1 2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Научно-методические аспекты обучения старшеклассников решению планиметрических и стереометрических задач
1.1 Психолого-педагогическая характеристика учащихся подросткового возраста
1.2 Значение задач в школьном курсе планиметрии
1.3 Психологические особенности изучения стереометрии в школе
1.4 Подходы к методологии решения стереометрических задач
Глава 2. Методы решения планиметрических и основы решения стереометрических задач
2.1 Задача: понятие, структура, решение
2.2 Роль и функции геометрических задач
2.3 Классификации геометрических задач
2.4 Методика обучения решению стандартных геометрических задач
2.5 Метод дополнительных построений (конструктивный)
2.6 Аналитические методы
2.7 Вспомогательные задачи
2.8 Проблемные методы решения стереометрических задач
2.9 Разработка урока по решению стереометрических задач
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
В разное время высказывались различные мнения о преподавании геометрии в школе и ее месте в системе образования. Недостатки в освоении геометрии ведут к серьезному ущербу всего миропонимания.
Многие современные школьники не умеют решать задачи геометрии, а особенно — планиметрические задачи.
Планиметрия представляет собой замкнутую модель науки, внутри которой можно бесконечно совершенствоваться, дает большие возможности для развития творческого, интеллектуального, создает тот самый развивающий дискомфорт, преодолевая который, ребенок только и может двигаться вперед в своем развитии. Успешность во многом зависит от самих школьников, от их инициативы и творчества.
Геометрические образы сопровождают человека в течение всей его жизни, начиная с первых лет. Первичные геометрические сведения у человека появляются до того, как он способен их формально — логически осмыслить.
В современной школе начальная часть геометрического образования развита недостаточно.
Вследствии этого при переходе в 7 класс школьники встречаются с трудностями, возникающими при изучении систематического курса геометрии:
- во-первых, происходит знакомство с новой терминологией,
- во-вторых, учащимся приходится работать с совершенно новыми объектами, восприятие которых требует развитого абстрактного мышления,
- в-третьих, от учащихся требуется не только свободное владение математическим языком, но и умение самостоятельно доказывать какие-либо утверждения.
В геометрии известно много методов решения разных задач, которые актуальны и по сей день. К ним относятся:
- методы с использованием дополнительных построений;
- методы, основанные на подобии треугольников;
- методы тригонометрической замены;
- методы, использующие соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника;
- методы, использующие векторный аппарат.
Актуальность. В заданиях группы В (планиметрия) единого государственного экзамена по математике содержатся такие задачи, при решении которых учащиеся испытывают определенные затруднения, что ведет к потере времени на экзамене.
Умение решать планиметрическую задачу несколькими способами — один из залогов успешного решения стереометрических задач.
Стереометрия как раздел геометрии изучается в старших классах общеобразовательной школы. Раздел считается достаточно сложным в дидактическом плане. Даже старшеклассники, как показывают результаты ЕГЭ последних лет, не вполне усваивают знания стереометрии и не умеют решать стереометрические задачи. Для сравнения: задачи по планиметрии старшеклассники решают с меньшим трудом. Данная проблема лежит в плоскости педагогической психологии. Для усвоения стереометрии и решения стереометрических задач требуется высокое развитие пространственного мышления. Однако не только пространственное мышление отвечает за успешность овладения обучающимися методикой решения стереометрических задач: актуальность приобретает также математическое мышление. Там, где пространственное и математическое мышление соприкасаются возникают значительные методические трудности в формировании умений и навыков, связанных с решением стереометрических задач.
Большой вклад в поиск эффективных методов решения стереометрических задач на уроках геометрии внесли Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, А.В. Истратий, Г.Л. Луканкин, В.А. Оганесян, В.В. Орлов, В.А. Панчищина, Н.С. Подходова, И.В. Прояева, Е.И. Санина, В.Я. Саннинский, А.Д. Сафарова, И.М. Смирнова, А.В. Старшинова, О.В. Холодная, А.И. Фетисов, И.С. Якиманская. Однако на методологическом уровне проблема решения стереометрических задач на уроках геометрии в школе недостаточно проработана.
Исходя из выше сказанного:
Объект исследования: Планиметрические задачи и процесс обучения стереометрии в школе.
Предмет исследования: Методы решения планиметрических и стереометрических задач.
Гипотеза:
Владение различными методами решения задач позволит выпускнику выбирать наиболее рациональный метод.
Изучая в школе предмет «Геометрия», учащиеся приобретают набор методов решения планиметрических, стереометрических задач. Была выбрана планиметрическая задача, которую можно было решать различными методами. Прорешав ее известными нам методами, я обратились к литературе за дополнительными методами решения. Провела классификацию этих методов. Выбрала более оптимальные. Предложила учащимся 8-11 классов решить данную задачу и выявила наиболее «популярные» методы решения.
Цель работы: Изучить и систематизировать различные методы решения планиметрических задач; на примере задач из учебников Атанасяна Л.С., Погорелова А.В. и Александрова А.Д. продемонстрировать преимущества решения задач различными методами; проанализировать наиболее эффективные методы решения стереометрических задач в школьном курсе геометрии.
Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:
— проанализировать действующие учебники 7-10 классов, методическую, педагогическую и психологическую литературу по теме выпускной квалификационной работы;
— познакомиться с многообразием решений планиметрических задач. Узнать какой из методов чаще всего используют ученики 8 — 10 классов.
— выявить и проанализировать психологические особенности изучения стереометрии в школе;
— проанализировать различные подходы к методологии решения стереометрических задач;
— проанализировать проблемные методы решения стереометрических задач;
— разработать урок по решению стереометрических задач.
Методы исследования:
1) анализ научной и методической литературы;
2) методическая разработка.
Структура исследования:
1) введение;
2) основная часть (две главы);
3) заключение;
4) список использованной литературы (25 наименований).
Глава 1 Научно-методические аспекты обучения старшеклассников решению задач
1.1 Психолого-педагогическая характеристика подросткового возраста
Общая характеристика возраста. Подростковый возраста охватывает период развития детей от 13 до 15 лет, что соответствует возрасту учеников VII-VIII классов средней школы.
Подростковый возраст — период гражданского становления человека, его социального самоопределения, активного включения в общественную жизнь, формирования духовных качеств гражданина.
Личность юноши и девушки складывается под влиянием совершенно нового положения, которое они начинают занимать по сравнению с подростком, в обществе, коллективе. Положение старших в школе, приобретение опыта серьезной общественной деятельности решающим образом сказываются на развитии личности учащихся X-XI классов.
Л.С. Выготский особое внимание обращал на развитие мышления в подростковом возрасте.
Главное в развитии мышления — овладение процессом образования понятий, что ведёт к высшей форме интеллектуальной деятельности, новым способам поведения.
По словам Л.С. Выготского, функция образования понятий лежит в основе всех интеллектуальных изменений в этом возрасте.
Организация учебной деятельности должна обеспечить ее направленность на формирование теоретического дискурсивного (рассуждающего) мышления, мышления, основанного на оперировании не конкретными образами и представлениями, а понятиями, на умении сопоставлять эти понятия, переходить в ходе рассуждения от одного суждения к другому.
В интеллектуальной деятельности учащихся в период отрочества усиливаются индивидуальные различия, связанные с развитием самостоятельного мышления, интеллектуальной активности, творческого подхода к решению задач, что позволяет рассматривать подростковый возраст как сенситивный период для развития творческого мышления.
Социальная ситуация как условие развития и бытия в подростковом возрасте принципиально отличается от социальной ситуации в детстве не столько по внешним обстоятельствам, сколько по внутренним причинам.
Подросток продолжает жить в семье, учиться в школе, он окружен по большей части теми же сверстниками. Однако сама социальная ситуация трансформируется в его сознании в совершенно новые ценностные ориентации — подросток начинает интенсивно рефлексировать на себя, на других, на общество. Теперь уже иначе расставляются акценты: семья, школа, сверстники обретают новые значения и смыслы. Для подростка происходят сдвиги в шкале ценностей. Все освещается проекцией рефлексии, прежде всего самые близкие: дом, семья.
В условиях семьи подросток, как правило, живет вместе со своей семьей, но наступает пора оценок близких.
Набирая опыт жизни, подросток открывает для себя многообразные семейные отношения, которые отличаются от родительской семьи. Он испытывает потребность в более универсальной, более широкой идентичности и одновременно в укреплении своего собственного чувства личности, в обособлении своего «Я» от семейного «Мы». Сама семья занимает прежние позиции по отношению к подростку.
Обычно семья относится к подростку в соответствии со сложившимися семейными (и родовыми) традициями.
Семья с высокой рефлексией и ответственностью понимает, что ребенок взрослеет и что с этим надо считаться, изменяя стиль взаимоотношений. К подростку начинают относиться с учетом появившегося у него чувства взрослости.
Не навязывая своего внимания, родители выражают готовность обсудить его проблемы. В таком ключе взрослые из хорошо рефлексирующих семей выражают готовность к сотрудничеству с подростком. Главное в такой семье — сохранение столь желанного для отрочества чувства самоуважения.
Характер подростка из семьи с высокой рефлексивностью и ответственностью развивается вполне благополучно (если, конечно, здесь нет угнетающих это развитие предпосылок). Он строит свои отношения с окружающими (взрослыми и сверстниками) преимущественно по адекватно лояльному типу.
Ценностные ориентации подростка в такой семье направлены на проникновение в ценности всего многообразия реальной действительности: предметного мира, образно-знаковых систем, природы, самого социального пространства непосредственных отношений людей. Высокая рефлексия окружения создает благоприятные условия для духовного развития подростка.
Семья отчужденная. В этой семье к подростку относятся так же, как и в детстве — им мало интересуются, избегают общения с ним и держатся от него на расстоянии. Отчужденные родители уже сделали свой вклад в развитие характера своего ребенка: он или тоже стал носителем отчужденных форм поведения и обладателем отчужденной души, или у него сложился горький комплекс собственной неполноценности. Тенденции развития его характера как способа взаимодействия с другими людьми уже отчетливо проявляют себя: превалируют нигилистические реакции, агрессия или неадекватная лояльность, пассивный стиль поведения.
Подросток в такой семье чувствует себя лишним. По большей части он устремляется на улицу к своим сверстникам, где ищет удовлетворения в общении. Стиль общения со сверстниками дублирует, как правило, способы его взаимодействия в семье. Отчужденная семья может ограничить возможности ребенка в развитии.
Семья авторитарная по сложившимся стереотипам продолжает предъявлять подростку те же жесткие требования, что и в детстве. Обычно, если это было принято ранее, здесь продолжают применять и физические наказания (в детстве — шлепали, теперь могут «врезать»).
В авторитарной семье подросток так же одинок, несчастен и неуверен в себе, как и в детстве. Однако тенденции развития его характера уже отчетливо вырисовываются: он становится носителем авторитарного способа взаимодействия с людьми или, напротив, демонстрирует униженную неадекватную лояльность, пассивность, за которой стоит высокая невротизация неуверенного в себе подростка. Авторитарная семья также может ограничить возможности подростка в развитии.
Семья с попустительским отношением. В такой семье продолжает господствовать принцип вседозволенности: подросток уже давно «сел на голову» родителям и хорошо освоил способы манипулирования ими.
Эгоизм и сопутствующая ему конфликтность — основные характеристики характера подростков из таких семей. Здесь подросток несчастлив вдвойне: сам по себе возраст — уже кризис личностного развития плюс еще недостатки, сформированные в его личностной позиции отношениями вседозволенности, чего ему никогда не предложит действительная жизнь.
Семья гиперопекающая. Подросток в такой семье вырос под пристальным вниманием и заботой родителей, у которых масса своих внутренних проблем, возникающих по большей части на основе личных трагедий и комплексов.
С подростком родители по-прежнему не расстаются, опекают его не только извне, но стремятся завладеть и его душевными переживаниями. Здесь подросток, как и в детстве, не уверен в себе. В случае необходимости он не может дать отпор, но и не может сам построить позитивные отношения. Он пассивен, принужденно лоялен. Он инфантилен по своим социальным реакциям и на эту его особенность уже реагируют сверстники, дающие ему детские прозвища типа «Малыш», «Маменькин сынок», «Детский сад» и др.
Описанные стили отношений к подростку демонстрируют лишь тенденции условий развития личности в подростковом возрасте. Реальная жизнь может быть мягче, благополучнее, но и жестче, ужаснее, непостижимее.
В семье может быть одновременно множество разнообразных стилей общения, обусловленных неоднородностью культурных уровней ее членов (дедушек, бабушек, родителей, других родственников). Подросток может стремиться к идентификации со своими родителями, но может занимать и отчужденную позицию.
Прежде всего мышление является высшим познавательным процессом. Оно представляет собой порождение нового знания, активную форму творческого отражения и преобразования человеком действительности.
Мышление порождает такой результат, какого ни в самой действительности, ни у субъекта на данный момент времени не существует. Мышление (в элементарных формах оно имеется и у животных) также можно понимать, как получение новых знаний, творческое преобразование имеющихся представлений.
Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания.
В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.
На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.
Мышление — это движение идей, раскрывающее суть вещей. Его итогом является не образ, а некоторая мысль, идея. Специфическим результатом мышления может выступить понятие — обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях.
Мышление — это особого рода теоретическая и практическая деятельность, предполагающая систему включенных в нее действий и операций ориентировочно-исследовательского, преобразовательного и познавательного характера.
Рассмотрим виды мышления:
Теоретическое понятийное мышление — это такое мышление, пользуясь которым человек в процессе решения задачи обращается к понятиям, выполняет действия в уме, непосредственно не имея дела с опытом, получаемым при помощи органов чувств. Он обсуждает и ищет решение задачи с начала и до конца в уме, пользуясь готовыми знаниями, полученными другими людьми, выраженными в понятийной форме, суждениях, умозаключениях. Теоретическое понятийное мышление характерно для научных теоретических исследований.
Теоретическое образное мышление отличается от понятийного тем, что материалом, который здесь использует человек для решения задачи, являются не понятия, суждения или умозаключения, а образы. Они или непосредственно извлекаются из памяти, или творчески воссоздаются воображением. Таким мышлением пользуются работники литературы, искусства, вообще люди творческого труда, имеющие дело с образами. В ходе решения мыслительных задач соответствующие образы мысленно преобразуются так, чтобы человек в результате манипулирования ими смог непосредственно усмотреть решение интересующей его задачи.
Оба рассмотренных вида мышления — теоретическое понятийное и теоретическое образное — в действительности, как правило, сосуществуют. Они неплохо дополняют друг друга, раскрывают человеку разные, но взаимосвязанные стороны бытия. Теоретическое понятийное мышление дает хотя и абстрактное, но вместе с тем наиболее точное, обобщенное отражение действительности. Теоретическое образное мышление позволяет получить конкретное субъективное ее восприятие, которое не менее реально, чем объективно-понятийное. Без того или другого вида мышления наше восприятие действительности не было бы столь глубоким и разносторонним, точным и богатым разнообразными оттенками, каким оно является на деле.
Отличительная особенность следующего вида мышления наглядно-образного состоит в том, что мыслительный процесс в нем непосредственно связан с восприятием мыслящим человеком окружающей действительности и без него совершаться не может. Мысля наглядно образно, человек привязан к действительности, а сами необходимые для мышления образы представлены в его кратковременной и оперативной памяти (в отличие от этого образы для теоретического образного мышления извлекаются из долговременной памяти и затем преобразуются).
Последний из видов мышления — это наглядно-действенное. Его особенность заключается в том, что сам процесс мышления представляет собой практическую преобразовательную деятельность, осуществляемую человеком с реальными предметами. Основным условием решения задачи в данном случае являются правильные действия с соответствующими предметами. Этот вид мышления широко представлен у людей, занятых реальным производственным трудом, результатом которого является создание какого-либо конкретного материального продукта.
Перечисленные виды мышления выступают одновременно и как уровни его развития. Теоретическое мышление считается более совершенным, чем практическое, а понятийное представляет собой более высокий уровень развития, чем образное.
Подростковый возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей детей на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно. Значительный прирост предметных знаний создает хорошую базу для последующего развития умений и навыков в тех видах деятельности, где эти знания практически необходимы.
В подростковом и раннем юношеском возрасте завершается формирование когнитивных процессов, и прежде всего мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов. Интеллект в своих высших проявлениях становится речевым, а речь — интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление.
Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе.
Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно- образного.
С точки зрения психолого-педагогических возможностей развития, которыми обладают школьники средних и старших классов, с позиций совершенствования обучения и научения на этот вопрос следует дать утвердительный ответ.
Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трем направлениям:
- понятийный строй мышления,
- речевой интеллект,
- внутренний план действий.
Развитию мышления в старших классах школы может способствовать такой вид занятий, до сих пор, к сожалению, слабо представленный в общеобразовательной школе, как риторика, понимаемая в качестве умения планировать, составлять и произносить публичные речи, вести дискуссию, умело отвечать на вопросы.
Большую пользу могут сыграть разные формы письменного изложения мысли, применяемые не только на занятиях языком и литературой (в форме традиционного изложения или сочинения), но и другими школьными предметами. Они вполне могут быть использованы на занятиях по математике, в частности и в стереометрии при решении задачи на построение на этапе анализа условия задачи и на этапе исследования возможных путей решения. При этом важно оценивать не только содержание, но и форму изложения материала.
Ускоренного образования научных понятий можно добиться на занятиях специальными предметами, где соответствующие понятия вводятся и изучаются. При представлении учащемуся любого понятия, в том числе и научного, важно обратить внимание на следующие моменты:
а) почти каждое понятие, в том числе и научное, имеет несколько значений;
б) обычные слова из повседневно используемого языка, который употребляется и для определения научных понятий многозначны и достаточно точны для того, чтобы определить объем и содержание не научного понятия. Поэтому любые определения понятий через слова обыденного языка могут быть только приблизительными;
в) отмеченные свойства допускают как вполне нормальное явление существование различных определений одних и тех же понятий, полностью совпадающих друг с другом, и это относится даже к самым точным наукам, таким, как математика и физика;
г) для одного и того же человека по мере его развития, а также науки и представляющих ее ученых по мере их проникновения в суть изучаемых явлений, объем и содержание понятий, естественно, меняются. Произнося одни и те же слова через значительный период времени, мы обычно вкладываем в них несколько различный, со временем меняющийся смысл.
Из этого следует, что в средних и старших классах школы учащиеся не должны механически учить и повторять застывшие определения научных понятий. Скорее следует добиваться того, чтобы сами учащиеся находили и давали определения этих понятий. Это, несомненно, ускорит процесс развития понятийной структуры мышления у старшеклассников.
Становлению внутреннего плана действий могут помочь специальные упражнения, направленные на то, чтобы одни и те же действия как можно чаще совершались не с реальными, а с воображаемыми предметами, т. е. в уме. Например, на занятиях математикой следует побуждать учащихся к тому, чтобы они больше считали не на бумаге или с помощью калькулятора, а про себя, находили и четко формулировали принцип и последовательные шаги в решении некоторой задачи прежде, чем практически приступят к реализации найденного решения.
Надо придерживаться правила: до тех пор, пока решение до конца не продумано в уме, пока не составлен план включенных в него действий и пока он не выверен на логичность, к практическому осуществлению решения не следует приступать. Этими принципами и правилами можно пользоваться на занятиях всеми без исключения школьными предметами, тогда и внутренний план действий будет формироваться у учащихся быстрее.
Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру.
Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику.
Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны.
В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности.
В основе повышенной, интеллектуальной и трудовой активности подростков лежат не только указанные выше мотивы. За всем этим можно усмотреть и естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста. Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей.
Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач.
Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности — стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков.
Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию — характерная особенность и подросткового, и раннего юношеского возраста.
Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям.
Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения.
Подростки и особенно юноши принимают лишь то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным.
Результатом обучения математике, прежде всего, является формирование различных видов познавательной деятельности или отдельных её элементов: понятий, представлений, различных умственных действий.
Формирование познавательной деятельности непосредственно связано с процессом усвоения, так как процесс усвоения знаний — это всегда выполнение учащимися определённых познавательных действий.
При планировании усвоения любых знаний необходимо определить, в какой деятельности (в каких умениях) они должны использоваться учениками, с какой целью они усваиваются. Учитель должен быть уверен, что учащиеся владеют всей необходимой в данном случае системой действий, составляющих умение учиться.
Особое внимание при обучении математике, в частности геометрии, нужно уделять принципу развивающего обучения. Среди развивающих задач обучения геометрии особо выделяются следующие:
Развитие мышления — одна из основных задач геометрии. Логика геометрии заключена не только в отдельных формулировках и доказательствах, но и во всей системе в целом.
Развитие пространственного воображения — расширяет видение мира. Оно обогащает внутренний мир человека, давая ему возможность создавать в себе и созерцать разнообразные картины. Развитие пространственного воображения — это важный элемент общей культуры.
Развитие познавательного интереса к геометрии — необходимо проведение целенаправленной работы по формированию устойчивого интереса учащихся к овладению знаниями.
Наличие познавательных интересов учащихся способствует росту их активности на уроках, повышению качества знаний, формированию положительных мотивов учения, активной жизненной позиции, что в совокупности вызывает повышение эффективности всего процесса обучения.
Развитие творческих способностей, необходимых каждому человеку. Чем шире круг знаний человека, тем продуктивнее его творческая деятельность. Творчество высшая форма активности и самостоятельности.
При отборе содержания, соответствующего профилю обучения, необходимо стремиться к научности материала.
Принцип научности имеет отношение и к методам педагогической деятельности и деятельности детей.
В соответствии с этим принципом процесс обучения математики должен быть направлен на развитие познавательной активности учащихся, на формирование у них умений и навыков научного поиска, на ознакомление их со способами научной организации учебного труда.
Этому способствует широкое использование проблемных ситуаций при изучении геометрии. Суть проблемной интерпретации учебного материала состоит в том, что преподаватель не сообщает знаний в готовом виде, но ставит перед учащимися проблемные задачи, побуждая искать пути и средства их решения.
Вопрос о применении теоретических знаний на практике, применение абстрактных теоретических фактов при решении задач относительно конкретных, реальных объектов ставит учащегося в проблемную ситуацию. Ученик вынужден либо самостоятельно осуществлять мыслительный поиск, либо с помощью преподавателя.
Но при создании проблемных ситуаций на уроках геометрии необходимо учитывать реальные возможности учащихся в соответствии с принципом доступности и посильности обучения. При предъявлении недоступного для усвоения материала резко снижается мотивационный настрой на учение, падает работоспособность, быстро наступает утомление.
Чрезмерное упрощение математического материала тоже снижает интерес к учению, не способствует формированию учебных навыков и, главное, не содействует развитию учащихся.
Изложение материала должно быть последовательным и образовывать некоторую систему, то есть отвечать требованиям преемственности, последовательности и систематичности.
Преемственность в обучении математики предполагает такую организацию педагогического процесса, при которой тот или иной урок является логическим продолжением предыдущего.
Последовательность и систематичность в обучении позволяют разрешить противоречие, где, с одной стороны, необходимость формирования системы знаний, умений и навыков по предметам, а с другой — необходимость формирования целостного мировоззрения о единстве и обусловленности окружающего мира.
Обучение, соответствующее выбранному профилю характеризуется сознательностью, так как отвечает потребностям учащегося. Содержание обучения, отвечающие индивидуальным способностям и склонностям ученика, возбуждает активность учащегося.
Активность должна быть направлена не столько на простое запоминание и проявление внимания, сколько на сам процесс самостоятельного добывания знаний. В обучении геометрии решающее значение имеет овладение теоретическими знаниями, а это значит их осмысление и усвоение на понятийном уровне и осознание прикладного значения теоретических идей.
В связи с этим необходимо отметить, значительное увеличение роли наглядности в процессе обучения.
Наиболее приемлемыми формами работы, методами и средствами обучения учащихся в данной ситуации являются те, которые позволяют через физические действия с материальными объектами переходить к общим выводам; учат в конкретных объектах и явлениях реальной действительности видеть возможность применения общих закономерностей формул.
Наглядность в процессе обучения основана на закономерностях познания окружающей действительности и развития мышления, которое развивается от конкретного к абстрактному.
Научные понятия и абстрактные положения легче доходят до учащихся, если они подкрепляются конкретными фактами в процессе сравнения, проведения аналогий и т. п.
Наглядность в процессе обучения геометрии обеспечивается применением разнообразных иллюстраций, демонстраций, лабораторно — практических работ, использованием ярких примеров и жизненных фактов.
По линии возрастания абстрактности виды наглядности подразделяются следующим образом:
естественная — абстрактные геометрические объекты и положения иллюстрируются примерами предметов из объективной реальности, данный вид наглядности наиболее распространён в силу простоты реализации;
экспериментальная — абстрактные геометрические положения подтверждаются в ходе специально организованных опытов, экспериментов.
Обучение в рамках профильной дифференциации предоставляет возможность организовывать лабораторно-практические работы, выполнение которых даёт наглядное экспериментальное подтверждение многих положений геометрии;
объёмная — демонстрация моделей геометрических тел;
демонстрация параллельно с формальным описанием и чертежом объёмной модели стереометрического тела значительно усиливает эффективность обучения;
изобразительная — иллюстрация абстрактных геометрических объектов и положений картинками, фотографиями, рисунками;
символическая и графическая — использование схем, формул для демонстрации взаимосвязи и других отношений между теми или иными понятиями.
Чтобы не сдерживать развитие абстрактного мышления учащихся, в использовании наглядности важно чувство меры. Большое значение имеет сочетание применения наглядности с творческой работой детей по созданию наглядных пособий.
В использовании наглядности должна быть вариативность, чтобы в сознании учеников не запечатлелся какой-либо конкретный образ предмета или явления. Так, некоторые учащиеся испытывают затруднения при работе с цилиндром, если он расположен горизонтально, если все теоретические факты относительно цилиндра и его свойств иллюстрировались на цилиндре, имеющем вертикальное положение.
Обучение геометрии с одной стороны базируется на рекомендациях и принципах общей методики преподавания математики, педагогики и психологии. С другой стороны, обладает своей спецификой, связанной, прежде всего с контингентом обучающихся и отбором содержания, соответствующего профилю обучения. Эта специфика определяется возрастными, психологическими и социальными особенностями учащихся их склонностями, предпочтениями, направленностью личности.
1.2 Задачи в школьном курсе планиметрии
Геометрические задачи не только дают возможность основательно изучить геометрию, но и прививают такие навыки и способности, которые весьма полезны каждому, так как облегчают изучение других предметов и помогают решать различные вопросы науки, техники, искусства и обыденной жизни.
Основные виды задач и подходы к их решению.
В геометрии рассматриваются три основных вида задач:
— задачи на доказательство;
— задачи на вычисление;
— задачи на построение.
Решение этих задач рассматривается на фоне самых разнообразных геометрических фигур и их конфигураций, таких как «параллельные прямые и углы», «треугольники и окружность», «окружность и углы» и другие.
Основными фигурами геометрии являются треугольник — «клетка геометрии» и окружность — «душа геометрии».
Решение задач и упражнений, объединённых одним геометрическим сюжетом, можно выполнять уже на первых этапах изучения геометрии. При этом необходимо иметь в виду два подхода к решению задач — аналитический и синтетический.
Аналитическим подходом пользуются в основном при решении задач на построение, а синтетический подход широко применяется в геометрических задачах на доказательство и на вычисление. При этом подходе в процессе решения задач последовательно используются известные факты, которые называют опорными
Говоря о значении геометрических задач, следует обратить внимание на следующие моменты.
- Решение геометрических задач является одним из надёжных способов систематического повторения приобретённых сведений по геометрии.
Действительно, при решении геометрических задач ученик должен теоретически обосновывать правильность каждого своего действия.
Необходимость доказывать правильность геометрических построений вынуждает учащегося непрестанно повторять приобретённые сведения по геометрии, в результате чего эти сведения прочно закрепляются в его памяти.
Учащиеся лучше усваивают геометрию в том случае, если проработка её теорем и вытекающих из них следствий сопровождается систематическим решением соответствующих геометрических задач.
- Геометрические задачи заставляют учащегося обстоятельнее и глубже разобраться в известных ему сведениях по геометрии.
Уже на первых уроках геометрии ученику сообщается понятие об окружности как о геометрическом месте точек (ГМТ) на плоскости, равноотстоящих от данной точки на той же плоскости.
По мере дальнейшего прохождения геометрии и выполнения задач ученик узнаёт, что окружность и её части (дуги) являются в то же время и другими геометрическими местами точек. Действительно, учащийся убеждается, что:
1) окружность — ГМТ, из которых каждая является центром окружности данного радиуса, проходящей через данную точку,
2) окружность — ГМТ, из которых данная окружность видна под данным углом,
3) окружность — ГМТ, расстояния которых до двух точек А и В находятся в одном и том же отношении,
4) окружность — ГМТ, сумма квадратов расстояний, которых от двух данных точек есть данная величина и т. д.
III. Геометрические задачи побуждают учащегося давать практическое применение имеющимся у него сведениям по геометрии.
Например, если требуется найти в треугольнике такую точку, из которой все три стороны видны под одним и тем же углом, то для решения этой задачи учащийся вынужден дать практическое применение следующим имеющимся у него сведениям:
1) Лучи, выходящие из одной точки, на плоскости образуют прилежащие углы, сумма которых равна 360°.
2) Построение угла, равного 120°.
3) Построение сегмента, опирающегося на данный отрезок и вмещающего данный угол.
- Решение геометрических задач помогает учащимся лучше изучить черчение.
Осуществляя требуемое задачей построение, учащиеся неизбежно выполняют ряд таких операций, которые, в сущности, относятся к черчению. И вполне понятно, что преподаватель математики, требуя от учеников аккуратного выполнения пояснительных чертежей, сопровождающих решение геометрических задач, способствует выработке у учащихся необходимых чертёжных навыков.
- Геометрические задачи в стереометрии способствуют развитию пространственных представлений.
Выполняя хорошо подобранные упражнения по геометрии, среди которых задачи играют главную роль, ученики приобретают следующие ценные качества: во-первых, способность отчётливо представлять себе пространственные геометрические образы и, во-вторых, умение мысленно выполнять операции над воображаемыми геометрическими линиями, фигурами, поверхностями и телами.
Эти качества весьма облегчают изучение начертательной геометрии. Геометрические, развивая пространственные представления, облегчают учащимся изучение химии, физики, астрономии.
- Геометрические задачи более, чем другие математические задачи, приучают учащихся средней школы дисциплинировать своё внимание.
Учеников не затрудняют только те геометрические задачи, решение которых сводится к выполнению какого-нибудь элементарного построения. Что касается остальных задач этого рода, то в подавляющем большинстве они ученикам представляются трудными, подобными замысловатым ребусам или загадкам.
Ученики, стремясь найти решение затрудняющей их геометрической задачи, вынуждены сосредоточивать всё своё внимание на её условии, на свойствах и зависимостях тех геометрических образов, которые входят в набросок предполагаемого решения.
VII. Геометрические задачи прививают учащимся навык целеустремлённо припоминать.
Решая геометрическую задачу, учащемуся приходится не просто припоминать всё, что он усвоил по геометрии, а именно тот круг сведений, к которому относится данная задача.
Геометрические задачи побуждают учащегося целеустремлённо припоминать и в процессе этого проявлять логичность рассуждений, так как из припоминаемого необходимо отбирать лишь то, что даёт возможность решить возникший вопрос.
Кроме того, решение геометрических задач приводит к тому, что память учащегося из пассивной хранительницы разных сведений превращается в активную помощницу, облегчающую решение различных теоретических и практических вопросов.
VIII. Геометрические задачи приучают учеников проявлять инициативу, изобретательность.
Пусть требуется, например, через две данные точки провести окружность, касающуюся данной прямой KL.
Затем, принимая во внимание, что KL является касательной к искомой окружности, учащийся начинает перебирать в своей памяти всё, что относится к касательной.
Среди других сведений он вспоминает следующее: если из какой-нибудь точки, находящейся вне круга, проведём секущую и касательную к нему, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
Инициативу и изобретательность учащийся вынужден проявить при решении трудной геометрической задачи и при отыскании новых способов получения требуемого построения.
- Геометрические задачи приучают учащихся проявлять настойчивость в достижении намеченной цели
При умелой постановке преподавания геометрии учащиеся охотно решают не только задачи, помещённые в стабильных учебниках и задачниках, но и те задачи этого рода, которые встречаются в других учебных пособиях, причём при отыскании требуемого построения не останавливаются перед затратой значительного времени и труда.
- Геометрические задачи приучают учащихся логически рассуждать.
Учащийся ставит перед собою определённую цель: выполнить требуемое в задаче. Для достижения этой цели ему приходится прежде всего хорошо вдуматься в содержание условия задачи и припомнить необходимые сведения из геометрии.
Учащийся должен, во-первых, логически обосновывать правильность каждой из отдельных операций, во-вторых, логическими рассуждениями установить, всегда ли рассматриваемая задача имеет решение и сколько она допускает решений в отдельных случаях.
- Принимая во внимание, какую роль играют геометрические задачи на в усвоении геометрии и развитии мышления, надо предлагать эти задачи в течение всего времени прохождения курса геометрии, начиная от самых лёгких и постепенно переходя к более сложным.
Для этой цели надо использовать не только те геометрические задачи, которые приведены в стабильном учебнике в конце каждого раздела, но и подходящие задачи, взятые из других пособий.
1.3 Психологические особенности изучения стереометрии в школе
Стереометрия относится к одним из сложнейших разделов школьного курса математики (геометрии, в частности). Сложность стереометрии в первую очередь обусловлена спецификой этого раздела.
При изучении некоторых тем стереометрии многие учащиеся сталкиваются с проблемами восприятия трехмерных объектов и их свойств. Навыки черчения и ориентации на плоскости не всегда помогают в правильном понимании физических характеристик объектов в пространстве. К тому же, большинство учащихся вовсе не могут представить некоторые параметры трехмерных объектов [7].
Восприятие трехмерных объектов опосредовано пространственным мышлением, под которым понимается вид умственной деятельности, обеспечивающий создание пространственных образов. Это мышление интерпретируется в терминах изображений, оно обеспечивает оперирование этими изображениями в процессе решения задач [2].
Если в планиметрии пространственное мышление оперирует образами, отображенными в двухмерном пространстве (на плоскости), то в стереометрии эти образы отображаются в трехмерной форме. Основной трудностью для обучающихся является восприятие трехмерных объектов, изображенных на плоскости [4].
Функционирование пространственного мышления при изучении стереометрии особенно важно при решении стереометрических задач, связанных с построением сечений. Если пространственное мышление недостаточно развито, то обучающийся не способен решать такие задачи [13].
Недостаточное развитие пространственного мышления препятствует также решению стереометрических (и планиметрических) задач, связанных с проекциями [19].
Именно поэтому развитие пространственного мышления считается важной целью обучения геометрии в школе. Современные компьютерные технологии значительно облегчают процесс достижения этой цели [16].
Однако не только пространственное мышление служит инструментарием для решения стереометрических задач. Расчетные стереометрические задачи требуют развитого математического мышления. Известный немецкий математики Г. Вейль понимал под математическим мышлением предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранились заданные между ними отношения [25].
Математическое мышление характеризуется комплексностью, целостностью и обеспечивает формирование математических способностей. Однако о целостности математического мышления можно говорить тогда, когда оно в качестве компонента включает пространственное мышление [21].
Развитие математического мышления и математических способностей происходит одновременно, и этим обеспечивается неразрывная связь между мыслительными и познавательными процессами, что очень важно при обучении математике [22].
На уроках стереометрии математическое мышление развивается при решении стереометрических задач. Однако степень его развития зависит не только от типа задач, но также и от методов их решения.
Не менее важной психической функцией в освоении стереометрии является память. Как правило, наибольших успехов в освоении стереометрии достигают обучающиеся с развитой зрительной памятью (зрительный психотип). Такие обучающиеся легко запоминают рисунки, модели [17].
Таким образом, обучение стереометрии – сложный процесс, опирающийся на различные психические функции.
1.4 Подходы к методологии решения стереометрических задач
За последние десятилетия ведется поиск эффективных методов обучения стереометрии в школе. Основной упор делается на обучении решению стереометрических задач.
Долгое время в дидактике математики господствовал традиционный алгоритмический подход. Согласно данному подходу, учитель представляет формулы, алгоритмы и правила, а обучающиеся алгоритмизированно решают задачи. Такой подход оказался не совсем эффективным [1].
Еще одним подходом к обучению стереометрии служил фузионистический подход, описанный такими исследователями, как Г.А. Клековкин [8] и Г.Г. Левитас [10]. Данный подход подразумевает интегрированное обучение различным разделам математики. Сторонники данного подхода требовали внести значительные изменения в курс школьной геометрии – в частности, не разделять его на разделы «Планиметрия» и «Стереометрия».
В.А. Гусев [3] и Ю.М. Колягин [9] опираются в методике обучения стереометрии на системно-аналитический подход, который подразумевает работу с учебником и учебными пособиями. Проблема применения данного подхода к обучению стереометрии связана с плохим качеством большинства учебников по геометрии.
Что касается непосредственно решения стереометрических задач, то здесь также актуализируется несколько подходов.
Важным подходом к методике решения стереометрических задач является наглядно-деятельностный подход. Его описывают в своих трудах О.Б. Епишева [6], Н.В. Метельский [11], И.В. Прояева [14]. Сущность данного подхода заключается в развитии умения отображать условие задачи с помощью рисунка. Рисунок – это неотъемлемая часть стереометрической задачи. Однако при наглядно-деятельностном подходе обучающиеся формируют рисунок самостоятельно, опираясь на условия.
Обобщающий подход к методике решения стереометрических задач описан Е.И. Саниной [15]. Данный подход предполагает постоянное, системное возвращение к ранее изученному материалу, а также использования принципа последовательного перехода от простого к сложному.
Наиболее интересным нам кажется подход, связанный с технологией обучения математике на основе решения задач. Технология обучения математике на основе решения задач была разработана учителем общеобразовательной школы республики Башкортостан Р.Г. Хазанкиным. Сам Р.Г. Хазанкин писал, что в основу данной технологии положено высказывание Д. Лойа «Чтобы научить решать задачи, надо их решать» [24, с. 77].
Р.Г. Хазанкиным были сформулированы базовые концепции технологии («заповеди»). Эти «заповеди» касаются:
– использования теории для решения практических задач; расширения межпредметных связей математики;
– систематического использования теоретических знаний для решения задач;
– воспитания исследователя;
– формирования умения догадываться;
– формирования способности продолжать работу с задачей;
– формирования способности видеть «красоту» математики;
– формирования умения составлять задачи;
– воспитания желания работать с источниками; организации «математического» общения на уроках и во внеурочной деятельности [23].
Технология Р.Г. Хазанкина, безусловно, заслуживает внимания в дидактическом плане. Глубинный анализ технологии позволяет выделить как ее плюсы, так и минусы.
К плюсам технологии следует отнести:
1) актуализацию применения знаний на практике;
2) использование проблемно-развивающих методов обучения;
3) разнообразие форм работы;
4) сочетание коллективных и индивидуальных подходов к обучению;
5) развитие ответственности и самостоятельности.
Однако следует также выделить и минусы:
1) сложность организации уровневого взаимодействия обучающихся;
2) необходимость придерживаться строгих алгоритмов организации учебно-познавательной деятельности [20].
Технология обучения математике на основе решения задач формировалась как самостоятельный подход одновременно с актуализацией в отечественной системе математического образования проблемно-развивающего подхода.
Сегодня под проблемным обучением понимается такая организация учебных занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуация и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего и происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями и развитие мыслительных способностей.
В основу проблемного обучения заложена идея творческого развития обучающихся. Обучающиеся не получают готовых знаний, а учатся приобретать их самостоятельно под руководством учителя.
При проблемном обучении учебная деятельность обращается в учебно-познавательную деятельность.
В.В. Давыдов выделил две основные особенности проблемного обучения:
1) учебная задача преподносится как проблема, которую обучающиеся должны разрешить;
2) взаимодействие обучающихся с учителем носит исключительно субъект-субъектный характер по типу «начинающий исследователь/научный руководитель» [5].
Эти особенности позволяют определить базовые принципы проблемного обучения как современной образовательной технологии.
На проблемном подходе к решению стереометрических задач основан проектный подход. Каждая стереометрическая задача – это определенный математический проект, целью создания которого является разрешение учебной проблемы, сформулированной в вопросе задачи [12].
Еще одним подходом, тесно связанным с проблемно-развивающим, является метапредметный подход. Данный подход подразумевает формирование у обучающихся в процессе решения стереометрических задач метапредметных компетенций.
И.М. Смирнова, замечая метапредметность геометрии, пишет, что эта метапредметность заключается в том, что геометрия «нужна каждому человеку для правильного понимания окружающей нас действительности, для умения ориентироваться в ней», и в том, что геометрия «обладает метасодержанием, необходимым для пропорционального развития обоих полушарий головного мозга человека» [18, с. 95].
Таким образом, существует несколько подходов к методике решения стереометрических задач, однако наибольшую эффективность продемонстрировал проблемно-развивающий подход.
Выводы по первой главе
- Формирование навыка решения стереометрических задач – это процесс, который опирается, прежде всего, на целостное математическое мышление, включающее пространственные мыслительные процессы в качестве компонентов. Математическое мышление необходимо при решении стереометрических задач, однако оно одновременно развивается в процессе их решения.
2. Среди всех подходов, способствующих развитию математического мышления, особо выделен проблемно-развивающий подход, который связан в системе решения стереометрических задач с проектным и метапредметным подходами.
1 2