Формирование у младших школьников навыков сложения и вычитания в пределах первого десятка посредством использования приемов активизации учебной деятельности

---

Страницы:   1   2   3   4   5

---

Содержание

• ВВЕДЕНИЕ
• ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ В УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
• 1.1. Раскрытие основных понятий исследования
• 1.2. Психолого-педагогические основы проблемы формирования у младших школьников вычислительных навыков в учебной деятельности
• 1.3 Эффективные методы и приемы активизации учебной деятельности в процессе формирования у младших школьников вычислительных навыков
• 1.4 Педагогический опыт по формированию у младших школьников вычислительных навыков посредством использования приемов активизации учебной деятельности в учебной деятельности
• Выводы по главе 1
• ГЛАВА 2 СОДЕРЖАНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ФОРМИРОВАНИЮ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ
• 2.1. Уровни, критерии и показатели формирования у младших школьников вычислительных навыков в учебной деятельности
• 2.2 Диагностика сформированности у младших школьников вычислительных навыков в учебной деятельности
• 2.3 Методические рекомендации по формированию у младших школьников вычислительных навыков посредством использования приемов активизации учебной деятельности
• Выводы по главе 2
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

ВВЕДЕНИЕ

Россия вступила в новое тысячелетие. Цель современного начального образования заключается в освоении учащимися базовых образовательных компетенций в процессе формирования учебной деятельности, в развитии познавательных и коммуникативных способностей. Начальная школа превращается в институт, несущий гуманистические принципы, искусство жить в обществе, мотивирует самообразование.

В этой связи активизируется роль образовательного учреждения, важнейшей задачей которого является полноценное и эффективное развитие ребенка. Однако анализ математической и естественнонаучной грамотности учащихся по результатам исследований РISА и мониторинга образовательных достижений показал низкий уровень сформированности умений работать с различными источниками информации, интегрировать имеющиеся знания и использовать их для получения новых знаний и объяснения явлений, происходящих в окружающем нас мире. Обнаружилось противоречие между высоким уровнем знания фактического материала и неумением применить его для решения практических задач. Это противоречие породило проблему развития интеллектуальной культуры учащихся в процессе формирования учебной деятельности уже на начальном этапе обучения.

Проблема отбора содержания образования сегодня требует такой его трансформации, в процессе которой появилась бы возможность учета интеллектуального развития каждого учащегося. Математика сегодня – одна из жизненно важных областей знания современного человечества, необходимая для жизни человека в цивилизованном обществе. Последнее десятилетие ХХ в. характеризовалось значимыми изменениями в подходах к определению целей начального математического образования. Эти изменения были порождены сменой приоритетных целей обучения: их обусловленностью на современном этапе проблемой воспитания личности ребенка на основе личностно-ориентированного обучения.

В Концепции начального образования базовым положением является то, что начальное звено в системе школьного образования обладает своей собственной непреходящей ценностью, и поэтому обязано предоставить ребенку возможность и условия самореализации в тех видах деятельности, которые являются ведущими в этом возрасте.

В «Концепции непрерывного образования детей начального образования» обозначены цели: воспитание нравственного человека; охрана и укрепление физического и психического здоровья детей; сохранение и поддержка индивидуальности ребенка, физическое и психического развитие детей. Согласно концепциям педагогической психологии развитие личности может происходить только в процессе активной деятельности субъекта, становящейся личности (Л. С. Выготский, Б. Г. Ананьев, В. В. Давыдов, Л. В. Занков, П, Я. Гальперин, А. Н. Леонтьев, А. А. Люблинская, Н. А. Менчинская, Д.Б. Эльконин и др.).

Развитием личности можно управлять. Средством управления является организация деятельности ребенка взрослыми, воспитателями, учителями и т. д. — в общем, организация его активного общения и образа жизни.

Чем младше ученик, тем значительнее в сфере его деятельности учебная деятельность и тем больше служит все его обучение задачам воспитания.

В управлении развитием ученика как личности важное значение имеет воспитательная система школы и класса (X. Лийметс и др.). Частный случай его — дидактическая система, функции которой не ограничены лишь подачей знаний да формированием умений и навыков. Личностный подход к проблемам дидактики предполагает выявление потребностей и мотивационной сферы учащегося, изучение и формирование его самосознания и самооценки — таким образом, переоценки традиционной дидактической системы. Именно такой подход свойствен и проблемной группе начального обучения Таллинского педагогического института имени Э. Вильде в исследовании проблемы активизации познавательной деятельности младших школьников, в определении целей, в изучении средств и возможностей активизации.

Развитие ребенка неразрывно связано с его активностью. Развитие может происходить только через активность. Активность учащихся как психическое состояние является основой для всей их учебной деятельности и умственного развития. Активизация в учебном процессе направлена на стимулирование и развитие интеллектуальной активности. Вызывая систематически активность как состояние, мы тем самым содействуем и формированию активности как свойства личности.

Активизация означает, с одной стороны, проявление активности как состояния и, с другой стороны увеличение меры активности. Активизация познавательной деятельности означает стимулирование к выполнению познавательных задач. Определяя цели и задачи активизации, необходимо иметь в виду, что мерой полноценности личности является не только и не столько то, было ли его школьной оценкой «хорошо» или «удовлетворительно». Важнее то, насколько в процессе обучения развиты желание и умение работать, умение самостоятельно усваивать знания, способность напрягать свои силы во имя достижения поставленной цели, потребность приносить пользу своей активной деятельностью. Таким образом, основной задачей активизации учащихся является достижение не максимальных школьных оценок, а общего развития личности. Этому способствует систематическое предоставление ребенку учебной работы, требующей оптимального умственного напряжения, которое предопределяет развитие умственных сил и — что еще важнее — делает возможным ощущение успеха каждым учащимся. В связи с этим формируются умственные потребности, ценностные установки и активный образ жизни.

Для продуктивной деятельности нужна не максимальная, а оптимальная активизация. Активизация младших школьников в процессе обучения правильно организована в таком случае, когда она обеспечивает достижение умело поставленных целей, при нормальной трате сил в результате этого — сохранение психического равновесия и школьной радости учащихся.

Начальные классы имеют, по сравнению со старшими классами, некоторое преимущество в том смысле, что нормальный ребенок поступает в школу с выраженным интересом к обучению. Следовательно, можно оптимистически предполагать, что активность учащихся в учебном процессе в начальных классах тоже высока. На самом же деле положение, к сожалению, не таково. Пассивность наблюдалась больше всего на этапах проверки, закрепления и повторения изученного, но зачастую также при изучении нового учебного материала. Особенно заставляет задумываться тот факт, что неучастие слабых, отстающих учеников в учебном процессе превышает в несколько раз неучастие сильных и средних. Следовательно, особенно слабые учащиеся используют в учебном процессе далеко не полностью свои учебные возможности.

Понятие познавательной активности у разных исследователей разное. Некоторые из них считают, что пассивность имеет место только в тех случаях, когда учащиеся решают творческие задачи, исключая полностью репродуктивную деятельность, что в учебном процессе тоже важно.

На наш взгляд, лучше соответствует сущности учебного процесса понятие познавательной активности теми учеными, которые считают, что активизация учащегося в учебном процессе охватывает стимуляцию всех сторон его познавательной деятельности. Такое понимание, особенно приемлемо с точки зрения начального обучения по следующим соображениям:

— в познавательной деятельности младших школьников, по сравнению со старшими классами, более важное значение имеет этап живого, непосредственного созерцания. От активности учащихся на этом этапе зависит во многом дальнейший ход познавательного процесса. Следовательно, нельзя недооценивать необходимость активизации психических процессов (восприятие, внимание), свойственных этому этапу;

— реализуя идеи развивающего обучения, уже в начальном обучении все больший акцент делается на стимулирование мыслительной деятельности учащихся. Однако по своей сущности начальное обучение такое, где многое нужно просто выучить, а умения и навыки в репродуктивной деятельности приобрести путем упражнений. Поэтому нельзя работу памяти и роль репродуктивной деятельности игнорировать:

— с точки зрения начального обучения имеет значение то обстоятельство, что нервная система ребенка еще слаба и умственная работоспособность сравнительно низка. Поэтому понадобится система специально направленных приемов для того, чтобы поддерживать работоспособность ребенка, его готовность и силы к выполнению очередных задач, что является познавательным аспектом триединой цели урока. Это основной и определяющий ее аспект. Он складывается из выполнения следующих требований: — учить и научить каждого ученика самостоятельно добывать знания. Учить чему-нибудь других значит показать им, что они должны делать, чтобы научиться тому, чему их учат!

Осуществлять выполнение главных требований к овладению знаниями:

— полноту, глубину, осознанность, систематичность, системность, гибкость, глубину, оперативность, прочность;

— формировать навыки – точные, безошибочно выполняемые действия, доведенные в силу многократного повторения до автоматизма.

— формировать умения – сочетание знаний и навыков, которые обеспечивают успешное выполнение деятельности.

Формировать то, что учащийся должен познать, уметь в результате работы на уроке. Образовательные цели урока часто ставятся в очень общем виде: усвоить такое-то правило, закон и т.д. Можно ли к концу урока добиться того, чтобы учащиеся восприняли, осмыслили новый материал и научились его применять на практике в нестандартных ситуациях, обобщив и систематизировав его? Думается, что удается это не многим. Поэтому нельзя не согласиться с В.Ф. Паламарчук, которая считает, что «…целесообразно при планировании образовательной цели урока указать, какого уровня качества знаний, умений и навыков учащимся предлагается достигнуть на данном уроке: репродуктивного, конструктивного или творческого»

Академик А.Леонтьев особо отмечает, что «Концепция» не имеет целью обозначать чему и как учить, а призвана обозначить, что именно в развитии ребенка должно обеспечит образование и каким мы ожидаем увидеть выпускника на пороге начальной и старшей школы.

Таким образом, в начальном обучении необходима активизация как самых простых, так и более сложных познавательных процессов.. В обучении необходима активизация как на ее высших, так и на низших уровнях. Каждая ступень из них нужна в зависимости от конкретного учебного материала и конкретной учебной деятельности. Развитие идет от низших к высшим уровням. Но это не значит, что мы можем низшими уровнями пренебрегать.

Опираясь на вышеуказанные концепции активизация учебной деятельности должна стать устойчивой чертой личности школьника и оказывать сильное влияние на его развитие. В связи с этим нами выбрана тема «Формирование у младших школьников навыков сложения и вычитания в пределах первого десятка посредством использования приемов активизации учебной деятельности»

Цель исследования: выявление эффективных приемов и методов в формировании у младших школьников навыков сложения и вычитания в пределах первого десятка.

В соответствии с поставленной целью исследования нами были выделены следующие задачи:

1) проанализировать психолого-педагогическую литературу;

2) выявить психолого-педагогические основы организации математического развития младших школьников;

3) обосновать эффективные приемы и методы активизации учебной деятельности в процессе формирования у младших школьников вычислительных навыков;

4) раскрыть педагогический опыт по формированию у младших школьников вычислительных навыков посредством использования приемов активизации учебной деятельности в учебной деятельности

Объект исследования: процесс формирования у младших школьников навыков сложения и вычитания в пределах первого десятка.

Предмет исследования: приемы и методы активизации учебной деятельности в формировании у младших школьников навыков сложения и вычитания в пределах первого десятка.

При реализации цели и выдвинутых задач нами были использованы следующие методы исследования:

— теоретические: анализ проблемы формирования у младших школьников вычислительных навыков на основе изучения психолого-педагогической и методической литературы;

эмпирические: изучение документальных источников и обобщение практического опыта для проведения экспериментального исследования; педагогическое наблюдение за деятельностью учащихся во время проведения констатирующего этапа педагогического эксперимента; изучение опыта учителей на современном этапе.

Экспериментальная база исследования: МБОУ «Сарыбашская средняя школа» Первомайского района. Исследованием были охвачены ученики 1 класса в количестве 7 человек.

Практическое значение результатов исследования: подобран и адаптирован диагностический материал для выявления уровня сформированности у младших школьников вычислительных навыков, а также разработаны методические рекомендации, которые могут быть использованы в образовательном процессе начальной школы.

 

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ В УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

1.1. Раскрытие основных понятий исследования

Одной из центральных задач начального курса математики является формирование прочных и сознательных вычислительных навыков.

Формирование — представления о том, что должно быть получено в результате учебной деятельности, — только первый этап формирования цели-результата. Далее формируется представление о качественных и количественных параметрах.

Учебная деятельность — проявляемая обучаемыми мотивированная активность при достижении целей учения. Своеобразие учебной деятельности состоит в том, что в процессе ее осуществления человек усваивает знания и нормируется как личность. Для формирования полноценной учебной деятельности учащиеся должны систематически решать положительно мотивированные учебные задачи [85].

Учебная деятельность является ведущей в младшем школьном возрасте; именно в этот период происходит формирование ее основной структуры и ее субъекта, развивается желание и умение учиться.

Учебная деятельность — это вид практической педагогической деятельности, целью которой является человек, владеющий необходимой частью культуры и опыта старшего поколения, представленных учебными программами в форме совокупности знаний и умений ими пользоваться. Учебная деятельность может быть осуществлена только путём соответствующего выполнения деятельности учителя и деятельности ученика. Учебная деятельность формирует основы и конкретных механизмы саморазвития, выступая и как способ формирования системы научных и знаний, и как метод активного конструирования обобщенных способов действий, развития творческого мышления [77].

По уровню достижения цели учебная деятельность делится на два звена: учение и обучение. Основными признаками деятельности являются целостность и целенаправленность. Это означает, что деятельность реализуется человеком-субъектом в процессе постановки и достижения цели. Деятельность открыта и универсальна, так как ее преобразующий и целеполагающий характер позволяет рассматривать ее как форму исторического культурного творчества.

Практика современной школы показывает, что в основе формирования навыка вычислений должно лежать осмысление тех конкретных действий, от которых зависят правильность и скорость выполнения вычислений. Ученик, прежде всего, должен осознать цель, ради которой он формирует тот или иной навык. А учитель должен помочь ему в осознании этой цели. Вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.

Термин «вычислительные умения» в теории и методике обучения математике в начальной школе использовался редко. Актуальным он стал в связи с тем, что ФГОС НОО ориентирует на формирование вычислительных умений. На протяжении многих десятилетий при рассмотрении вопросов изучения арифметических действий пользовались термином «вычислительные навыки». Обозначаемое им понятие понималось как «высокая степень овладения вычислительными приемами, значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро». Формирование вычислительных навыков являлось главной задачей изучения в начальной школе арифметических действий и математики в целом. Пути решения этой задачи были реализованы в действовавших тогда учебниках математики, представлены в методических пособиях, обсуждались и совершенствовались в многочисленных публикациях [95].

Вычислительный навык — это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. Правильность – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием. Осознанность – ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операций. Ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Рациональность – ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т.е. выбирает из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Обобщенность – ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т.е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Автоматизм – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения и вычитания, умножения и деления. Прочность — ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время [94].

В общем процессе изучения арифметических действий процессы формирования вычислительных умений занимают одно из главных мест. Сформулируем несколько важных требований к процессу формирования вычислительных умений, а также вопросы, возникновение которых у учащихся и поиск ответов на них включает учащихся в познавательный и мыслительный процесс, в учебную деятельность и обеспечивает выполнение соответствующих требований:

1. Для начала формирования вычислительных умений необходимо создание содержательных основ вычислительных умений: овладение смыслами действия, свойствами действия, нахождение результатов действия на основе смыслов с помощью действий с предметами или их изображениями. (Что это? Какое это действие?)
2. Чтобы формирование вычислительных умений было эффективным, процесс обучения должен обеспечить мотивацию к созданию и обнаружению способов и алгоритмов вычислений, к овладению ими, к постановке и принятию соответствующей учебной задачи. (Как находить результат? Что делать, чтобы найти результат арифметического действия без обращения к действиям с предметами? Как можно складывать (вычитать, умножать, делить)? Что делать, чтобы научиться находить результаты этого арифметического действия без обращения к действиям с предметами?)
3. Учащимся должен быть обеспечен выбор заданий и способов их выполнения (учебных действий) для овладения алгоритмами действия. (Что делать, чтобы научиться быстро и безошибочно, складывать (вычитать, умножать, делить)? Как выполнять такие задания, чтобы это помогло мне научиться складывать (вычитать, умножать, делить)?)
4. Выбор и выполнение учебных действий для выработки умений применять вычислительные алгоритмы. (Где можно применить? Как (что делать, чтобы) научиться применять?) Осознание достоинств и недостатков освоенного алгоритма, встраивание его в систему других освоенных способов вычислений. (Чем хорош и чем плох для меня этот способ вычисления? Есть ли другие?)
5. Оценка достижений в ходе самоконтроля и самооценки, внешнего контроля и оценки. (Научился ли я складывать (вычитать, умножать, делить) числа?… Научился ли я складывать (умножать), применяя переместительное свойство, правило?… Научился ли я складывать (вычитать, умножать, делить) круглые числа? умножать на 2? … Как хорошо я умею складывать (вычитать, умножать, делить) … способом? Любыми способами? Какие вычисления у меня еще не получаются? Чему еще стоит научиться?) [101].

Особенность изучения письменных вычислений обусловлена тем, что у детей быстро развивается усталость при работе с числами. Это объясняется большим количеством операций как письменного сложения и вычитания, так и письменного умножения и деления. Избежать быстрой утомляемости и снижения внимания при изучении письменных вычислений поможет:

1. Чередование различных видов деятельности,
2. Отказ от однообразных тренировочных упражнений,
3. Обучение приёмам действия контроля.

Изучение математики в первом классе начинается с геометрического материала, который, сконцентрирован вокруг категорий формы и пространства. Мы считаем, что именно этот раздел программы позволяет ребенку легко осуществить перевод окружающих его предметов и явлений внешнего мира на язык математических понятий. В процессе формирования категории «форма» вводится последовательно система таких понятий, как точка, прямая, кривая, луч, отрезок, угол, ломаная, многоугольник (его разновидности), круг, овал. Несмотря на некоторое расширение объема понятий, общепринятого в курсе математики для I класса, можно обоснованно утверждать, что это не приведет к перегрузке учащихся, так как, во-первых, каждое новое понятие конструируется на основе предыдущего (что отвечает также основам евклидовой геометрии), во-вторых, данные понятия могут быть наглядно интерпретированы на основе опыта ребенка и, в-третьих, при работе с ними могут быть использованы приемы конструирования и моделирования [98].

В этот же период в тесной связи с изучением категории «форма» происходит формирование категории «пространство», которая включает в себя иерархию понятий, относящихся к процессу ориентировки (налево, направо, вверх, вниз, между и пр.). Данный процесс предполагает выработку у учащихся умений проводить описание местоположения предметов относительно выбранного ориентира, отражать его на плане и, наоборот, по заданному плану определять нахождение предмета.

Следующим шагом в познании математики выступает процесс формирования понятия числа как количественной характеристики класса эквивалентных множеств, что объясняет пропедевтику в этом курсе таких понятий как «множество» и «элемент множеств». Несмотря на существующее негативное отношение к использованию данных понятий в начальном курсе математики, мы считаем целесообразным их введение как средства иллюстрации многих других и, в частности, числа. Появление числа учащиеся воспринимают как процесс абстрагирования множеств предметов от внешних или внутренних признаков (цвета, формы, размера и др.) и выделение их общего свойства — одинакового количества. Очень большое значение при этом отводится введению цифры как некого условного символа, кодирующего число.

Сформулированные здесь положения объясняют выбор первого концентра (мы придерживались концентрического принципа построения арифметического материала) для изучения нумерации целых неотрицательных чисел — «Числа от 0 до 20». Совместное изучение сначала нумерации однозначных и двузначных чисел, а затем приемов сложения и вычитания, основанное на методе укрупнения дидактических единиц, дает ряд преимуществ, среди которых, как основные, отметим возможность дать обобщенное представление о числе и цифре (знания о принципах построения натурального ряда чисел, их записи и др.; обеспечение преемственности в изучении приемов сложения и вычитания чисел в пределах 10 и с переходом через десяток [99 ].

Одними из первых математических понятий, с которыми ребенок знакомится в своей жизни, являются понятия «число» (натуральное) и «цифра». Причем с первым из них ребенок встречается, когда учится считать, а со вторым — когда учится читать (номера домов, номера квартир, номера маршрутов автобусов и т. п.) и писать. Такое раннее знакомство с указанными понятиями и соответствующей терминологией, а оно по времени может опережать знакомство с буквами и приобретение первых навыков чтения слов, неминуемо сопряжено с некоторыми особенностями.

Одна из таких особенностей состоит в том, что период жизни ребенка, о котором идет речь, является дошкольным. Это обусловливает два основных пути получения ребенком информации, а именно: в семье или в детском дошкольном учреждении. По этим каналам, как правило, ребенок получает по данному вопросу неточную информацию. Это связано главным образом с тем, что в обыденной жизни постоянно допускается путаница в употреблении соответствующей терминологии. Примером тому могут служить фразы, которые часто используются средствами массовой информации, когда речь заходит об экономических показателях («сопоставим полученные цифры», «получилась солидная цифра» и т. п.). Другой особенностью является то, что получая наряду с ошибочной и правильную информацию, ребенок не в состоянии еще самостоятельно ее усвоить должным образом.

Итак, придя в школу, ребенок оперирует терминами «число» и «цифра» достаточно произвольно, и, чтобы учитель начальных классов мог навести некоторый порядок в использовании этой ему самому нужно очень хорошо представлять положение дел. Центральное место в курсе математики на факультетах подготовки учителей начальных классов занимает строгое определение понятия натурального числа, при этом даются различные подходы к определению этого понятия [44].

В связи с этим мы, не будем рассматривать подробно этот аспект проблемы, однако отметим, что формирование понятия натурального числа сопряжено с определенными трудностями в силу его высокой степени абстрактности. Нет возможности в нескольких словах строго и доступно определить это понятие. Сами натуральные числа нельзя ни увидеть, ни услышать, ни потрогать, т. е. они недоступны органам чувств. Пожалуй, единственная возможность сделать их «реальными» — это записать их. В этом плане наиболее удобной является цифровая запись. Изучению закономерностей различных цифровых способов записи натуральных чисел (различных систем счисления) уделяется достаточно большое внимание в курсе математики на ФНК, по этому вопросу имеется также большой выбор литературы, но самому понятию «цифра» внимание уделяется недостаточно.

В «Математической энциклопедии» цифры определяются как знаки для обозначения чисел. «Словарь русского языка» С. Ожегова наряду с этим определением даёт и другое, упоминавшееся уже выше толкование данного понятия, которое часто употребляется в повседневной жизни, а именно: цифры — это показатель, расчет чего-нибудь, выраженный в числах. С математической точки зрения, при втором толковании происходит смешение понятий «число» и «цифра», но такая разговорная практика общеупотребительна, и это следует учитывать. Однако и первое приведенное определение на наш взгляд, не совсем точно отражает существо дела. История математики дает нам примеры, когда числа обозначались такими условными знаками, как узелки на веревке, зарубки на доске и т. п., но называть эти знаки цифрами у нас нет оснований. Итак, цифра — это не просто условный знак для обозначения чисел, а ещё и знак письменности [69].

Первые цифры у разных народов возникают, видимо, параллельно с появлением других знаков письменности (иероглиф, буква и т. п.). Но появление первых цифр не следует путать с появлением систем счисления. Системы счисления формируются гораздо позднее, и наиболее ранней и вместе с тем примитивной формой записи чисел является словесная запись, которая в отдельных случаях сохранялась достаточно долго. Так, некоторые математики Средней Азии и Ближнего Востока систематически употребляли словесную запись чисел в X в. и даже позже.

Древнейшие дошедшие до нас цифры — это цифры древних египтян и вавилонян. Возникновение египетских цифр относится к третьему, а вавилонских ко второму тысячелетию до нашей эры. В египетской иероглифической нумерации существовали отдельные знаки для обозначения единиц десятичных разрядов вплоть до десяти миллионов. Например, единица писалась как образ мерной палки, десять — иероглиф обозначавший путы стриножения коров или вал, десять миллионов — в виде солнце. При дальнейшем развитии египетской культуры иероглифическое письмо сменилось гиератическим (скорописными сокращениями иероглифов), а затем демотическим (алфавитным). Соответственно менялись и цифры. Вавилонские цифры представляют собой клинописные знаки для чисел 1 и 10. Первоначально цифры изображались вдавливанием круглого конца палочек, когда она ставилась под косым углом, получался эллипс — знак единицы; под прямым — кружочек О — знак десяти. Позднее стали употреблять острый конец палочки, и знаком единицы стал простой клин, знаком десяти — клин, выдавливаемый косо наклоненной призматической палочкой. Нумерации типа египетской иероглифической существовали и у других народов (финикийцев, сирийцев, аттических греков). В других греческих землях получила распространение более удобная алфавитная нумерации (ионийская), в которой единицы, десятки, сотни обозначались буквами греческого алфавита. Алфавитное обозначение чисел существовало и у других народов, например у арабов, грузин, армян. На Руси в период с X по XVII в. также была распространена алфавитная нумерация. Из всех древнейших цифровых систем особое место занимает римская нумерация как наиболее долговечная. Возникшая на рубеже VI и V вв. до н. э. у этрусков, она употребляется в некоторых случаях и в настоящее время [10].

Что касается цифр современной десятичной системы (включая нуль), то их прообразы появились в Индии, вероятно, не позднее V в. нашей эры. Ранняя их история мало изучена, но известно, что в Европу индийские цифры проникли в X- XIII вв. в результате перевода на латинский язык трудов арабских математиков, многие из которых к тому времени пользовались этой нумерацией. Всеобщее распространение в Европе индийские цифры, ошибочно названные арабскими, получили во второй половине XV в., а в России — в период реформ Петра I, чему особенно способствовал выход в свет в 1703 г. «Арифметики Л. Магницкого.

Рассмотрев кратко исторический аспект интересующего нас вопроса, перейдем теперь к рассмотрению той его стороны, которая непосредственно проецируется на начальную школу. Речь пойдет, о таких понятиях, как «одинаковые цифры» и «различные цифры». С этими понятиями и соответствующей терминологией ученики начальной школы сталкиваются, когда им приходится выполнять задания типа «Сколько цифр в записи данного числа?», «Сколько знаков в этом числе?», «Сколько всего цифр мы используем для записи чисел?» и т. п. На первый взгляд в этих заданиях нет ничего сложного, и ученики легко с ними справляются, но это только на первый взгляд. Стоит нам несколько расширить изучаемое числовое множество, и мы сразу столкнемся с утверждениями, которые формально противоречат друг другу. Например, запись числа 12 451 372 956 состоит из одиннадцати цифр. Для записи чисел в десятичной системе мы используем только десять цифр. А как ответить на вопрос: «Сколько цифр используется для записи числа 33, две или одна?» Для того чтобы детально разобраться в создавшемся положении, прежде всего попытаемся выяснить, что характерно для цифры как знака письменности.

Во-первых, это то, что каждая цифра должна быть узнаваемая, т. е. читающему текст должно быть ясно, что написана цифра и какая именно цифра. В этом смысле не имеет значения размер цифры, цвет чернил, которыми она написана и т. п. (конечно, есть определенные требования к форме записи, в частности эстетические, но в данном случае нас не это интересует). Итак, существенным при написании цифры являются ее форма или, как принято говорить, ее начертание.

Таким образом, в идеале все цифры, обозначающие одно и то же число, должны быть подобны некоторому определенному эталону. Реально мы имеем дело с несколько иной ситуацией в силу того, что для одной и той же цифры существует несколько эталонов в зависимости от используемого шрифта и набор этих эталонов может изменяться, а, кроме того, почерк каждого человека имеет свои индивидуальные особенности. Однако эта вариативность не должна быть очень большой, иначе смысл записи может быть потеряна. Во-вторых, набор таких знаков (цифр) должен быть ограничен. В противном случае невозможно было бы знать, что обозначает каждый знак, а следовательно, невозможно было бы учиться читать произвольный текст. При этом из практических соображений число различных знаков должно быть не очень большим, иначе их запоминание затруднительно. Так, современная десятичная система оперирует с набором из десяти цифр.

После этих двух замечаний мы можем перейти к определению понятий «одинаковые цифры» и «различные цифры». Под одинаковыми цифрами мы будем понимать цифры, которые обозначают одно и то же число. Соответственно различные цифры — это цифры, которые обозначают разные числа.

Можно считать, что одинаковые цифры образуют некоторый класс цифр. Таким образом, все цифры (в рамках десятичной системы) разбиваются на десять классов, но применение здесь теоретико-множественной терминологии, связанной с разбиением на классы эквивалентности, может только усложнить ситуацию. Поэтому мы не будем давать специального названия классу одинаковых цифр, в отличие от того, как это делается, например, для класса равносильных дробей. Однако при этом вопрос «Сколько всего существует цифр?» мы будем понимать так: «Сколько всего существует классов одинаковых цифр?» Как известно, в десятичной системе их десять. Вопрос же «Сколько цифр в записи данного числа?» трактуется следующим образом: «Сколько цифр как самостоятельных знаков письменности (одинаковых или различных) — использовано для записи данного числа?» Так, в записи числа 33 используются две (одинаковые) цифры. Приведенные примеры показывают, что, если можно так выразиться, в математической речи допускается двоякое толкование термина «цифра»: с одной стороны, под цифрой понимается класс одинаковых цифр, с другой — самостоятельный знак письменности. Сталкиваясь с подобными ситуациями, учитель начальных классов должен их четко разграничивать как для себя, так и для учащихся. Добиться этого при подготовке учителя можно, например, предлагая студентам выполнить задания по уточнению формулировок разнообразных вопросов о цифрах. При этом преподавателю следует учитывать, что такие уточнения могут быть легко выполнены с привлечением термина «различные цифры» в том случае, когда речь идет о цифрах как классах, и термина «знак письменности» в том случае, когда речь идет о цифрах»; как представителях соответствующих классов. Так, вопрос «Сколько всего существует нечетных цифр?» можно уточит, следующим образом: «Сколько всего существует попарно различных нечетных цифр?»

В свою очередь учителя в этом плане могут предлагать для учащихся, например, следующие упражнения:

Для конкретного числа (56066). Сколько всего цифр используется для записи этого числа? (Пять.)

Сколько различных цифр использовано в записи этого числа? (Три цифры: 0, 5 и 6.) Есть ли в записи числа одинаковые цифры? (Да.)

Если есть одинаковые цифры в записи данного числа, то какие и сколько раз каждая из них встречается в записи? (Цифра 6 встречается три раза.)

Что обозначают одинаковые цифры? (На первом месте справа цифра 6 обозначает единицы, на втором месте — десятки, на четвертом месте — единицы тысяч.)

Что обозначает нуль? (Отсутствие единиц в разряде сотен.) Последние два вопроса способствуют также усвоению поместного значения цифр.

Подобные вопросы вначале может задавать учитель, затем их можно давать в виде памятки, а уже затем некоторые ученики научатся самостоятельно ставить себе эти вопросы и отвечать на них.

Для обобщения можно предлагать подобные вопросы (для нескольких чисел) в таблице.

Таблица может иметь такой, например, вид:

 

Учителю важно понимать, что если в обыденной жизни смешение понятий «число» и «цифра» не влечет за собой отрицательных последствий, так как практически не искажает смысла высказывания, то в начальном обучении математике такое смешение совершенно недопустимо, так как само различение этих понятий является предметом изучения [59].

Между тем некоторые учителя и студенты-практиканты иногда сами путают эти понятия. На уроках можно услышать такие; высказывания «Цифра 5 больше, чем цифра 4», «При делении 66 на 2 получаются в ответе 2 числа», «Число 35 состоит из двух цифр». «Запишите цифру 10» и т. п.

Естественно, что у таких учителей (или студентов) детям трудно научится различать число и цифру. Так как младшим школьникам не даются определения числа и цифры, то эти понятия усваиваются на интуитивном уровне. Следовательно, особенно важно, чтобы от учителя ученик слышал всегда правильное употребление соответствующих терминов.

Нельзя не сказать и об объективных трудностях, с которыми сталкивается учитель при обучении детей рассматриваемому вопросу. Эти трудности обусловлены совпадением названий первых чисел с названием соответствующих цифр. Так, учитель часто сомневается, как правильно сказать: «Запиши число — 5» или «Запиши цифру 5, так как здесь число (однозначное) и цифра имеют одинаковое название. Если же речь идет о многозначных числах, учитель без сомнений говорит: «Запиши числа 25, 376 и т. о».

В подобных случаях учитель может ориентироваться на методические пособия и учебники математики для начальных классов, где правильно построены соответствующие фразы:

— покажи цифрой, сколько щеток на рисунке;

— обозначь карточкой с цифрой число машин;

— обведи столько клеток, сколько указано цифрой;

— сколько яблок? Запиши цифрой;

— вставь нужное число: 2= 1+□. Запиши ответ цифрой;

— число «три» записывается такой цифрой — …

— обозначь цифрой, сколько на доске нарисовано березок;

— запиши число, следующее в ряду за числом 7.

Вместе с тем нужно отметить и то, что иногда в учебно-методической литературе сознательно употребляется термин «цифра» вместо термина «число». Делается это для упрощения речевых оборотов. Например, при объяснении деления на двузначное число употребляются на двузначное: «цифра частного», «пробная цифра», «подходит ли эта цифра?» и т. п. Здесь во всех случаях имеется в виду не цифра, а соответствующее однозначное число. Но в данных случаях правильное употребление понятия «число требует построения таких громоздких и запутанных фраз, что детям трудно было бы понять их смысл. Поэтому в подобных случаях указанные искажения можно считать допустимыми. Тем более, что необходимость в них как правило, возникает на более поздних этапах обучения (III—IV классы), когда многие дети уже различают число и цифру [60].

Таким образом, мы видим, что проблема правильного употребления понятий «число» и «цифра» довольно сложная, поэтому при подготовке учителя начальных классов ей следует уделять соответствующее внимание как в курсе математики, так и курсе методики математики.

В связи с этим при изучении соответствующего раздела курса математики студентам можно предлагать задания вида: записать одно то и же число в различных формах:

а) словесной (можно на разных языках);

б) алфавитной нумерацией (русской);

и) индийскими (арабскими) цифрами в десятичной системе счисления, в других системах счисления;

г) римской нумерацией.

Подобные задания способствуют более осознанному усвоению понятий «число» и «цифра». При изучении методики математики студенты могут выполнять такие задания:

— найдите в школьных учебниках математики упражнения, направленные на различение «числа» и «цифры» и охарактеризуйте их.

— Составьте сами упражнения на различение «числа» и «цифры».

Найдите и исправьте ошибки в следующих высказываниях:

а) запишите цифру 27;

б) цифру 5 нельзя разделять на 2 без остатка;

в) число 789 состоит из трех цифр.

Такие же упражнения студенты могут выполнять и при изучении математики.. Для того чтобы поиск или составление соответствующих упражнений были более целенаправленными, студентам можно объяснить, что различению терминов «число» и «цифра» более всего способствует выполнение детьми таких заданий, в которых используются оба эти термина. Например:

— Запиши с помощью цифр 5 и 3 несколько трехзначных чисел.

— Что обозначает цифра 5 в — записи каждого из чисел: 125, 5, 54?

— Запиши цифрами число триста двадцать.

В заключение хотелось бы отметить, что история возникновения и развития устной и письменной нумерации дает учителю начальных классов благодатный материл для включения его в качестве исторических микроочерков в содержание отдельных уроков математики и для проведения внеклассной работы по математике. А это, в свою очередь, может вызвать у учащихся интерес и любовь к предмету.

---

Страницы:   1   2   3   4   5

---