Математические модели доходности акций

---

Страница:   1   2

---

Содержание

• Введение
• Глава 1.1. «Зарождение и развитие теории портфельного инвестирования»
• Глава 1.2. «Математические модели портфельных решений»
• Глава 2.1.  Модели прогнозирования финансовых временных рядов в условиях гипотезы эффективного рынка
• Глава 2.2. Адаптивные модели прогнозирования финансовых временных рядов в условиях гипотезы фрактального рынка
• Глава 3.1. Формирование портфелей с условно средней доходностью
• Глава 3.2. Оптимальные портфели в условиях гипотезы фрактального рынка
• Заключение
• Список литературы

Введение

В рыночной системе ведения хозяйства доминируют принципиально новые и не совсем освоенные нашей экономикой механизмы привлечения финансовых средств, направляемых на поддержание и развитие инвестиционных процессов. Эти новые механизмы основаны на рыночной модели инвестирования. Они способствуют сокращению централизованных вложений и привлекают частные инвестиции, ограничивая тем самым деятельность государства в качестве непосредственного инвестора. Создается ситуация, когда решающее значение придается росту объема и эффективности негосударственных инвестиций, основными источниками которых должны стать собственные средства предприятий и привлеченные источники, прежде всего средства банков, институциональных инвесторов и населения.

Неразвитость банковской системы России и ее неспособность предоставить свои избыточные ресурсы производственному сектору экономики ста­вят вопрос об ускоренном развитии рынка ценных бумаг в число стратегиче­ски важных направлений развития экономики в целом. По сути, рынок явля­ется самым эффективным экономическим регулятором. Он способствуют привлечению инвестиций на предприятия и доступ последних к более деше­вому (по сравнению с банковскими кредитами) капиталу. С его помощью ин­вестиции автоматически направляются в наиболее эффективные отрасли хо­зяйственной деятельности и жизнеспособные бизнес-структуры. Как меха­низм трансформации сбережений в инвестиции он является сегодня той сфе­рой, в которой формируются основные финансовые источники экономиче­ского роста, концентрируются и распределяются необходимые экономике инвестиционные ресурсы.

Эффективное функционирование рынка ценных бумаг предполагает наличие ряда обязательных условий, среди которых важное место занимает инвестиционная теория, на основе которой принимаются конкретные инве­стиционные решения. Ключевой в данной теории является проблема анализа и формирования портфеля ценных бумаг.

Начало исследований в области обоснования инвестиционных решений было положено Г. Марковицем в 1952 году. В настоящее время изучение этой проблемы продолжается. Основной вклад, по вполне очевидным причи­нам, в развитие теории портфеля ценных бумаг внесли ученые стран Запада и США. Прежде всего, это классики данной теории: Д. Вильяме, Дж. Линтнер, Г. Марковиц, Дж. Моссин, М. Миллер, Ф. Модельяни, Р. Ролл, С. Росс, Дж. Тобин, Ф. Блэк, М. Шоулс, Дж. Кокс, М. Рубинштейн, У. Шарп, Б. Фишер, И. Фишер и др. Благодаря их усилиям была построена стройная теория эффек­тивного рынка, многие аспекты которой успешно применяются при обосно­вании практических решений.

Становление российского рынка ценных бумаг стимулировало иссле­дования отечественных ученых, направленных на дальнейшее развитие тео­рии инвестирования. Интересные результаты были получены в работах М.Ю. Алексеева, Л.О. Бабешко, А.Н. Буренина, И.В. Волошина, А.П. Иванова, Ю.Ф. Касимова, М.А. Кудрявцева, Ю.П. Лукашина, Я.М. Миркина, И.А. На-талухи, И.Г. Наталухи, А.О. Недосекина, Е.М. Четыркина, А.С. Шведова, А.Н. Ширяева, Л.П. Яновского и др. Их исследования имеют большое теоре­тическое и практическое значение для развития инвестиционной теории, адаптированной к российской действительности.

Вместе с тем, несмотря на значительное количество работ по теории портфеля ценных бумаг и активное практическое использование отдельных рекомендаций этой теории, процесс ее создания далеко не завершен. Продолжается поиск причин, которые не позволяют непосредственно использовать в практическом финансовом менеджменте результаты оптимального моделирования портфельных решений. Критические взгляды на модель формирования оптимальных портфелей оставляли без должного внимания вопрос отсутствия взаимосвязи между данными, используемыми для формирования количественных характеристик портфеля, и периодом, в течение которого, как ожидает инвестор, портфель должен приносить доход.

В данной работе заостряется внимание именно на этом моменте и реализуется идея построения портфелей с условно ожидаемой доходностью, структура которых ориентирована на динамику доходности упреждающего периода.

Объектом исследования является портфель ценных бумаг.

Предмет исследования — математический аппарат формирования портфеля ценных бумаг.

Целью работы является анализ математического аппарата формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Для достижения этой цели в дипломной работе поставлены следующие задачи:

• рассмотрение зарождения и развития теории портфельного инвестирования;
• изучение основных подходов к формированию портфеля ценных бумаг;
• анализ методики формирования портфеля с условно ожидаемой доходностью;
• рассмотрение моделей прогнозирования доходностей с локально действующим многошаговым адаптивным механизмом;
• анализ методики портфельного инвестирования, которую целесообразно применять в условиях гипотезы фрактального рынка;
• рассмотрение схемы оценки эффективности портфельных инвестиционных стратегий на основе поступреждающего тестирования;
• верификация проанализированных моделей и методик.

Теоретическую и методологическую основу дипломной работы составили труды отечественных и зарубежных ученых по вопросам анализа рынка ценных бумаг, инвестиционного менеджмента, эконометрического моделирования и адаптивного прогнозирования финансовых процессов.

Информационно-эмпирическую базу исследования составили архивы котировок акций, размещенные на сайтах Российской торговой системы (www.rts.ru) и РИА «РосБизнесКонсалтинг» (www.rbk.ru).

Структура работы обусловлена предметом, целью и задачами дипломного проекта. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении обоснована актуальность темы дипломной работы, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель и поставлены задачи, решение которых необходимо для ее достижения.

В первой главе рассматривается история развития и современное состояние теории портфельных решений, ставшей основой современного подхода к управлению риском. Приводится достаточно полное описание математических моделей, применяемых в теории и практике инвестирования.

Во второй главе исследуются возможности прогнозирования доходности финансовых активов с целью использования получаемых прогнозных оценок в задачах оптимизации портфельных решений. Для ситуаций, когда выполняются предположения гипотезы эффективного рынка, рассматривается процедура формирования производных временных рядов с памятью, обеспечивающих получение прогнозных оценок усредненной доходности, на основе которых строятся портфели с условно ожидаемой доходностью. Для случаев, когда доминируют предположения гипотезы фрактального рынка, прогноз осуществляется по специально разработанной модели с локально действующим многошаговым адаптивным механизмом.

В третьей главе представлены методики формирования инвестиционных портфелей, ориентированных на инвесторов с идентичным поведением и инвесторов с различными горизонтами инвестирования. Методики иллюстрируются полномасштабными расчетами, включающими все этапы формирования портфелей.

В заключении изложены основные результаты и выводы по дипломной работе.

Глава 1.1. «Зарождение и развитие теории портфельного инвестирования»

Во второй половине двадцатого столетия в механизмах регулирования экономики промышленно развитых стран произошли радикальные измене­ния. Отдельные изолированные региональные финансовые рынки стали функционировать как единый международный финансовый рынок. Инфор­матизация, объединение рынков на основе компьютерных сетей с использо­ванием новейших информационных технологий пришли на смену традици­онной фондовой бирже с ее торговыми залами и торговлей «с голоса». Нача­ло этого периода ознаменовалось еще одним событием, которое не сразу бы­ло оценено.

В июне 1952 года в ведущем академическом журнале по финансовым вопросам «Journal of Finance» была опубликована статья Гарри Марковича под названием «Выбор портфеля». В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях.

Сам термин «портфель» («portfolio») понимался как «набор бумаг, фик­сирующих имущественные права». Портфель в результате решения задачи Марковича наделялся структурой, благодаря которой он принципиально от­личался от пакетов акций отдельных компаний, рассматриваемых изолиро­ванно.

Основной заслугой работы Марковица явилась предложенная теорети­ко-вероятностная формализация понятия доходности и риска. Это сразу по­зволило перевести задачу выбора оптимальной инвестиционной стратегии на строгий математический язык.

С вычислительной точки зрения получающаяся оптимизационная зада­ча относится к классу задач квадратичной оптимизации при линейных огра­ничениях. К настоящему времени вместе с задачами линейного программи­рования это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое число достаточно эффективных алгорит­мов.

Марковиц постоянно занимался усовершенствованием и развитием предложенной модели. В 1959 г. выходит первая монография, посвященная изложению предложенного подхода. В 1991 г. выходит книга, подводящая итог почти сорокалетнему периоду работы по теории выбора инвестиционно­го портфеля.

Первая работа Марковича не привлекла особого внимания, по крайней мере, со стороны теоретиков-экономистов и практиков. Для 50-х гг. прошло­го века применение теории вероятностей к финансовой теории было само по себе новым делом. К тому же ограниченность в использовании вычислитель­ной техники и сложность предложенных Марковицем алгоритмов не позво­лили осуществить реализацию его идей на практике.

В 1963 г. учеником Марковича Уильямом Шарпом была предложена так называемая однофакторная модель рынка капиталов, в которой впервые появились, ставшие знаменитыми впоследствии, «альфа»- и «бета»- характе­ристики акций. На основе однофакторной модели Шарп предложил упро­щенный метод выбора оптимального портфеля, который за счет дополни­тельных предположений сводил задачу квадратичной оптимизации к линей­ной. В некоторых случаях, для небольших размерностей, эта задача могла быть решена практически «вручную». Такое упрощение создало возмож­ность применения методов портфельной оптимизации на практике.

Кризис финансовых рынков в начале семидесятых и пересмотр, в связи с этим, принципов инвестирования, развитие вычислительной техники, а также совершенствование методик оценивания показателей «альфа» и «бета» отдельных ценных бумаг и индекса доходности рынка в целом привело к по­явлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

В практике современного финансового менеджмента модель Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестируемого капитала по различным типам акти­вов: акциям, облигациям, недвижимости и т. д. Однофакторная модель Шар­па используется на втором этапе, когда капитал, инвестируемый в опреде­ленный сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкрет­ными активами, составляющими выбранный сегмент (т. е. по конкретным акциям, облигациям и т. д.).

Расширение влияния идей Марковица на финансовую теорию стало бо­лее заметным после появления в конце 50-х и начале 60-х гг. прошлого века работ Джеймса Тобина. Между подходами Марковица и Тобина есть сущест­венные различия. Основные идеи подхода Марковица лежат в русле микро­экономического анализа, поскольку он акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный, с его точки зрения, портфель на основе собственной оценки доходности и риска выбираемых ак­тивов. К тому же первоначально модель Марковица касалась в основном портфеля акций, т.е. активов, которые принято считать рискованными. В сво­ей модели Тобин предложил включить в анализ безрисковые активы, в каче­стве которых чаще всего рассматриваются государственные облигации. Под­ход Тобина является, по существу, макроэкономическим, поскольку основ­ным объектом его изучения является распределение совокупного капитала в экономике по двум его формам: наличной (денежной) и не наличной (в виде ценных бумаг).

Корректность моделей, используемых для формирования оптимальных портфелей, оценивается по тому, насколько в них находят отражение основ­ные положения доминирующей гипотезы. Большинство моделей, как прави­ло, являются корректными, однако результаты их практического использова­ния не оправдывают ожиданий инвесторов.

Основная гипотеза финансового рынка формировалась одновременно с созданием математических моделей, о правдоподобности которых имело смысл говорить только при выполнении определенных предположений. Став основой современной финансовой теории, эти модели автоматически интегрировали предположения, гарантирующие их правдоподобность, в гипотезу доминирующую сейчас, как в теории, так и в практике современного финан­сового анализа. Эту гипотезу принято называть гипотезой эффективного рынка.

Ключевой концепцией, лежащей в основе понятия эффективного рын­ка, является предположение о том, что цены мгновенно ассимилируют новую информацию и устанавливаются таким образом, что арбитражные возможно­сти исключаются.

Выделяют три формы эффективности рынка.

• Слабая форма эффективности рынка. Текущие цены отражают всю информацию, заключенную в прошлых ценах.
• Полустрогая форма эффективности рынка. Текущие цены отра­жают всю публичную информацию.
• Строгая форма эффективности рынка. Текущие цены отражают всю информацию, в том числе частную и инсайдерскую.

Традиционно под эффективным рынком понимают вторую форму эф­фективности. При этом делаются следующие предположения:

• Активы на финансовом рынке оцениваются в рамках какой-либо модели ценообразования (САРМ, АРТ).
• Цены на финансовые активы реагируют на новую информацию мгновенно и точно.
• Инвесторы одинаково интерпретируют имеющуюся у них одну и ту же информацию для прогноза доходностей активов. Поэтому ошибки в прогнозах, а следовательно, возникновение экономической прибыли или убытка, не предсказуемы на основе имеющейся на момент прогноза информации.

Кстати, отсюда также следует, что инвесторы не могут на рынке посто­янно получать экономическую прибыль.

В заключении отмечу еще один недостаток модели Марковича, кото­рый стал основной преградой на пути практического ее использования. Мо­дель строится без учета динамики рынка. Неявно предполагается, что свои

оптимальные свойства, определенные в текущий момент времени, она сохра­нит и в перспективном периоде. Это предположение полностью согласуется с гипотезой эффективного рынка, в соответствии с которой лучшим прогнозом для цены финансового актива является его текущая цена.

Реальность не подтверждает справедливость этого вывода, что не сложно продемонстрировать результатами эмпирических исследований.

Вычислительный эксперимент проводился на примере формирования портфеля из активов шести компаний: Газпром, Лукойл, Сбербанк, Ростеле­ком, Уралкалий и Норникель. В качестве исходных данных использовались котировки акций этих компаний за период с 01.12.11 по 30.11.12. Методика проведения сравнительного анализа эффективности портфелей предусматри­вает деление всей выборочной совокупности данных на две подвыборки. В первую подвыборку были включены данные за первые семь месяцев, а во вторую — за оставшиеся пять. Смысл этой методики в том, что по данным первых семи месяцев строился оптимальный портфель, а затем рассматрива­ются его характеристики на данных пяти месяцев второй подвыборки, кото­рую целесообразно называть поступреждающим периодом. Затем строился оптимальный портфель на данных второй подвыборки, которые для этого портфеля уже не интерпретируются как поступреждающие. Характеристики второго портфеля сравниваются с характеристиками первого портфеля.

Сравнение результатов, приведенных в таблице 1.1, позволяет сделать однозначный вывод: портфель оптимальный в текущий момент времени те­ряет свои оптимальные свойства в перспективном периоде. В модели Марко-вица не предусмотрены свойства, которые могли бы гарантировать ее устой­чивость при любых изменениях в структуре стоимости акций. Если в качест­ве исходных данных для построения портфеля использовать прогнозные оценки, то портфель в меньшей степени теряет свои оптимальные свойства.

Таблица 1.1 Сравнительный анализ эффективности портфелей

К середине 60-х гг. XX века заканчивается первый этап развития со­временной теории инвестиций в том виде, который придали ей Марковиц и Тобин. С 1964 г. появляются три работы, открывшие следующий этап в инве­стиционной теории, связанный с так называемой моделью оценки капиталь­ных активов, или САРМ (Capital Asset Price Model). Работы Шарпа, Линтне-ра, Моссина были посвящены, по существу, одному и тому же вопросу: что все инвесторы, обладая одной и той же информацией, одинаково оценивают доходность и риск отдельных акций. Предположения лежащие в основе ги­потезы эффективного рынка остаются по сути теми же самыми. Допускается только то, что все инвесторы формируют свои оптимальные в смысле теории Марковича портфели акций исходя из индивидуальной склонности к риску. Интерес представляет вопрос о том, как в этом случае сложатся цены на рынке акций? Таким образом, на САРМ можно смотреть как на макроэконо­мическое обобщение теории Марковица. Основным результатом САРМ яви­лось установление соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка. При этом важным оказывается тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не весь риск, связанный с активом (риск по Марковицу), а только часть его, называемую системати­ческим, или недиверсифицируемым риском.

Эта часть риска актива тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представляется коэффициентом β (бета), введенным Шарпом в его однофакторной модели. Остальная часть (так называемый несистемати­ческий, или диверсифицируемый риск) устраняется выбором соответствую­щего (оптимального) портфеля. Характер связи между доходностью и риском имеет вид линейной зависимости, и тем самым обычное практическое прави­ло «большая доходность значит большой риск» получает точное аналитиче­ское представление. Свойства САРМ позволяет при известных значениях {β_i} все акции разделить на четыре группы:

1. β_i = 1. Если выполняется это равенство, то ожидаемая доходность акции находится на уровне средней рыночной доходности.
2. 0 < β_i < 1. В этом случае акции обладают меньшим риском, но при этом получаются менее доходными. Акции, принадлежащие к подобной группе, называются оборонительными.
3. β_i > 1. То есть по акциям ожидается доходность выше средней, но этому сопутствует больший риск. Акции, принадлежащие к этой группе, на­зываются агрессивными.
4. β_i = 0. В этом случае мы имеем дело с безрисковым активом.
   Данный сравнительный анализ популярен в среде инвестиционных аналитиков и используется при осуществлении активных стратегий инвести­ционного менеджмента.

Все последующее десятилетие до 1976 г. развитие финансовой теории шло под доминирующим влиянием САРМ. В 1977 г. эта теория подверглась жесткой критике в работах Р. Ролла. На интуитивном уровне эта критика со­стоит в том, что рыночный портфель включает в себя фиксированный набор рисковых активов, тогда как набор акций, включаемых в биржевой индекс, меняется с течением времени. К тому же, в отличие от рыночного портфеля, весовые коэффициенты в биржевом индексе могут иметь ограничения сверху, а сами индексы могут включать дивиденды. Есть и формальное доказа­тельство точки зрения Ролла. Оно основано на проверке гипотезы H₀: α = 0. Мнение Ролла, основанное на приведенных рассуждениях, состоит в том, что САРМ следует отвергнуть, поскольку она в принципе не допускает эмпири­ческой проверки. Вопрос о принципиальной верифицируемости САРМ вы­зывает горячие споры и по сей день.

Примерно в это же время С. Россом была предложена альтернативная модель оценки капитальных активов АРТ (Arbitrage Pricing Theory — арбит­ражная теория оценивания) получившая название «арбитражной модели». Эта модель строится на основе принципа, состоящего в том, что соотношение между ожидаемой доходностью и риском должно быть таким, чтобы ни один индивидуальный инвестор не мог получить неограниченный доход от чисто арбитражной сделки. Этот принцип невозможности арбитража можно сфор­мулировать в «физических терминах» как невозможность создать «финансо­вый вечный двигатель», т.е. машину без всякого риска, неограниченно долго «вытягивающей» деньги с рынка. Адепты арбитражной теории, в частности, Росс и Ролл утверждают, что эта теория допускает, по крайней мере, эмпири­ческую проверку. Были предложены конкретные модели .

Модель Чена — Ролла — Росса. В этой модели использовались следую­щие факторы, характеризующие доходность финансовых активов:

• разница в долгосрочной и краткосрочной ставках процента, ис­пользуемая для идентификации делового цикла в экономике;
• разница в ставках процента для облигаций с высоким и низким рей­тингами, используемые для отражения совокупного уровня риска в экономи­ке;
• изменения в промышленном производстве;
• изменения уровня инфляции.

Модель Фамы — Френча. С помощью этой модели рассчитываются до­ходности как рисковых (акции), так и безрисковых активов (облигаций). В модель были включены следующие факторы:

• разница в доходности портфелей акций крупных и мелких компа­ний;
• разница в доходности портфелей акций с высоким и низким значе­ниями показателя, представляющего отношение бухгалтерской стоимости акций к рыночной стоимости тех же самых акций;
• разница в месячной доходности портфелей долгосрочных государ­ственных облигаций и месячных казначейских обязательств;
• разница в месячной доходности портфелей долгосрочных корпора­тивных и государственных облигаций.

Недостатков у этих моделей много и они очевидны. Прежде всего, это неоднозначность, как в идентификации самих факторов, так и в определении их количества. Кроме того модели не обладают достаточной универсально­стью. Выводы, сделанные с их помощью относительно одной группы акти­вов, могут оказаться неверными для другой. Поэтому модели АРТ так и не стали инструментом практических расчетов.

САРМ остается, пожалуй, самой значительной и влиятельной совре­менной финансовой теорией. Практические руководства по финансовому ме­неджменту в части выбора стратегии долгосрочного инвестирования и по сей день основываются исключительно на САРМ. В целом к настоящему време­ни инвестиционная теория, синтезирующая портфельную теорию Марковича — Тобина и САРМ, получает широкое применение. В 1981 г. получает Нобе­левскую премию Дж. Тобин, а в 1990 г. премия присуждается Марковичу и Шарпу совместно с Мертоном Миллером.

Несмотря на успешное использование САРМ в практике обоснования инвестиционных решений, эта модель в большей степени является позитив­ной, чем нормативной. С ее помощью удается понять механизм, обеспечи­вающий более высокую доходность акций по сравнению с безрисковыми ценными бумагами, но барьер между реальностью и неопределенностью бу­дущего так и остается не преодолимым. Гипотеза эффективного рынка гаран­тирует надежность инвестиционных стратегий, выстроенных в соответствии с САРМ. Однако, как известно, реальность рынка часто заставляет инвесто­ров корректировать эти стратегии. Никто и не отрицает, что с течением вре­мени значения бета коэффициентов изменяются. Не случайно Нью-Йоркская фондовая биржа периодически публикует бета коэффициенты специально для инвесторов.

Введенное при разработке выше рассмотренных моделей понятие «риск», предупреждая о возможных потерях, ориентировало на разработку стратегий, обеспечивающих надежную защиту от риска. Обязательным эле­ментом таких стратегий стали опционы и различные их разновидности. Можно было рисковать или покупать защиту от риска. Но сколько должна стоить такая защита?

Попытка ответить на этот вопрос связана с циклом исследований, в ос­нову которых положена гипотеза эффективного рынка. Гипотеза эффектив­ного рынка и связанная с ней модель «случайного блуждания» рыночных цен активов стимулировали применение динамических теоретико-вероятностных моделей, основанных на теории случайных процессов. В русле этих идей в 1973 г. М. Шоулсом и Ф. Блэком была предложена модель опционов, полу­чившая название модели Блэка — Шоулса. Эта модель основывалась на воз­можности осуществления безрисковой сделки с одновременным использова­нием акции и выписанным на нее опционом. Стоимость такой сделки должна совпадать со стоимость безрисковых активов на рынке, а поскольку цена ак­ции меняется со временем, то и стоимость выписанного опциона, обеспечи­вающего безрисковую сделку, также должна соответствующим образом из­меняться. Из этих предположений можно получить оценку (вероятностную) стоимости опциона.

Работы Блэка и Шоулса, а также тесно связанные с ними работы Р. Мертона сразу же получили широкое признание. Более того, схемы расчетов, приведенные в этих работах, были очень быстро использованы на практике. Следует заметить, что 70-е гг. XX века — это годы чрезвычайно быстрого, «взрывного» роста рынка опционов. Так, за три года после открытия в 1973 г.

Чикагской опционной биржи число ежедневно заключаемых на ней контрак­тов возросло более чем в 100 раз.

Модель Блэка — Шоулса до сих пор остается одной из наиболее часто используемых, хотя со временем появились более сложные модели, как оп­ционов, так и других производных ценных бумаг. Не смотря на то, что пер­вые работы Блэка — Шоулса и Мертона были посвящены оценке стоимости опционов, они оказали чрезвычайно большое влияние и на другие разделы финансовой математики.

В целом, 70-е гг. прошлого столетия, характеризуются стремительным расширением и углублением математических средств финансового анализа. Но пик математизации финансового анализа был достигнут в 80-90-х гг., ко­гда в исследованиях стали применять весьма тонкие и сложные средства со­временной теории случайных процессов и оптимального управления. Даль­нейшее развитие инвестиционной теории шло по пути совершенствования разработанных классических моделей оптимального портфеля.

История развития инвестиционной теории по понятным причинам ка­сается лишь работ, сделанных на Западе, прежде всего в США. Однако инте­рес к современной теории инвестиций и теории финансов постоянно растет и в нашей стране. Появляются работы как общего характера, посвященные рынку ценных бумаг, описанию различных финансовых и инвестиционных сделок, так и специального характера, например, по фьючерсам и опционам. Появились и работы по применению математических методов в финансовом деле.

Все результаты, полученные в инвестиционной теории, основаны на подходе, сформулированном в работах Марковица, сущность этого подхода заключается в том, что портфель ценных бумаг формируется на основе соот­ношения риск — доходность или тех или иных комбинаций риска и доходно­сти. Примером этого может служить работа И. Волошина «Var -подход к по­иску оптимального портфеля активов», где изложен подход к формированию портфеля ценных бумаг, исключающий необходимость построения множества эффективных портфелей и кривых безразличия. В качестве критерия оп­тимизация портфеля он использует линейную свертку ожидаемой доходно­сти и риска, измеряемого средним квадратическим отклонением доходности ценной бумаги.

Достаточно подробно вопросы адаптации результатов классических теорий портфельного инвестирования к российскому фондовому рынку из­ложены в работе профессора Б. Рязанова «Теории портфельного инвестиро­вания и их применение в условиях российского рынка».

Процесс создания современной теории инвестиций еще далеко не за­кончен, продолжаются активное обсуждение и споры по поводу ее основных принципов и результатов. Очевидно одно, модель Марковича обладает ог­ромным потенциалом по формированию инвестиционных стратегий с раз­личной целевой установкой. Можно получить стратегии, удовлетворяющие острожных инвесторов, а можно получить стратегии для дерзких инвесторов. Модель может использоваться и для формирования самофинансируемой стратегии, используемой при оценке стоимости опциона. Новаторские идеи, заложенные Марковицем, продолжают способствовать развитию современ­ной финансовой теории.

Глава 1.2. «Математические модели портфельных решений»

Для формального изложения теории портфельного инвестирования вводятся следующие обозначения: А = {А₁,А₂, …, А _n} — есть множество акти­вов (акций, облигаций, валютных единиц, всевозможных комбинаций акти­вов), обращающихся на финансовом рынке; рыночную стоимость актива А_i в момент времени t будет обозначать S_it; а величину денежного потока (диви­денды, купонные выплаты и т.п.), связанного с активом А_i— в тот же самый момент времени — D_it.

Доходность представляет собой ту характеристику, которая больше всего интересует инвесторов на финансовом рынке. Она является случайной величиной. Поэтому для строгого математического описания ее поведения вводится вероятностное пространство (Ω,F,Р), где Ω, — множество элементар­ных исходов на финансовом рынке, F — множество событий, Р — вероятности на множестве событий. На формальном уровне все активы A_i финансового рынка в каждый момент времени описываются случайной величиной r_it как функцией от ω ∈ Ω, т.е. r_it = r_i(ω).

В качестве данных для решения оптимизационной задачи нельзя ис­пользовать случайные величины. Поэтому обычно переходят к усредненным величинам: математическому ожиданию, дисперсии, ковариации.

 

Любой портфель из достижимого множества характеризуется в соот­ветствии с подходом Марковица двумя показателями — математическим ожи­данием и дисперсией.

 

Инвесторы стремятся сформировать портфели, обеспечивающие им высокую доходность с достаточно низким уровнем риска. Одновременно по­лучить портфель, который обеспечивал бы достижение максимальной доход­ности и минимального риска невозможно. Поэтому задачи формирования портфеля, как правило, предусматривают оптимизацию одного из показате­лей при фиксированном уровне второго. Либо строится целевая функция, реализующая свертку этих критериев и тем самым сводящая многокритери­альную (в данном случае двухкритериальную) задачу к однокритериальной.

Глава 2.1. Модели прогнозирования финансовых временных рядов в условиях гипотезы эффективного рынка.

Вопрос прогнозирования финансового рынка в условиях, когда выпол­няются предпосылки гипотезы эффективного рынка, и прост, и одновремен­но сложен. Если все предположения гипотезы выполняются, то это значит, что текущая цена установилась на таком уровне, в котором учтена вся дос­тупная к этому моменту информация и изменение возможно только в случае появления новой информации.

Описание этой ситуации на формальном уровне выглядит следующим образом. Биржевые торги рассматривают как случайный эксперимент с эле­ментарными исходами ω_i в виде последовательности ω = (ω₁, …,ω_T). Это позволяет рассматривать в качестве математической модели торгов, растяну­тых до момента Т, вероятностное пространство (Ω, F_T, Р), где Ω, — множество элементарных событий, F_T — информационный поток, который историей рынка фиксируется в виде последовательности элементарных событий, Р —вероятностная мера. Если F₀ ⊆ F₁ ⊆ … ⊆ F_t поток доступной всем участни­кам финансового рынка информации, то цена финансового актива удовле­творяет следующему мартингальному соотношению

Это соотношение следует понимать как ситуацию, которая создается информационными возможностями на момент проведения прогнозных рас­четов. Лучшим прогнозом цены на «завтра» является цена текущего момента. Пока нет информации о будущем, нет представления и о цене, которая будет иметь место в этом будущем. Причем даже полное представление о будущем не позволяет определить цену, которая будет иметь место в этом будущем. Необходимо, чтобы это будущее наступило и рыночные механизмы, ассими­лировав информацию, изменили цены предыдущего момента времени. Дру­гими словами, нужно знать не только информацию об ожидаемом будущем,

но и механизм, с помощью которого эта информация трансформируется в ре­альные цены.

Кроме того, если сегодняшняя информация о будущем становится дос­тоянием всех участников рынка, то в соответствии с предположениями гипо­тезы эффективного рынка в ценах произойдут изменения не завтра, а сего­дня.

В силу отмеченных обстоятельств мартингал оказался удобным инст­рументом для определения прогнозных значений. Его специфические свой­ства полностью находятся в соответствии с предположениями гипотезы эф­фективного рынка. В то же время эти специфические свойства являются тем фундаментом, на основе которого выстраивались предположения эффектив­ного рынка, так как сама гипотеза формировалась одновременно с развитием аппарата моделирования финансовых рынков.

Мартингалы оказались удобным инструментом теоретических исследо­ваний. Они используются при выводе формулы Блэка — Шоулса и в модели биномиального рынка Кокса — Росса — Рубинштейна (CRR-модели). Но задача реального прогнозирования с помощью мартингалов не решается. В связи с этим возникает вопрос соответствия гипотезы реальностям рынка. Справед­ливость предположений гипотезы эффективного рынка проверяется путем тестирования. Традиционно подобная проверка сводится к тестированию то­го, следуют ли цены финансовых активов случайному блужданию. Для этого используются линейные модели временных рядов, рассмотрение которых будет осуществлено ниже. В последнее время для этих целей стал широко использоваться R/S -анализ. Как правило, выводы, получаемые с помощью этих двух подходов, получаются согласованными, и поэтому я буду исполь­зовать первый из них. Если гипотеза не подтверждается, то исследуются причины, лежащие в основе невыполнения предположений гипотезы.

Чаще всего такой причиной является наличие значимой автокорреля­ции в динамических рядах цен на активы. Это является признаком наличия ситуации, когда цены на финансовые активы частично прогнозируемы. Как

правило, в краткосрочном периоде, наблюдаемая автокорреляция положи­тельная, а в долгосрочном — отрицательная. Предсказуемость цен на финан­совом рынке противоречит гипотезе эффективного рынка, но позволяет с на­деждой браться за решение задачи по формированию портфеля с условно ожидаемой доходностью.

Эмпирические исследования динамики финансовых рынков показыва­ют, что автокорреляция может иметь место в рядах, характеризующих цены финансовых активов, и отсутствует в рядах, характеризующих доходности этих же активов. Таблица 2.1. наглядно демонстрирует ситуацию, в соответ­ствии с которой в динамических рядах цен наблюдается высокая автокорре­ляция, а в динамических рядах доходностей автокорреляция отсутствует.

Таблица 2.1 Автокорреляции цен и доходностей акций

При построении портфелей ценных бумаг используются доходности и, естественно, реализация разрабатываемого подхода, ориентируемого на ис­пользование прогнозных оценок, требует, чтобы по всем акциям, включае­мым в портфель, имелись упреждающие оценки доходности. К сожалению, как показали результаты эмпирических исследований, ряды из доходностей акций представляют собой результат случайных блужданий и, следователь­но, не пригодны для построения прогнозных моделей. В то же время, дина­мические ряды из цен вполне прогнозируемы и может сложиться точка зре­ния, в соответствии с которой прогнозную доходность следует получать из соответствующих прогнозных оценок цены. В принципе такой вариант про­гнозных расчетов доходности вполне реализуем. Однако точность оконча-

тельного результата оказывается заниженной как минимум в два раза по сравнению с точностью, используемой для этих целей модели. Поэтому практическая ценность данного варианта близка к нулю.

Для построения портфеля ценных бумаг, структура которого ориенти­рована на ожидаемую доходность в упреждающем инвестиционном периоде, информация по ежедневным доходностям не требуется. В модели формиро­вания оптимального портфеля используются числовые характеристики слу­чайных величин, а не сами случайные величины. Поэтому имеет смысл про­гнозировать средние характеристики того периода, в котором инвестор наде­ется получить доход от средств, вложенных в портфель, используя для этого данные исторического периода.

Вопрос предварительного преобразования данных и переход к времен­ным рядам, уровни которых являются усредненными характеристиками ис­ходных временных рядов, решен однозначно в пользу усреднения. Но его решение ставит еще ряд вопросов, на которые нет однозначных ответов. Смысл первого вопроса в том, чтобы выяснить, какое количество наблюде­ний рационально использовать для получения каждого усредненного значе­ния. Теоретически обоснованных рекомендаций по этому поводу нет. Скорее всего, в каждом конкретном случае должны проводиться специальные эмпи­рические исследования. Понятно, что рост числа слагаемых приводит к уве­личению автокорреляции, но есть и предел значимого увеличения.

Второй вопрос касается способа усреднения. Например, процедуру ус­реднения можно построить следующим образом: первое усредненное значе­ние получить как среднее первых десяти наблюдений, второе — вторых десяти наблюдений и т.д.

Другой способ усреднения основан на использовании принципа сколь­зящего усреднения, предусматривающего выбывание из множества усред-няемых величин самого раннего наблюдения и включение наблюдения сле­дующего за последним элементом этого множества, т.е.

Второй подход предпочтительней первого, так как целенаправленно формирует временной ряд, обладающий памятью и, следовательно, заведомо прогнозируемый. Результаты эмпирических исследований, приведенные в таблице 2.2., подтверждают эту точку зрения.няемых величин самого раннего наблюдения и включение наблюдения сле­дующего за последним элементом этого множества, т.е.

Таблица 2.2

Сравнение коэффициентов автокорреляции средних и скользящих средних

В отличие от временных рядов из средних значений, имеющих низкую автокорреляцию, по всем временным рядам из скользящих средних наблюда­ется высокий уровень автокорреляции. Природа этой автокорреляции понят­на. Временной ряд из скользящих средних значений сформирован таким об­разом, и это отмечалось выше, что в нем индуцируется память. Причем глу­бина памяти и уровень автокоррелированности явно взаимосвязанные харак­теристики. Это хорошо иллюстрируется расчетами, результаты которых при­ведены в таблице 2.3.

Если за глубину памяти принять размер окна скольжения без единицы (первая строка), то значения каждой строки данной таблицы можно интер­претировать как автокорреляционные коэффициенты, которые наблюдаются во временных рядах, обладающих соответствующей глубиной памяти. Инте­ресно отметить, что коэффициенты автокорреляции всех ценных бумаг соответствующие одной и той же глубине памяти мало отличаются друг от друга. Это свойство играет важную роль в реализации идеи построения портфелей на основе прогнозных оценок, так как, по сути, обеспечивает возможность получения прогнозных оценок одинаковой надежности.

Таблица 2.3 Зависимость уровня автокоррелированности от глубины памяти

Проблема равной надежности данных по всем котировкам акций, включаемых в портфель, обычно не рассматривается, так как все средние, на основе которых строится портфель, обладают одним и тем же уровнем на­дежности. В рассматриваемом подходе портфель строится с использованием условно средних величин, надежность которых находится в прямой зависи­мости от адекватности эконометрической модели. Поэтому желательно, что­бы прогнозные оценки по всем акциям были равнонадежными. Использова­ние временных рядов из скользящих средних обеспечивает получение равно-надежных прогнозных оценок. Этот факт подтверждается результатами эм­пирических исследований.Второй вопрос, который хотелось бы рассмотреть подробнее, связан с существованием взаимосвязи между уровнем автокорреляции и глубиной памяти. Из данных, приведенных в таблице 2.З., без сомнения следует, что увеличение глубины памяти вызывает в среднем рост коэффициентов авто­регрессии. Закономерность данного роста имеет ярко выраженную тенден­цию затухания. Это хорошо видно на рисунке 2.1. Анализ этого графика по­зволяет сделать вывод, что бесконечное наращивание памяти нецелесообраз­но, поскольку то увеличение коэффициента автокорреляции, которое получается в результате очередного наращения памяти, становится статически незначимым.

Рисунок 2.1. Зависимость уровня автокорреляции от глубины памяти

По данным таблицы 2.3. с помощью метода наименьших квадратов можно идентифицировать закономерность между значениями коэффициен­тов автокорреляции и глубиной памяти в виде степенной зависимости.

р=0,5242т^0,2619

Где р — значение коэффициента автокорреляции; т — глубина памяти.

Построенная на основе эмпирических данных зависимость показывает, что прирост памяти на 1% увеличивает в среднем прирост значения коэффи­циента автокорреляции на 0,26%. Из этого можно сделать вывод, что рост коэффициента автокорреляции происходит гораздо медленнее, чем увеличи­вается память. Следовательно, высокий уровень автокорреляции можно обеспечить достаточно большой глубиной памяти. Вопрос о пределах этой глубины решается, как правило, по результатам эмпирических исследований. Строгих рекомендаций по поводу выбора размеров «окна» скользящего ус­реднения нет. Если эти размеры неограниченно увеличивать, то значение скользящего среднего будет приближаться к значению текущего среднего. В принципе прогноз текущего среднего тоже может использоваться при реали­зации рассматриваемого подхода, но его динамика более консервативна, чем динамика скользящего среднего. Поэтому вопрос определения размера «ок­на» скользящего усреднения имеет смысл связывать с инвестиционным гори­зонтом формируемого портфеля.

Далее рассмотрены модели, которые целесообразно применять для формирования портфеля с условно ожидаемой доходностью. Чаще всего для прогнозирования динамики эффективного рынка используются авторегрес­сионные модели

где  у_t — значение скользящего среднего в момент времени t;

а₀, а_i — оцениваемые коэффициенты авторегрессионной модели;

р — порядок авторегрессионной модели;

      ε_t — ненаблюдаемая случайная величина в момент времени t.

Одна из проблем, которую приходится решать при построении авто­регрессионной модели, связана с определением ее порядка. Решается эта проблема стандартным образом по значению частной автокорреляционной функции. В практических расчетах для этих целей используют последний ав­торегрессионный коэффициент модели. Если в модели (р +1) — го порядка по­следний коэффициент незначим, то модель имеет порядок р.

Вопрос о порядке авторегрессионной модели, построение которой осуществляется на основе данных, представляющих собой временные ряды скользящих средних, не актуален. Структура памяти этих временных рядов такова, что при построении моделей выше первого порядка проявляется эф­фект мультиколлинеарности. Все это не трудно проиллюстрировать на при­мере любой из ценных бумаг (таблица 2.4)

Таблица 2.4 Характеристика авторегрессионных моделей для акций Газпрома

Приведенные в таблице 2.4. результаты вычислительного эксперимента подтверждают точку зрения о том, что построению «хороших» моделей, по­рядок которых выше 1-го, мешает эффект мультиколлинеарности. Примене­ние специальных процедур для устранения этого эффекта следует признать в данной ситуации нецелесообразным. Например, ридж-оценивание позволит убрать искажения, явно присутствующие в стандартных ошибках авторегрес­сионных коэффициентов, но одновременно внесет искажения в оценки самих коэффициентов.

Таким образом, в ситуациях, когда есть основание считать гипотезу эф­фективного рынка справедливой, для прогнозирования усредненных харак­теристик, используемых при построении портфеля ценных бумаг, целесооб­разно использовать авторегрессионные модели 1-го порядка.

 

---

Страница:   1   2

---