Математические модели доходности акций. Часть 2.

---

Страница:   1   2

---

Глава 2.2. Адаптивные модели прогнозирования финансовых временных рядов в условиях гипотезы фрактального рынка

Подход к прогнозированию динамики финансовых временных рядов, основанный на формировании производных временных рядов усредненной доходности, рассмотренный выше, является только одним из возможных ва­риантов практического решения задач по идентификации упреждающих со­стояний рынка. При его обосновании предполагается, что динамика активов корреспондируется с основными предположениями гипотезы эффективного рынка. Реальность не всегда укладывается в рамки этой гипотезы. Исследования различного рода отклонений и фактов, не вписывающихся в эффектив­ный рынок, постепенно формировали предположения отличные от предпо­ложений данной гипотезы. Важным итогом всех этих исследований стала ги­потеза фрактального рынка, которая признается альтернативой гипотезе эф­фективного рынка. Основой этой гипотезы являются следующие предполо­жения:

• участники рынка неоднозначно интерпретируют поступающую ин­формацию в зависимости от присущего каждому участнику инвестиционно­го горизонта; реакция инвесторов на поступающую информацию может быть не мгновенной, а осуществляться лишь после ее подкрепления;
• цены в каждый момент времени отображают взаимодействие «краткосрочных» и «долгосрочных» инвесторов; высокочастотная состав­ляющая в ценах определяется действиями инвесторов с краткосрочным временным горизонтом, низкочастотная, сглаживающая составляющая отражает активность долгосрочных инвесторов;
• финансовый рынок начинает терять ликвидность и устойчивость, когда на нем исчезают инвесторы с разными инвестиционными горизонтами, т.е. теряется его фрактальность.

Кроме того, фрактальный рынок допускает наличие арбитражных воз­можностей.

Естественно, прогнозирование в рамках фрактальной гипотезы имеет свою специфику, которая должна быть отражена в моделях. Причем, несмот­ря на то, что решение прогнозной задачи в данном случае является вспомо­гательным этапом, формирующим необходимый набор данных для построе­ния соответствующих портфелей, специфика должна быть отражена именно в прогнозных моделях.

Когда говорят, что рынок фрактальный, то очень часто в скобках стоит пояснение «дробный». Понять смысл этого пояснения очень трудно. В тео­рии данный термин используется при определении размерности фракталов. Если графики доходностей понимать как самоповторяющиеся фигуры, которые обладают свойствами фракталов и, следовательно, имеют дробную раз­мерность, то применение этого термина к рынку становится понятным, но мало полезным с позиций построения моделей для предсказания ожидаемой доходности в упреждающие моменты времени.

Есть и другое пояснение, ориентирующее на понимание фрактального рынка, как рынка неоднородного. Такая интерпретация в большей степени согласуется с основными постулатами гипотезы фрактального рынка и, кро­ме того, позволяет при моделировании динамики рынка использовать те подходы, которые в рамках эконометрики применяются, когда в данных об­наруживаются эффекты гетероскедостичности.

Общепризнанный подход, который используется при построении эко-нометрических моделей в случае, когда обнаруживаются эффекты гетеро­скедостичности, основан на взвешивании данных. Идея взвешивания наблю­дений является одним из перспективных направлений в задачах моделирова­ния динамики фрактального рынка. Логика рассуждений, лежащая в обосно­вании этого направления, несколько иная, чем при обосновании процедуры взвешенного метода наименьших квадратов. Далее подробно рассмотрена данная логика.

В первом предположении гипотезы фрактального рынка утверждается, что участники рынка неоднозначно интерпретируют поступающую инфор­мацию, причем неоднозначность эта зависит от инвестиционного горизонта присущего каждому участнику. Из этого предположения можно сделать вы­вод, в соответствии с которым участник с долгосрочным горизонтом инве­стирования ориентируется на все наблюдения, известные к настоящему мо­менту времени, считая текущие и недавно имевшие место колебания доход­ности практически не имеющими отношения к его ожиданиям. Другими сло­вами тенденция, которой в своих ожиданиях придерживается участник с та­ким инвестиционным горизонтом, формируется под влиянием всех наблюде­ний, которые предполагается использовать при построении прогнозной мо­дели.

В свою очередь, участник со среднесрочным горизонтом инвестирова­ния ориентируется только на ту информацию, которая может оказывать влияние на его ожидания. Эта информация содержится в том наборе данных, в которых рынок реализовывался на протяжении промежутка времени, срав­нимого с горизонтом инвестирования. Фактически это означает, что в моде­ли должен быть предусмотрен механизм корректировки долгосрочной тен­денции в соответствии с последними событиями на рынке, информация о ко­торых содержится в некоторой группе последних наблюдений. Технически это можно реализовать с помощью механизма взвешивания наблюдений вы­борочной совокупности устроенного таким образом, что группа последних наблюдений имеет самые высокие весовые коэффициенты.

Наконец инвесторы с краткосрочным горизонтом инвестирования ори­ентируются на информацию, содержащеюся в последнем (двух, трех послед­них) наблюдении, так как именно эта информация имеет существенное зна­чение для его ожиданий. Тот же самый механизм взвешивания должен таким образом подкорректировать среднесрочную тенденцию, чтобы результат этой корректировки отражал последнее направление, в котором развивается динамика рынка.

Между рассмотренной схемой применения процедуры взвешивания и взвешенным методом наименьших квадратов есть принципиальное различие. Взвешивание в методе наименьших квадратов осуществляется с целью дос­тижения однородности в данных, используемых для построения регрессион­ной модели. В рассматриваемом мною случае решается как бы обратная за­дача, смысл которой в том, чтобы с помощью неравномерного взвешивания воспроизвести неоднородность фрактального рынка.

В связи с обратной задачей возникает ряд вопросов, первый и, пожалуй, самый важный из которых состоит в том, чтобы понять какой должна быть модель, обеспечивающая проведение подобного рода расчетов. Если, напри­мер, ориентироваться только на неоднородность, то для этих целей можно использовать имитационную модель с несколькими датчиками случайных чисел, каждый из которых имеет свой закон распределения. Если же за осно­ву взять содержательный смысл этой задачи, то воспроизведение неоднород­ности должно одновременно обеспечивать инвесторов с разными горизонта­ми инвестирования достаточно надежными упреждающими оценками. Сле­довательно, имитационное решение, обеспечивающее получение результа­тов моделирования обладающих неоднородностью неприемлемо.

Для решения данной задачи предлагается использовать аппарат адап­тивного моделирования. Попытки использования адаптивных моделей для прогнозирования финансовых временных рядов предпринимались давно и имели определенный успех. До сих пор существует точка зрения, согласно которой точность адаптивных прогнозов в среднем на пять-шесть процентов выше точности экстраполяционных методов.

Рассматриваемые в настоящей работе адаптивные модели обладают спецификой, позволяющей их использование для разработки прогнозов, ко­гда динамика формируется в условиях гипотезы фрактального рынка. Осно­вой специфики этих моделей является локально действующий адаптивный механизм. Смысл локального действия в том, что модель основной тенден­ции, скорректированная адаптивным механизмом, используется в прогноз­ных расчетах однократно в текущий момент времени. В следующий момент времени данная корректировка отменяется, и адаптивный механизм начина­ет действовать с «чистого листа». С его помощью улавливается новый эф­фект в динамике рынка и в соответствии с этим эффектом модель основной тенденции вновь корректируется после чего осуществляется очередной про­гнозный расчет. Подобного рода модели называются прогнозными моделями с локально действующим адаптивным механизмом.

Аппарат, с помощью которого удается реализовать, рассмотренный вы­ше механизм локально действующей адаптации, воспроизводящей неодно­родность в случае, когда на рынке присутствуют инвесторы с долгосрочны­ми и краткосрочными инвестиционными горизонтами, представляет собой одношаговые адаптивные модели. Если рассматривается ситуация, когда на рынке присутствуют инвесторы всех трех категорий с долгосрочным, сред­несрочным и краткосрочным горизонтами инвестирования, то одношаговую адаптивную модель нужно комбинировать с многошаговой. Адаптивный ме­ханизм многошаговой модели устроен таким образом, что позволяет обраба­тывать информацию одновременно по нескольким наблюдениям, обеспечи­вая тем самым формирование прогнозной оценки, ориентированной на сред­несрочный период упреждения.

Принципиальная схема расчетов по одношаговой модели с локально действующим адаптивным механизмом приведена на рисунке 2.1. Особен­ность этой схемы в том, что в адаптивном механизме прогнозной модели ис­пользуется два контура обратной связи. По первому контуру передается ошибка прогнозной оценки, пропорционально которой корректируются ко­эффициенты долгосрочной модели. По второму контуру передается ошибка аппроксимации долгосрочной модели, которая имеет место после ее коррек­тировки. На основе этой ошибки адаптивный механизм трансформирует те­кущие коэффициенты долгосрочной модели в коэффициенты краткосрочной и рассчитывается значение оценки краткосрочного прогноза. В следующий момент времени весь комплекс расчетов начинается с текущих коэффициен­тов долгосрочной модели, поэтому они и сохраняются до следующего мо­мента времени.

Процедура оценивания текущих коэффициентов данной модели может быть реализована несколькими способами. В работе использован рекуррент­ный метод наименьших квадратов. В связи с этим хотелось бы отметить, что рекуррентная процедура метода наименьших квадратов почти не использу­ется при построении эконометрических моделей. Однако в ситуациях, когда временные ряды имеют длинную историю и в процессе построения эконо-метрической модели предусматривается ее периодическая корректировка, связанная с обновлением данных, рекуррентные процедуры гораздо эффек­тивней обычного метода наименьших квадратов, в том смысле, что их при­менение экономит и время, и память.

Рисунок 2.1. Принципиальная схема расчетов по одношаговой модели с локально действующим адаптивным механизмом

Важно отметить, что модель с локально действующим адаптивным ме­ханизмом обеспечивает параллельное проведение расчетов по оценке разви­тия долгосрочной тенденции и краткосрочных отклонений от нее. По сути, схемой этих расчетов предусматривается получение результатов целенаправ­ленно демонстрирующих некую согласованность краткосрочного прогноза с долгосрочным. Безусловно, реальность не всегда подтверждает это положе­ние, однако его статистическая надежность достаточно высокая. Кроме того, в данном случае интересен прогноз не самой доходности, а ее сглаженных значений. Понятно, что в сглаженном временном ряде наблюдения, резко отличающиеся от общей тенденции, практически отсутствуют.

Формально одношаговая модель с локально действующим адаптивным механизмом записывается следующим образом:

При записи модели использованы следующие обозначения:

y _t+1 — усредненное значение стоимости финансового актива в упреж­дающий момент времени t +1;
При записи модели использованы следующие обозначения:

y _t = (1, y _t) — вектор-строка, вторая компонента которой представляет собой текущее (в момент времени t) значение усредненной доходности;

 — долгосрочная прогнозная оценка, рассчитанная по модели с коэффициентами, оценки которых известны на момент t,

 — расчетное значение по долгосрочной модели с коэффициен­тами, оценки которых известны на момент t+1;

— прогнозная оценка, рассчитанная по долгосрочной модели с коэффициентами, значения которых известны на момент t+1;

— прогнозная оценка, рассчитанная по краткосрочной модели с коэффициентами, значения которых известны на момент t+1;

a — параметр адаптации краткосрочной модели (0 < а <1);

 — вектор текущих оценок долгосрочной модели;

— вектор текущих оценок краткосрочной модели;

— матрица, обратная к матрице системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов, оцененная по t наблюдениям.

Пояснения модели удобно провести, условно разделив ее на три блока. В первом блоке реализуются расчеты, связанные с идентификацией долго-

срочной тенденции, во втором — с идентификацией краткосрочной тенденции и, наконец, в третьем генерируются прогнозные оценки. Первый блок вклю­чает расчетные формулы (2.5) — (2.7), которые являются формулами вычисли­тельной схемы рекуррентного метода наименьших квадратов. Для проведе­ния расчетов по этой схеме необходимы начальные значения, расчет которых осуществляется с помощью обычного МНК. В качестве исходных данных для этой цели используется значения из отрезка, расположенного в начале временного ряда.

Текущие значения коэффициентов долгосрочной модели оцениваются с помощью рекуррентного МНК. Это позволяет получить модель эквивалент­ную модели, которая была бы получена по методу наименьших квадратов, примененному к тому же самому набору данных. В некотором смысле теку­щий регрессионный анализ на основе рекуррентного МНК можно считать адаптивным, так как расчет текущих коэффициентов осуществляется с ис­пользованием контура обратной связи, правда, без механизма забывания. От­сутствие механизма забывания приводит к ситуации, когда все наблюдения считаются равноправными, но на каждом шаге это равноправие перераспре­деляется с учетом вновь поступившего наблюдения. Модель, построение ко­торой основано на равнозначных данных всей выборочной совокупности, способна обеспечить упреждающей информацией инвесторов с долгосроч­ным периодом инвестирования.

Второй блок (2.8) — (2.9) представляет собой локально действующую адаптивную процедуру оценки текущих значений коэффициентов кратко­срочной модели. Начальными значениями на каждом шаге для этой процеду­ры являются текущие значения коэффициентов долгосрочной модели , и обратной матрицы. Локально действующий адаптивный механизм с по­мощью параметра а настраивает краткосрочную модель только для прогноза на один шаг. Не следует понимать это обстоятельство как ограниченность модели из-за специфики адаптивного механизма. Это условие необходимо для задач портфельного инвестирования, решение которых будет рас­смотрено в следующей главе.

Третий блок (2.10) — (2.11) предназначен для прогнозных расчетов в со­ответствии с долгосрочной и краткосрочной тенденциями.

Модель (2.5 — 2.11) построена на основе авторегрессионного уравнения первого порядка. Это естественно не позволяет раскрыть все возможности адаптивного подхода, но необходимость использования в данном случае ав­торегрессии первого порядка была обоснована в предыдущем параграфе.

В соответствии с логикой построения прогнозной модели с локально действующим адаптивным механизмом краткосрочный прогноз должен быть в среднем более точным, чем долгосрочный. Эта логика подтверждается ре­зультатами эмпирических исследований, которые будут приведены ниже.

Если следовать этой логике, то может сложиться точка зрения, в соот­ветствии с которой среднесрочный прогноз должен занимать промежуточное положение. По точности предсказания это действительно так, но величину оценки среднесрочного прогноза нельзя представить линейной комбинацией оценок краткосрочного и долгосрочного прогнозов.

Вопрос среднесрочных прогнозных оценок значительно сложнее. В со­ответствии с тем пониманием, которое дается в дипломной работе, средне­срочный прогноз связан с периодом упреждения неявно. Его количественная оценка рассчитывается для момента времени, следующего за текущим, точно также, как оценки краткосрочного и долгосрочного прогнозов. Специфика этого расчета в том, что для идентификации среднесрочной модели исполь­зуется информационный поток, отличный от тех, на основе которых иденти­фицируются долгосрочная и краткосрочная модели. Реализация этой специ­фики требует применения многошаговой рекуррентной процедуры. Как из­вестно, основное отличие данной схемы в том, что для адаптивной корректи­ровки используется не одно наблюдение, а несколько. Это позволяет оцени­ваемую закономерность переориентировать с помощью адаптивного механизма таким образом, чтобы в ней доминировала тенденция, которая прояв­ляется в нескольких последних наблюдениях, используемых для корректи­ровки.

Таким образом, в случае, когда модель предназначается для расчета прогнозных оценок, ориентированных на инвесторов с долгосрочными, сред­несрочными и краткосрочными горизонтами инвестирования, в ней должны быть предусмотрены два адаптивных механизма. Один обеспечивает перена­стройку долгосрочной тенденции на среднесрочную, а второй — перенастрой­ку среднесрочной тенденции на краткосрочную. Жестко определенная после­довательность их действия в рамках проводимых прогнозных расчетов позво­ляет данную модель называть прогнозной моделью с двухуровневой структу­рой многошагового локально действующего адаптивного механизма.

Фактически прогнозная модель с двухуровневой структурой локально действующего адаптивного механизма позволяет рассчитать для одного и то­го же момента времени три прогнозных оценки. Интерпретировать эти оцен­ки можно следующим образом: ожидаемая доходность инвестора с кратко­срочным горизонтом инвестирования равна краткосрочной прогнозной оцен­ке; ожидаемая доходность инвестора со среднесрочным горизонтом инвести­рования равна среднесрочной прогнозной оценке; ожидаемая доходность ин­вестора с долгосрочным горизонтом инвестирования равна долгосрочной прогнозной оценке. Значения этих оценок различны, и это естественно, так как и реальные средние ежедневные доходности инвесторов с различными горизонтами инвестирования различны.

Рисунок 2.2. Принципиальная схема расчетов по модели с двухуровневой структурой многошагового локально действующего адаптивного механизма.

Принципиальная схема прогнозных расчетов (рисунок 2.2) по этой мо­дели в отличие от предыдущей предусматривает еще один дополнительный контур обратной связи. Этот контур, являясь многоканальным, обеспечивает передачу информации об ошибках долгосрочной модели, которые имеют ме­сто, если с ее помощью предсказывать значения временного ряда, лежащих в основе формирования среднесрочной тенденции. Кроме того, для расчета ко­эффициентов краткосрочной модели используются коэффициенты не долго-срочной, а среднесрочной модели. На каждом уровне корректировки дейст­вует соответствующий уровень адаптивного механизма.

В общем виде модель с двухуровневой структурой многошагового ло­кально действующего адаптивного механизма можно записать следующим образом:

В дополнение к выше приведенным, здесь использованы следующие обозначения:Y_kt=

Y_kt=— матрица из k-строк, используемая в многошаговой адаптивной процедуре, k — количество наблюдений, обрабатываемых за один шаг многошаговой адаптивной процедурой. В некоторых ситуациях k может рассматриваться в качестве настраиваемого параметра.

—  расчетное значение среднесрочного тренда, полученное на основе информации известной на момент t+1;

— вектор оценок среднесрочной модели;

 — скорректированная обратная матрица с учетом последних k на­блюдений;

 — вектор-столбец расчетных значений многошаговой адаптивной модели среднесрочного тренда;

β —параметр адаптации среднесрочной модели (0< β ≤ 1). Параметр обеспечивает доминирование в идентифицируемой тенденции определенного количества последних наблюдений. Его значение либо настраивается по пост прогнозным расчетам, либо определяется экспертами.

В отличие от предыдущей модели в данной модели (2.13) — (2.23) пре­дусмотрен блок (2.16) — (2.18) формирования среднесрочного тренда. Кроме того, краткосрочный тренд формируется из среднесрочного (2.20), а не дол­госрочного, как в предыдущей модели. В блок прогнозных расчетов (2.21) -(2.23) включено уравнение среднесрочного тренда. Изменения могут пока­заться не очень существенными, однако потенциальные возможности модели в силу многошаговости адаптивного механизма значительно возрастают.

Эти возможности проиллюстрированы на эмпирическом материале. В качестве выборочной совокупности использовался временной ряд котировок акций компании Лукойл с 01.12.11 по 15.03.12. В соответствии с методикой прогнозирования исходный временной ряд был преобразован в ряд с памя­тью путем скользящего усреднения доходностей. Скользящие средние рас­считывались по 12 наблюдениям. Таким образом, с учетом отброшенных в результате сглаживания наблюдений модель строилась по 61 наблюдению. Результаты моделирования приведены в таблице 2.5.

Таблица 2.5. Динамика коэффициентов кратко-, средне- и долгосрочной прогнозных моделей

Окончание таблицы 2.5

Данная таблица выполняет вспомогательную роль и необходима для того, чтобы проанализировать колеблемость коэффициентов кратко-, средне-и долгосрочной моделей. По результатам этого анализа можно понять, на­сколько многоуровневый адаптивный механизм адекватно отражает из­менчивость закономерностей, лежащих в основе кратко-, средне- и долго­срочной тенденций.

Кроме того, поспрогнозные расчеты необходимы для получения откло­нений, используемых при построении оптимальных портфелей с условно ожидаемой доходностью.

Таблица 2.6 Результаты постпрогнозных расчетов усредненной доходности

Таким образом, результаты, приведенные в таблице 2.5 и обобщенные результаты (среднеквадратические значения, характеризующие колеблемость соответствующих коэффициентов), представленные в таблице 2.7, свидетельствуют о том, что адаптивный механизм адекватно реагирует на изменчи­вость закономерностей, лежащих в основе кратко-, средне- и долго- срочной тенденций.

Таблица 2.7 Сравнительный анализ точности кратко-, средне- и долгосрочных моделей

Глава 3.1. Формирование портфелей с условно средней доходностью

В данном разделе излагается подход, реализация которого имеет смысл в рамках гипотезы эффективного рынка. В подходе осуществляется замена средних доходностей их прогнозными оценками. В результате такой опера­ции изменяется оценка риска портфеля. Обычно величина риска в портфель­ных задачах определяется через ковариационную матрицу. В большинстве случаев это чрезмерно завышенная оценка. Поэтому ковариационная матри­ца в изложенном подходе рассчитывается не по отклонениям от среднего, а по отклонениям от условно среднего, которые можно получить после по­строения прогнозной модели.

В качестве базовой модели оптимального формирования портфеля ценных бумаг при построении портфеля с условно ожидаемой доходностью используется модель (1.32) — (1.33).

Пусть r_ti — доходность i-го актива в момент времени t. Доходность яв­ляется прогнозируемой величиной и ее текущее значение связано с предше­ствующим значением авторегрессионной зависимостью.

Обычно предполагается, что случайные ошибки ε_ti (t = 1,2, …,Т,i = 1,2, …,n) одинаково распределены и независимы, с нулевым средним М(ε_ti) = 0 и конечной дисперсией D(ε_ti).

Чтобы обеспечить компактность записи формул буду условное матема­тическое ожидание доходности записывать следующим образом:

в рассмотрение вводится вектор размерность которого определяется количеством ценных бумаг, включаемых в портфель, а компоненты определяются доходностью этих ценных бумаг в момент времени t. Его математическое ожидание представляет собой вектор из условных математических ожиданий соответствующих доходностей.

Сумма компонент которого равна единице.

Математическое ожидание доходности портфеля представляет собой взвешенную сумму условных математических доходностей ценных бумаг, включенных в портфель, и может быть записано следующим образом:

Важную роль в модели играют случайные остатки, представляющие собой отклонения условно средних значений от фактически наблюдаемых значений доходности.

На основе этих остатков формируется ковариационная матрица, ис­пользуемая в оптимизационной модели. Данные остатки являются компонен­тами /-го вектора.

 

Конструкция целевой функции этой задачи обеспечивает максимиза­цию разности между взвешенной величиной условно средних доходностей и вариацией этой взвешенной величины. По сути, в этой задаче оптимизирует­ся гарантированно достижимый в среднем уровень доходности портфеля. Это является результатом того, что из оптимизируемого критерия исключен риск и фактически доходность портфеля находится на нижнем условно ожи­даемом уровне.

В этой модели есть еще один аспект, который находит отражение в па­раметре т, интерпретируемом как уровень доверия инвесторов прогнозным (условно ожидаемым) оценкам, на основе которых построена модель. Если инвестор прогнозный уровень доходности воспринимает как реально наблю­даемый, то параметр модели полагается равным единице (τ = 1). В тех случа­ях, когда доверие к прогнозу не абсолютное, величина этого параметра меньше единицы, причем, чем меньше уровень доверия, тем меньше значе­ние. Формально параметр может превосходить единицу. Этот случай интер­претируется как ситуация, когда инвестор все свои ожидания связывает с прогнозными оценками.

В общем виде оптимальная структура портфеля задается соотношением представляющим собой сумму двух портфелей. Первое слагаемое — это портфель минимальной доходности. Его структура практически не зависит от прогнозных оценок и поэтому он мало чувствителен к изменению ситуации на рынке ценных бумаг. Сумма компонент вектора w_min равна единице.

Второе слагаемое представляет собой самофинансируемый портфель и, следовательно, сумма компонент вектора w_c равна нулю. Структура этого портфеля сущест­венно зависит от прогнозных оценок, поэтому все сомнения по поводу на­дежности инвестирования в портфель (3.17) должны быть отнесены к само­финансируемому портфелю (3.19).

Последний вопрос, который должен завершать методику построения портфелей с условно ожидаемой доходностью касается оценки их эффектив­ности. Несмотря на утверждение, в соответствии с которым при выполнении предположений гипотезы эффективного рынка получать длительное время доход выше рыночного невозможно, чаще всего эффективность предлагае­мых стратегий инвестирования оценивается по результатам сравнения с ры­ночным индексом. Оценка эффективности портфеля с условно ожидаемой доходностью имеет свою специфику и будет основана на другом подходе.

Идея излагаемого подхода заключается в том, что между собой сравни­ваются два портфеля, один из которых построен с учетом прогнозной ин­формации, а второй без учета прогнозных данных. Сравнение проводится в постпрогнозном режиме, в соответствии с которым построение портфелей осуществляется с использованием данных одного периода, а оценка эффек­тивности осуществляется на поступреждающем периоде, данные которого не использовались при построении портфелей.

Формальную реализацию этой идеи можно представить следующей схемой. Выбирается промежуток времени, содержащий необходимое количе­ство наблюдений. Пусть это количество равно Т. Данный промежуток делит­ся на к равных отрезков, содержащих по п наблюдений Т₁ ={1,2,…п},  Т₂= {h + 1,…,п + h},…, T_k={(к-1)h + 1,…п + (к-1)h},

где п — количество наблюдений используемых для построения портфе­лей;

h — количество наблюдений для тестирования эффективности портфе­лей.

Наблюдения каждого из этих отрезков используются для построения двух типов портфелей: классического и с условно ожидаемой доходностью. Сравнение портфелей осуществляется на поступреждающих отрезках длиной h, формируемых следующим образом:

F₁ = {п +1, …,п + h},F₂ = {п + h + 1,…, п + h}, F_k ={п + (к — 1)h,…,п + kh}.

Портфели на поступреждающих отрезках времени сравниваются толь­ко по уровню доходности, так как риск портфелей, имевший смысл в момент их построения теряет свое значение на поступреждающих отрезках.

В соответствии с этим подходом, более эффективным считается тот портфель, который чаще другого показывает более высокую доходность.

Оценка эффективности является завершающим пунктом методики по­строения портфелей с условно ожидаемой доходностью.

Таким образом, методика формирования портфелей с условно ожидае­мой доходностью представляет собой схему расчетов, логика которых преду­сматривает последовательное выполнение следующих пунктов:

1. Расчет доходности акций и формирование временных рядов с памя­тью, обеспечивающих надежное прогнозирование усредненной доходности каждой акции, включаемой в портфель.
2. Построение прогнозных моделей и получение на их основе расчет­
   ных значений, используемых в качестве исходных данных при определении
   оптимальной структуры портфеля.
3. Оценка степени доверия инвесторов прогнозным данным с целью
   определения параметра τ.
4. Формирование портфеля с условно ожидаемой доходностью путем
   проведения расчетов по формуле (3.17).
5. Анализ эффективности портфеля на основе поступреждающего тес­
   тирования.

В качестве исходных данных для построения портфелей используются цены закрытия по шести акциям: Газпром, Лукойл, Сбербанк, Ростелеком, Уралкалий и Норникель, в период с 01.12.11 по 30.11.12. Полностью массив исходных данных содержится в Приложении, в таблице 3.1 представлена лишь часть данных, которая дает представление о размерах и структуре дан­ного массива.

Таблица 3.1 Фрагмент таблицы исходных данных: динамика стоимости акций, руб.

Окончание таблицы 3.1

По данным из массива рассчитываются доходности акций, представ­ленные в таблице 3.2.

Таблица 3.2 Фрагмент таблицы, отражающей доходность акций

Далее по данным таблицы 3.2 формируются производные временные ряды с памятью.

Преобразование данных таблицы 3.2 в данные таблицы 3.3 осуществ­ляется при т=12.

Таблица 3.3 Производные временные ряды из скользящих средних

Для построения портфелей и проверку их эффективности, множество наблюдений каждого временного ряда разбивается на подмножества с учетом сдвига необходимого для построения прогнозных моделей следующим обра­зом. Подмножества для построения портфелей

T₁ = {2,3, …,49}, Т₂ = {14,15.. 61}, ….

Подмножества для тестирования

F₁ = {50,51, …,61}, F₂ = {62,63, …,73},…

Ниже представлена таблица с временными рядами по наблюдениям, номера которых указаны в Т₁,

Таблица 3.4 Исходные данные первого периода инвестирования

Окончание таблицы 3.4

Для каждого временного ряда из таблицы 3.4 строятся авторегрессион­ные модели первого порядка. Все данные об этих моделях приведены в таб­лице 3.5.

Таблица 3.5

Коэффициенты и характеристики надежности прогнозных моделей 1-го периода инвестирования

Построенные модели используются при подготовки данных, на основе которых формируются портфели. Портфель с условно ожидаемой доходно­стью (портфель 2) сравнивается с портфелем, ориентированным на максими­зацию средней доходности, (портфель 1). Для построения портфеля 1 необ­ходимы средние значения и отклонения от средних. Эти данные представле­ны в таблице 3.6. Для построения портфеля 2 необходимы прогнозные оценки и отклонения условно средних значений от фактических. Этот набор дан­ных представлен в таблице 3.7.

Таблица 3.6 Отклонения от среднего по данным 1-го периода инвестирования

Окончание таблицы 3.6

Таблица 3.7. Отклонения от условно среднего 1-го периода инвестирования 

Окончание таблицы 3.7

Кроме того, необходимо количественное определение параметра τ. Для портфеля 1 это параметр, интерпретируемый как отношение инвестора к рис­ку, полагается равным единице. При построении портфеля 2 с помощью это­го параметра характеризуется уровень доверия инвестора прогнозным оцен­кам. В силу этого значение τ должно корреспондироваться с надежностью прогнозных моделей. Одной из главных характеристик прогнозных моделей является коэффициент детерминации. Поэтому, естественно, при определе­нии значения τ необходимо ориентироваться на коэффициенты детерминации. В данном расчете т равен наименьшему из коэффициентов детермина­ции, т.е. τ = 62.

Структура портфелей и результаты вычислений представлены в табли­це 3.8. Данные, приведенные в таблице, позволяют провести компаративный анализ портфелей на историческом и поступреждающем периодах.

Таблица 3.8 Структура и характеристики портфелей 1-го периода инвестирования

Из приведенных выше результатов видно, что доходность портфеля 2 выше доходности портфеля 1 и на историческом и на поступреждающем пе­риодах. Но и риск тоже выше. Естественно, если риск портфеля 2 снизить до риска портфеля 1, то при условии определения риска с использованием кова­риационной матрицы портфели станут идентичными. Но это касается только исторического периода, когда потери связанные с риском являются ожидае­мыми эффектами. Что же касается постпрогнозного периода, то здесь эффекты риска реализовались, и подсчитывается не ожидаемая доходность, а ре­ально полученная. Таким образом, предпочтительность портфеля 2 очевидна и можно сделать вывод о том, что портфели с условно ожидаемой доходно­стью являются действенным инструментом финансового менеджмента.

Глава 3.2. Оптимальные портфели в условиях гипотезы фрактального рынка

Согласно теории фрактального рынка формируются три портфеля: портфель для инвесторов с краткосрочным инвестиционным горизонтом; портфель для инвесторов со среднесрочным инвестиционным горизонтом и портфель для инвесторов с долгосрочным инвестиционным горизонтом.

Структура каждой из этих трех моделей аналогична структуре модели (3.15)-(3.16), но сами структурные элементы имеют другой содержательный смысл.

Модель формирования портфелей на фрактальном рынке записываются в виде трех моделей.

Особенность этих моделей в том, что каждая из них ориентирована на те оценки уровней доходности, которые в один и тот же момент времени ожидают получить инвесторы с соответствующим горизонтом инвестирова­ния. Эти оценки различны и этот факт имеет место в реальности, демонст­рируя одно из свойств фрактального рынка.

Вторая особенность в том, что ковариационные матрицы каждой из мо­делей рассчитываются не по отклонениям от средних и даже не по отклоне­ниям от условно средних значений, как это предусматривалось моделью пре­дыдущего параграфа, а по постпрогнозным отклонениям. Такая особенность позволяет расчетный риск приблизить к реально существующему. Возмож­ность использования постпрогнозных отклонений обеспечивается специфи­кой адаптивной модели, предусматривающей рекуррентную схему расчетов.

Ниже приводятся результаты вычислительного эксперимента. Все рас­четы проводились в соответствии с методикой, описание которой приведено в предыдущей главе. В качестве исходных данных для построения портфе­лей, также как и для предыдущего практического расчета, используются це­ны закрытия по шести акциям: Газпром, Лукойл, Сбербанк, Ростелеком, Уралкалий и Норникель, в период с 01.12.11 по 30.11.12. Поэтому в приве­денных ниже результатах вычислительного эксперимента отсутствуют расче­ты соответствующие первым пунктам методики. Основное отличие от пре­дыдущих расчетов начинается с пункта, в котором предусматривается подготовка данных для построения моделей формирования оптимальных портфе­лей. Ниже приводятся результаты расчетов, начиная с этого момента.

В соответствии с действием адаптивного механизма модели (2.12) -(2.22) коэффициенты долгосрочной составляющей получаются в результате очередного шага рекуррентного метода наименьших квадратов. Для этого же момента времени коэффициенты среднесрочной составляющей получаются путем адаптивной корректировки коэффициентов долгосрочной составляю­щей, а коэффициенты краткосрочной составляющей соответствующей кор­ректировкой коэффициентов среднесрочной составляющей. РКоэффициенты, идентифицированные в момент 22.12.2011, исполь­зуются, чтобы получить прогнозные оценки следующего периода 23.12.2011. Эти прогнозные оценки называются постпрогнозными, так как на момент по­лучения прогнозной оценки известно фактическое значение доходности. Раз­ность между фактическим значением и постпрогнозной оценкой — это пост­прогнозная ошибка. Получение постпрогнозных ошибок является обязатель­ным элементом методики, так как на их основе строятся ковариационные матрицы, с помощью которых оценивается уровень риска портфеля. По каж­дой ценной бумаге для каждого момента времени исторического периода рассчитывается три постпрогнозные оценки и три постпрогнозные ошибки. Логика расчетов с помощью прогнозной модели с локально действую­щим многошаговым адаптивным механизмом такова, что уровень прогноз­ных ошибок у краткосрочных оценок должен быть ниже, чем у среднесроч­ных, а у среднесрочных — ниже, чем у долгосрочных. В таблице 3.21 приве­дены среднеквадратические постпрогнозные ошибки. Их анализ свидетель­ствует о том, что данная логика выполняется по всем акциям.

Таблица 3.21 Среднеквадратические постпрогнозные ошибки

В таблице 3.22 приведены прогнозные оценки, полученные с помощью прогнозных моделей, построенных для каждой ценной бумаги, включаемой в портфель. В модели формирования оптимальных портфелей эти оценки ис­пользуются в качестве доходностей, на которые рассчитывает инвестор с со­ответствующим горизонтом инвестирования.

Таблица 3.22 Прогноз ожидаемых доходностей инвесторов

В таблицах 3.23 — 3.25 приводятся данные о портфелях, которые по­строены с учетом неоднородности рынка для инвесторов с различным гори­зонтом инвестирования. Все портфели строились с τ = 1.

Таблица 3.23 Портфель инвестора с краткосрочным инвестиционным горизонтом

Окончание таблицы 3.23

Таблица 3.24 Портфель инвестора со среднесрочным инвестиционным горизонтом

Таблица 3.25 Портфель инвестора с долгосрочным инвестиционным горизонтом

Окончание таблицы 3.25

По результатам расчетов можно сделать следующие выводы: во-первых, все портфели, которые учитывали результаты прогнозных расчетов (портфель 2) оказались эффективнее портфеля (портфель 1) не учитывающе­го прогноз; во-вторых, самая высокая доходность на упреждающем отрезке времени у портфеля ориентированного на инвестора с краткосрочным гори­зонтом инвестирования, затем у портфеля для инвесторов со среднесрочным горизонтом инвестирования и, наконец, самая низкую доходность показывает портфель для инвесторов с долгосрочным горизонтом инвестирования. При­чем, доходность портфеля с краткосрочным горизонтом инвестирования оце­нивалась по 6 упреждающим наблюдениям, со среднесрочным горизонт ин­вестирования — по 12, с долгосрочным горизонтом инвестирования — по 36.

Таким образом, расчеты полностью подтвердили возможность практи­ческой реализации идеи построения портфелей в рамках предположений ги­потезы фрактального рынка.

Заключение

В дипломной работе выполнены теоретические и прикладные исследо­вания в области построения оптимальных портфелей с условно ожидаемой доходностью в условиях предположений, доминирующих в настоящее время гипотез эффективного и фрактального рынков, и сформулированы следую­щие выводы.

Основной причиной, не позволившей позитивные результаты теории портфельного инвестирования трансформировать в нормативные, является методика, предусматривающая построение оптимальных портфелей на осно­ве исторических данных без учета принадлежности инвестиционного гори­зонта упреждающему периоду.

Предположения теории эффективного рынка, обеспечивая коррект­ность применения мартингалов при выводе довольно сложных формул, на­пример, Блэка — Шоулса, оценки стоимости опционов, в то же время исклю­чают возможность применения методов прогнозирования в привычном для нас понимании. Если при формировании портфелей исходить из необходи­мости оптимизации доходности в упреждающем периоде, то возникает по­требность в реальных прогнозных оценках. Повышение их надежности тре­бует специальных приемов (например, формирование производных времен­ных рядов с памятью).

Получение портфельных решений, обеспечивающих высокий уровень доходности в упреждающие моменты времени не могут обеспечить модели, ориентированные на среднюю доходность исторического периода с оценива­нием риска по ковариационной матрице. Нужна новая концепция моделиро­вания портфельных решений. Основные идеи этой концепции просматрива­ются в моделях формирования портфеля с условно ожидаемой доходностью.

Каждая неудача, с которой сталкиваются инвесторы, подталкивает их к пересмотру природы механизмов фондового рынка и вынуждает снизить степень доверия к доминирующей в настоящее время гипотезе эффективного рынка. На альтернативное объяснение природы этих механизмов претендует гипотеза фрактального рынка. Однако недостаточное развитие аппарата, аде­кватно отражающего новый взгляд на взаимодействие рыночных процессов, сдерживает эффективное решение инвестиционных задач в рамках предпо­ложений фрактального рынка. Первоочередной задачей является решение вопроса о возможностях прогнозирования динамики фрактального рынка. Одним из подходов к решению данной задачи является построение прогноз­ной модели с локально действующим многошаговым адаптивным механиз­мом, позволяющей получать прогнозные оценки доходностей инвесторов с различными инвестиционными горизонтами.

Проявляя повышенный интерес к процессам, природа которых проти­воречит предположениям эффективного рынка, инвестор преследует неиз­менную цель — увеличить свой капитал. Возникает естественный вопрос о возможности переноса идей портфельного инвестирования на фрактальный рынок. Очевидно, что классический портфель Марковица здесь не применим. В то же время методика формирования портфеля с условно ожидаемой до­ходностью может быть адаптирована к условиям гипотезы фрактального рынка, если его формирование осуществлять с использованием прогнозных оценок, генерируемых моделью с локально действующим многошаговым адаптивным механизмом.

Список литературы

1. Боди 3. Принципы инвестиций / 3. Боди, А. Кейн, А. Маркус. — М.:
   Вильяме, 2008. — 984 с.
2. Винс Р. Математика управления капиталом: Методы анализа риска
   для трейдеров и портфельных менеджеров / Р. Вине; Пер. с англ. — М.: Аль-
   пина Бизнес Букс, 2006. — 400 с.
3. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки
   и обоснования. — СПб.: Изд-во С.- Петербург, гос. ун-та, 2003. — 528 с.
4. Иванов А.П. Финансовые инвестиции на рынке ценных бумаг /А.П.
   Иванов. — М.: Дашков и Ко, 2007. — 480 с.
5. Инвестиционно-финансовый портфель / Отв. ред. Ю.Б. Рубин, В.И.
   Солдаткин. — М.: СОМИНТЕЭК, 1993. — 752 с.
6. Криничанский К.В. Рынок ценных бумаг: учеб, пособие / К.В. Кри-
   ничанский. — М.: Дело и сервис, 2007. — 512 с.
7. Люу Ю.-Д. Методы и алгоритмы финансовой математики / Ю.-Д.
   Люу. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. — 751 с.
8. Маренков Н.Л. Ценные бумаги: учеб. пособие / Н.Л. Маренков. —
   Ростов-на-Дону: Феникс, 2005. — 602 с.
9. Мельников А.В. Математические методы финансового анализа / А.В.
   Мельников, Н.В. Попова, В.С. Скорнякова. — М.: Анкил, 2006. — 440 с.
10. Миркин Я.М. Рынок ценных бумаг России: воздействие фундамен­-
    тальных факторов, прогноз и политика развития / Я.М. Миркин. — М.: Альпи-
    на Паблишер. — 2002. — 624 с.
11. Мэрфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика / Дж. Мэрфи. — М.: Сокол, 1996. — 592с.
12. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике / Э. Петере. — М.: Интернет- трей­динг, 2004. — 304 с.
13. Уотшем Т. Дж. Количественные методы в финансах: учеб, пособие
    для вузов / Т. Дж. Уотшем, К. Паррамоу. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999. —
    527с.
14. Ханк Д.Э. Бизнес-прогнозирование / Пер. с англ. / Д.Э. Ханк, Д.У.
    Уичерн, А.Дж. Райте. — М.: Вильямс, 2003. — 656 с.
15. Хорн Дж. К. Ван. Основы управления финансами / Дж. К. Ван. — М.:
    Финансы и статистика, 2000. — 800 с.
16. Шапкин А.С. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций:
    учеб. / А.С. Шапкин, В .А. Шапкин. — М.: Дашков и К, 2005. — 880 с.
17. Шарп У. Инвестиции / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли. — М.:
    ИНФРА-М, 2006. — XII, 1028 с.
18. Швагер Дж. Технический анализ. Полный курс / Дж. Швагер. — М.:
    Альпина Паблишер, 2001. — 768 с.
19. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг / А.С.
    Шведов. — М.: ГУ-ВШЭ, 1999. — 142 с.
20. Ширяев В.И. Анализ стохастических моделей финансовых рынков:
    учеб, пособие / В.И. Ширяев. — М.: КомКнига, 2007. — 224 с.

---

Страница:   1   2

---