрационные и наглядные материалы, с помощью которых отрабатываются навыки обозначения геометрических объектов, измерения углов, отрезков, сравнение геометрических фигур, которое можно выполнить не мысленно, как предполагают учебники, а наглядно.

Применение наглядных пособий оправдано, так как позволяет активизировать деятельность учащихся, дает возможность повысить качество образования, повысить профессиональный уровень педагога, разнообразить формы общения участников образовательного процесса.

Основные задачи которые были поставлены перед началом работы, были выполнены в процессе написания работы в полном объеме.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Изучение геометрии в 7-9 классах: пособие для учителей (Атанасян А.С., Бутузов В.Ф., Глазков А.Ю.) – М.: Просвещение, 2009.
2. Геометрия: Учеб.для 7-9 кл. / Л. С. Атанасян и др. – М.: Просвещение, 2017.
3. . Задачи по планиметрии. Часть 1. (Часть 2). Прасолов В.В — 2-е изд. — М.: Наука, 2006.
4. Устные упражнения по геометрии. 7-9 классы. Смирнова И.М., Смирнов В.А. – М.: Мнемозина, 2010.
5. Геометрия: учебник для 7-9 классов. Погорелов А.В. — М.: Просвещение, 2017.
6.  Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся, Готман Э.Г.  — М.: Просвещение, 1996.
7. Методика преподавания математики в средней школе / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин и др.: Общая методика. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1980; Частные методики. — М.: Просвещение, 1977.
8. Психолого-педагогические основы методики обучения математики, Груденов Я. И. – М.: Просвещение, 2003.
9. Признаки равенства треугольников. Решение задач, Чулкова Е. // Математика. – 1990.
10. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. – М.: Просвещение, 1999.

---

1 2