ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ В ПРЕДЕЛАХ 20 В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Страница 1 2

---

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ.
• ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ.
• 1.1    Арифметические действия в начальном курсе математики первого класса и методика их изучения.
• 1.2    Общая характеристика исследований в области представлений о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов.
• 1.3    Развивающие задания для младших школьников, направленные на понимание смысла арифметических действий сложения и вычитания, представленные в различных УМК.
• ГЛАВА 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ИЗУЧЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ПЕРВОГО КЛАССА.
• 2.1 Организация экспериментальной работы по изучению арифметических действий сложения и вычитания в пределах 20.
• 2.2. Разработка системы уроков по формированию смысла действий сложения и вычитания в пределах 20 в 1-м классе.
• 2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы по изучению арифметических действий сложения и вычитания в пределах 20.
• 2.4 Методические рекомендации по изучению арифметических действий сложения и вычитания в пределах 20.
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
• Приложение 1.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы обусловлена тем, что модернизация системы образования в соответствии с национальными потребностями с целью совершенствования личностно-профессиональной педагогической деятельности актуализирует проблему усиления дидактико-методической подготовки будущего учителя начальной школы.

Изменение системы образования направлено, прежде всего, на ее ориентацию на учащихся, на удовлетворение их индивидуальных образовательных потребностей.

Со стороны отечественной школы большое внимание уделяется формированию осознанных и прочных знаний и навыков вычислений. Это связано с тем, что понятия числа и арифметические действия составляют фундаментальную основу начального математического образования.

Проблемой логики выстраивания приемов вычислений занимались такие методисты, как: К.П. Арженников, М.А. Бантова, Н.С. Попова, А.С. Пчелко и др. Иные методисты, такие как А.И. Гольденберг, В.Н. Евтушевский, В.Т. Снегирев, Л.Н. Скаткин, С.В. Степанова, М.И. Моро, Я.Ф. Чекмарев и др. уделяли внимание основным средствам формирования в начальной школе устных и письменных навыков вычислений, за счет рационализации вычислительных приемов, и операций, которые в них входят, а также подбора различных упражнений. М.А. Бантова, Н.П. Кицелева, Н.А. Менчинская, М.И. Моро, А.М. Полевщикова и др. изучали теорию вычислений как метод формирования вычислительных умений и навыков, а В.С. Кравченко была представлена индивидуальная методика формирования вычислений.

Методика обучения особенностям изучения сложения и вычитания использует различные подходы к формированию вычислений. Деятельностный подход и методика его использования рассмотрена такими методистами как М.И. Данелич, В.И.Кузнецов, Л.А. Сухина, Т.А. Фадеева показали возможности применения технических средств обучения математике.

Перечислить все исследования, которые повлияли на формирование, разработку и совершенствование методической системы обучения вычислительным навыкам в начальной школе, достаточно сложно. Однако стоит сказать, что все они внесли большой вклад в методическую систему и нашли отражение в учебниках математики начальной школы, авторами которых являются М.А. Бантова, М.И. Моро и др.

Объект – процесс обучения математике в начальной школе.

Предметом исследования являются особенности изучения арифметических действий с числами в пределах 20 в начальном курсе математики.

Цель – выявить методические особенности овладения действиями сложения и вычитания чисел в пределах 20 в курсе математики начальной школы.

Гипотеза: выявленные особенности: будут способствовать эффективному овладению действиями сложения и вычитания в пределах 20.

Для достижения цели исследования и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Проанализировать состояние разработанности проблемы в педагогической литературе.
2. Определить сущность и специфические особенности методики арифметических действий в пределах 20.
3. Исследовать основные тенденции изучения арифметических действий в пределах 20 на современном этапе функционирования общеобразовательной школы.
4. Проанализировать развивающие задания для младших школьников, направленные на понимание смысла арифметических действий сложения и вычитания, представленные в различных УМК.
5. Организовать экспериментальную работу по изучению арифметических действий сложения и вычитания в курсе математики первого класса.
6. Наглядно представить результаты опытно–экспериментальной работы по изучению арифметических действий сложения и вычитания по учебным пособиям.
7. Привести методические рекомендации по изучению арифметических действий сложения и вычитания в пределах 20.

Для написания работы используются следующие методы исследования:

Теоретические: системный анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования, моделирование педагогических процессов.

Эмпирические: наблюдение, беседы с учителями и преподавателями, изучение и обобщение опыта общеобразовательных учреждений по реализации методики изучения арифметических действий в пределах 20.

Экспериментальная база исследования: начальная школа Государственного бюджетного общеобразовательного учреждения города Москвы «Школа № 851», 1А и 1Б классы.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

1.1 . Арифметические действия в начальном курсе математики первого класса и методика их изучения

Одним из основных разделов курса математики в 1-м классе является «Числа 1–10 и число 0». Понятие «число» относится к первичным понятиям математической науки.

Натуральное число – это неизменное общее свойство, характеризующее класс конечных эквивалентных множеств.

Понятие «натуральное число» опирается на понятие «множество», «эквивалентность», «взаимно-однозначное соответствие», их следует учитывать при введении каждого числа. Натуральные числа нельзя ни увидеть, ни услышать, ни прикоснуться к ним, то есть они недоступны органам чувств. Пожалуй, единственная возможность сделать их «реальными» – записать [4].

В основе формирования понятия числа в школе лежит счет предметов. Счет – это установление взаимно-однозначного соответствия между элементами заданного конечного множества и числами – элементами начального отрезка натурального ряда. Число выступает как результат счета, то есть названное последним при счете характеризует количество предметов представленной совокупности. Кроме того, в основе операции счета лежит установление взаимно-однозначного соответствия между предметами определенной совокупности и словами-числительными, которые называют начальный отрезок натурального ряда. Поэтому каждое число, названное при счете, характеризует не только количество совокупности, но и порядок предметов при счете.

Арифметические действия имеют решающее значение для элементарной математики. Это сложный и многогранный процесс, включающий выявление особой важности арифметических операций, свойств операций, отношений и взаимосвязей между компонентами и результатами операций, а также между самими действиями, а также развитие вычислительных навыков и умение решать арифметические задачи [21].

В течение четырехлетнего периода начальной школы у учащихся ведется работа по формулированию понятий натуральных чисел и арифметических операций. С первых дней это происходит в неразрывной связи с рассмотрением разнообразных случаев практического применения этих понятий, с работой, основным направлением которой является усвоение учениками некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений.

Результатом этой работы должно стать усвоение учащимися как теоретических вопросов, включенных в программу, так и осознанного и длительного овладения навыками применения изученных теоретических вопросов для решения различных практических и учебных задач и выполнения устных и письменных расчетов. При этом теоретические и практические аспекты в ходе выполняемой работы должны следовать параллельно и взаимосвязано. Исходя из наблюдений за опытом реализации программы в школьной практике, именно эти требования зачастую не соблюдаются [2].

Это обусловлено тем, что основной акцент учителя направлен на отработку практических навыков, забывая о необходимости довести до понимания учащих теоретических основ, являющихся опорой для получаемых знаний.

Образовательная область «Математика» в начальных классах состоит из понятий, суждений (истинных высказываний об этих понятиях) и элементарных доказательств. Ее содержанием является теория, которая раскрывает связи между свойствами реальных объектов, отношениями и математическими понятиями.

Математические понятия – это результат обобщения, который отражает общие существенные и отличительные (особые) признаки и свойства предметов или объектов. Процесс их формирования происходит на основе анализа реальных жизненных ситуаций, хорошо знакомых ученикам, и формируется в мыслительной деятельности учащихся в тех знаках и символах, которые образуют математический язык [9].

Итак, сформировать у учащихся математическое понятие – это значит создать в их сознании представление о предмете, объекте или явлении, раскрыть его сущность, создать соответствующие связи и выделить все это в правильную и четкую словесную форму.

В процессе формирования математических понятий у младших школьников на основе компетентного подхода следует обратить внимание на то, что уровень их усвоения определяется не только полнотой раскрытия содержания или формулировки определения, но и умением правильно оперировать понятиями, то есть подводить под них новые объекты, видеть обобщенные существенные признаки понятия в новых условиях. Для крепкого и осмысленного усвоения знаний очень важно знакомить школьников не только с единичными понятиями, но и их группами, классами, раскрывать связи, подчинения, то есть подводить к изучению понятий в определенной системе. Упорядоченная система математических понятий имеет относительно элементарный характер и отражает объекты в их взаимосвязи и взаимозависимости на доступном для младших школьников уровне. Каждое понятие в рамках темы, раздела, класса постепенно расширяется по объему и углубляется по содержанию. От уровня его сформированности зависит сознательное изучение школьниками математических дисциплин в начальной, средней и старшей школе, что, в свою очередь, существенно влияет на усвоение знаний в дальнейшем [15].

С операциями сложения и вычитания, учащиеся первого класса знакомятся при изучении чисел от 1 до 10. На начальном этапе происходит знакомство с математической символикой, которая представляется математическими знаками: «>», «<», «+», «–», учителем показывается возможность их использования.

Учащимся дается пояснение, что каждое последующее число в натуральном ряду можно получить увеличением предыдущего на единицу. Таким образом, формируется начальное понятие о сложении на примере 1+1=2, а затем о вычитании, говоря, что 2–1=1.

Становится очевидным, что арифметические действия сложения и вычитания изучаются параллельно. Помимо знаков «+», «–» учащиеся знакомятся со знаком «=».

За время изучения темы «Десяток» учащимися приобретается важный для дальнейшего изучения математики вычислительный навык, доводится до автоматизма понимание сложения и вычитания чисел в пределах десятка, изучается в полной мере состав первого десятка, появляется понимание первых математических высказываний, которые в ходе урока произносит учитель.

После закрепления навыка сложения и вычитания единицы с числами первого десятка, учитель переходит к обучению сложения и вычитания числа 2.

При этом учителем сначала используется методика присчитывания, которая, как показывает практика, даётся учащимся намного проще, чем следующая за ней методика отсчитывания. Важной частью метода отсчитывания является овладение учащимися навыком обратного счета, который в большинстве случаев учащийся первых классов даётся довольно таки сложно. Кроме того, у учащихся первого класса плохо сформировано понимание того, сколько необходимо вычесть, сколько уже вычли, сколько еще следует вычесть. Изучая числа, входящие в первый десяток, учащимся даётся представление о составе числа.

Прежде чем перейти к арифметическим операциям, необходимо четко осознавать, насколько качественно учащимися усвоены знания, полученные при изучении таких тем, как:

– образование числа как количественной характеристики класса конечных эквивалентных множеств. Данная тема показывает, что число вводится как количественная характеристика класса конечных эквивалентных множеств, на примере ввода числа на основании анализа и сопоставления геометрических фигур;

– обучение написанию цифры, обозначающей данное число. При изучении каждой цифры работа проходит в такой последовательности: рассмотрение образца написания печатной и прописной цифры в учебнике, на таблице или в тетради с печатной основой; объяснения и показа письма цифры учителем на доске; написанные цифры в воздухе; написанные цифры в тетрадях, сначала по пунктирным линиям, а затем самостоятельно;

– обучение соотнесению цифры и числа предметов; числа предметов и цифры. Для счета предметов применяют числа, а для того, чтобы записать числа на доске или в тетради, используют специальные отметки – цифры. Перед учениками ставится задача: обозначить цифрой количество предметов. К примеру, учитель показывает три большие и две маленькие звездочки разного цвета. Учащимся предлагается показать цифру, которая означает количество всех звезд, количество маленьких звездочек, количество голубых звезд и тому подобное. Полезные с точки зрения развития мелкой моторики задачи, в которых требуется обвести столько ячеек в тетради, сколько указано цифрой (5, 2, 1); положить на парту столько зеленых кружочков, сколько обозначено цифрой (1, 4, 2). На этом этапе можно предлагать детям не только задачи для обозначения количества объектов цифрой, но и на запись этой цифры;

– определение места числа в натуральном ряду. Последовательность чисел начального отрезка натурального ряда целесообразно иллюстрировать на числовом луче (рисунок 1):

Рисунок 1– Числовой луч для иллюстрации последовательности чисел

Решая такие задачи, учащиеся постепенно знакомятся со свойствами натурального ряда чисел: в натуральном ряду все числа упорядочены – каждое следующее число больше на 1, а каждое предыдущее, наоборот, меньше на 1, наименьшее натуральное число 1. Кроме того, это является началом для изучения темы – арифметические операции [38].

– сравнение чисел различными способами.

Способ образования пар. Например, надо сравнить числа 3 и 4. Дети выкладывают на парте столько кружочков, сколько обозначает цифра «3»; под кружочками выкладывают столько треугольников, сколько указывает цифра «4»; составляют пары из кружочков и треугольников; выясняют, какие фигуры остались без пары – их больше; каких фигур не хватило для образования пар – их меньше. Запись неравенства дети читают двумя способами: три меньше четырех; четыре более трех. Этот способ сравнения чисел используется в период ознакомления с числами первой пятерки.

Способ сравнения по месту числа в натуральном ряду. Сравнение осуществляется на основании применения правила: «Число, которое идет при счете раньше (позже) данного числа, всегда меньше (больше) этого числа». Например, надо сравнить числа «5» и «7»: число «5» при счете называется раньше, чем число «7», поэтому «5» меньше «7»; число «7» при счете называется позже, чем «5», поэтому «7» больше «5».

Логический способ рассуждения осуществляются на основании знания состава чисел. Например, надо сравнить числа «5» и «4»: число «5» – это «4» и еще «1», «4» и еще «1» больше четырех, поэтому пять больше четырех. Сравним числа «4» и «5»: «4» – это «5» без 1-го, «5» без 1-го менее пяти, поэтому «4» меньше 5-ти.

– изучение состава числа – одна из важных тем, позволяющая в дальнейшем учащимся с легкостью перейти к арифметическим операциям. Ознакомление с составом числа проводится на предметной основе. С этой целью целесообразно использовать две разновидности упражнений: рассмотрение отдельных случаев состав числа и рассмотрение упорядоченной совокупности пар чисел, на которые можно разложить число [23].

Для усвоения состава чисел полезно применять карточки типа «домино»: сначала ученики выполняют простые упражнения – определяют, сколько точек справа, сколько слева, сколько точек всего. Далее детям предлагается найти только те карточки, которые иллюстрируют число. Например: из карточек «домино» выберите те, иллюстрирующие состав числа, например «5» (рисунок 2):

Рисунок 2 – Иллюстрация состава числа с использованием карточек домино

После ознакомления с действием добавления, состав числа рассматривается как представление его в виде суммы двух слагаемых. А после введения конкретного содержания действия вычитания ученики по карточкам «домино» составляют не только два равенства на сложение, но и два – на вычитание. Таким образом, происходит пропедевтика свойства перестановки и взаимосвязи между действиями сложения и вычитания.

Например: 2 + 3 = 5. Слева 2 точки, справа 3 точки; объединяем точки слева направо, будет 5 точек. 3 + 2 = 5.

Справа 3 точки, слева 2 точки; объединяем точки справа налево, получим 5. 5 – 2 = 3.

Всего 5 точек, исключили 2 точки (можно прикрыть их рукой), получим 3 точки. 5 – 3 = 2.

Всего 5 точек¸ исключили 3 точки, осталось 2 точки.

Следует отметить, что детальное освещение методических особенностей изучения нумерации чисел первого десятка позволит учителям начальной школы подготовиться к работе в соответствии с требованиями Государственного стандарта начального общего образования и новой базовой учебной программы для учеников начальной школы.

После введения арифметических операций для чисел первого десятка, учитель переходит к числам второго десятка, которые даются ученикам на основании полученных знаний о составе числа и сложения чисел, находящихся в составе числа [11].

Для усвоения десятичного состава числа применяются упражнения двух видов: образование числа с 1-го десятка и нескольких единиц и разложения числа на десятки и единицы.

Обработка устной нумерации чисел 11 – 20 начинается с образования чисел. Числа 11 – 20 могут быть образованы присоединением 1,2,3, … до десяти, при этом необходимо подчеркнуть характер действия (прибавить один к десяти, два к десяти и т.д.) и связать с этим объяснения названий чисел второго десятка. Получение чисел второго десятка можно проиллюстрировать не только на палочках, но и с помощью арифметических штанг или бусинок и стержня из бусинок.

Прибавляя числа по 1-му, подчеркиваем тем самым, что за пределами десятка числа так же упорядочены, как и в пределах 10-ти. Сразу ученики знакомятся с обозначением полученных чисел с помощью карточек с числом 10 и однозначных чисел [7].

Известно, что уже в первом классе дети знакомятся с коммутативностью (переместительный закон) сложения в форме правил: от перемены мест слагаемых, сумма не меняется. Поразительно, что это правило усваивается практически всеми и часто на всю жизнь. Но это не значит, что ученики сознательно его применяют. Это правило применяется в форме: удобнее добавить не до 3 число 6, а до 6 число 3. Разумеется, удобнее, так как ребенок уже научился добавлять 3 до 6, а не наоборот. Но и в дальнейшем изучение приемов составления учитывает, скорее, «удобство»: удобнее добавлять меньшее число к большему [22].

Опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, связи и зависимости между результатами и компонентами действий, а также десятичный состав чисел, раскрываются приемы устных и письменных вычислений. Такой подход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной стороны, формирование осознанных умений и навыков, так как учащиеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а с другой стороны, при такой системе лучше осваиваются свойства действий и другие вопросы курса [25].

Одновременно с изучением свойств арифметических действии и соответствующих приемов вычислений раскрываются на основе операций над множествами или над числами связи между компонентами и результатами арифметических действий (например, если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое), ведутся и наблюдение за результатами арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов (например, если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое оставить без изменения, то сумма увеличится на столько же единиц) [39].

Для выработки у учащихся навыков вычисления в начальном курсе математики вводится система упражнений. Такие упражнения являются тренировочными и имеют различный характер: решение отдельных примеров, заполнение таблиц, подстановка числовых значений букв и нахождение значений полученных выражений.

В первом классе учитель показывает числовые равенства и неравенства 5 = 5, 4 = 2 + 2 и т.д. непосредственно связанное с изучением арифметического материала и помогает более глубоко раскрыть его.

В данном случае представляются уравнения для начала вида:

* + 2= 6,

7 – *=2 и т.д.

Решение уравнений выполняется на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий, а также способом подбора. В III классе вводится буквенное обозначение переменной. В связи с этим учащимся дают для вычисления выражения и неравенства с переменной (а + b, 15 – b и др.).

Для того чтобы учащимся начальных классов объяснить необходимость операций сложения и вычитания используются некоторые методические подходы:

• первым из таких подходов является решение простых текстовых задач [24];
• ко второму методу относится изложение действий над предметами с использованием математического языка;
• к этому времени учащиеся начальных классов уже имеют понятие о числе, а, следовательно, к третьему подходу можно отнести установление соотношения между «целым» и «частью».

Конкретный смысл арифметических действий раскрывается при помощи решения задач, при этом также раскрываются свойства действий, связи между компонентами и результатами арифметических действий и прочее. Формирование каждого нового понятия всегда связывается с решением тех или иных задач, требующих применения или помогающих понять значение, изучаемого понятия. Учащиеся овладевают структурой задач (условие, вопрос, решение, ответ). В процессе решения задач, учащиеся овладевают практическими умениями и навыками, необходимыми им в жизни, знакомятся с полезными фактами, учатся устанавливать и находить зависимости между величинами.

1.2 . Общая характеристика исследований в области представлений о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов

Одной из важных задач обучения младших школьников математике является формирование у них вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Их усвоение проходит в результате длительного выполнения тренировочных упражнений. Выполнение большого количества однотипных упражнений, безусловно, способствует усвоению вычислительного приема, но вместе с тем снижает познавательную активность, у детей пропадает интерес, рассеивается внимание, растет количество ошибок.

Система задач, направленных на усвоение вычислительных умений и навыков, должна формировать обобщенные способы действий, поощрять учеников к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрения нескольких способов решении задач и оценки их с точки зрения рациональности. Для поддержания интереса к математике и создание положительных эмоциональных ситуаций на уроке учитель должен ознакомить учеников именно с рациональными приемами устного вычисления. Владение этими приемами некоторой степени является своеобразным искусством устного счета. Использование рациональных приемов, которые помогают значительно облегчить процесс вычислений, способствуют формированию положительных мотивов к этому виду учебной деятельности. Поэтому работа по поиску рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органично связано с обучаемым программным материалом [27].

Эта проблематика всегда вызывала огромный интерес у психологов, методистов и учителей. В исследованиях А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Степановой, Я.Ф. Чекмарева, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, Т.И. Фаддейчевой и др., было уделено этому вопросу большое количество внимания. Каждое из исследований внесло значимый вклад в практику обучения вычислениям [19].

Из исследований прошлых лет наибольшим авторитетом пользуются работы М.А. Бантовой, опубликованные дважды в методическом журнале «Начальная школа».

Так, М.А. Бантова вычислительный навык определила, как «высокую степень овладения вычислительными приемами» и выделила следующие его характеристики – правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм, прочность [6].

Под вычислительным умением понимается развернутое осуществление действия, в котором любая операция осознается и контролируется. Вычислительные навыки включают в себя освоение вычислительных методов. Любое вычислительное умение может быть представлено в виде последовательности операций, каждая из которых связана с определенной математической концепцией или свойством.

Важным качеством вычислительного навыка является рациональность, которая непосредственно взаимосвязана с вариативностью. Под рациональностью вычислений следует понимать выбор тех вычислительных операций из возможных, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия».

Повышенное внимание, уделяемое рационализации вычислений, связано с практической направленностью математического образования, то есть развитием способности учащихся применять свои знания, чтобы действовать не только на модели, но и в нестандартных ситуациях и известных методах решить проблему обучения. Знание рационализации арифметики развивает изменчивость мышления, показывает ценность знаний, которые используются [36].

Использование свойств арифметических действий дает возможность учителю повышать интерес учащихся к математике, позволяет пробудить у учеников желание учиться считать быстрее, проще и удобнее. Такой подход поддержит желание использовать математические знания в повседневной жизни.

Умение рационально выполнять расчеты заключается в сознательном применении законов арифметики, применении этих законов в нестандартных условиях, использовании искусственных (универсальных) приемов для упрощения расчетов.

Свойства арифметических действий (переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения) не является специальным предметом изучения в начальной школе, а рассматриваются в связи с формированием устных приемов вычислений. Это означает, что в процессе обучения на конкретных простых числовых примерах рассматриваются различные способы добавления числа к сумме, суммы к числу; вычитания числа из суммы, суммы из числа; умножения суммы на число и др. с целью формирования умения осознанно выбирать те способы, которые позволяют рационально осуществлять процесс вычислений [15].

В начальном курсе математики изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема; конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения.

Несколько слов нужно сказать и о проблеме рациональности в вычислениях, неоднократно разбираемой на страницах журнала «Начальная школа». Авторы публикаций достаточно подробно описывают теоретические основы различных вычислительных приемов, часть из них может успешно применяться учителями при обучении младших школьников. Это способ группировки, умножения и деления на 11, 5, 50, 15, 25 и др., округления одного из компонентов арифметического действия и др.; их теоретическая основа – свойства арифметических действий, ознакомление с которыми происходит в начальном курсе математики [34].

Овладение вычислительными навыками и умениями – сложный и длительный процесс, требующий от учителя значительных усилий, требует обращать внимание на уровень усвоения того или иного материала, на каждом шагу закреплять навыки и совершенствовать их, постоянно усложняя и внося разнообразие в задания для детей [1].

Анализ учебников начальных классов и методических рекомендаций к ним (М.И. Моро, С.И. Волковой, С.В. Степановой, Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких, Н.Б. Истоминой, И.И. Аргинской) показал, что разными авторами отдаётся предпочтение разным методикам. Одним из основных методов, который используется при обучении арифметическим операциям в начальных классах, по мнению Н.Б. Истоминой является методическое моделирование [31].

Ознакомление учащихся с конкретным содержанием арифметических действий сложения и вычитания происходит во время оперирования множествами предметов. Объединяя элементы двух множеств, которые не пересекаются, находим число объединенного множества. Операция объединения двух множеств, которые не пересекаются, раскрывает конкретное содержание действия сложения.

Операция образования дополнения к подмножествам формирует содержание действия вычитания. Численность множества, оставшаяся после удаления части ее элементов, соответствует остатку. Операция удаления части элементов множества раскрывает конкретное содержание действия вычитания.

Во время объяснения смысла арифметических действий в начальной школе целесообразно использовать принцип соотнесения предметной, вербальной, схематической и символической моделей и переход от одной модели к другой. Такой подход особенно важен с точки зрения дальнейшего обучения учащихся решению задач [30].

Рассмотрим различные методические подходы к преподаванию темы.

Последовательное ознакомление с числами от 1 до 10, а также числами второго десятка имеет смысл для менее подготовленных в школу учеников. При формировании понятия о каждом отдельном числе система заданий строится по плану:

• формирование понятия о числе как количественной характеристике класса конечных эквивалентных множеств;
• обозначение числа цифрой: печатная и прописная цифра;
• образование числа из предыдущего;
• обучение написанию цифры;
• соотнесение числа и количества предметов и наоборот;
• счет в прямом и обратном порядке в пределах данного числа;
• сравнение чисел;
• состав числа;
• арифметические операции с числами.

Подготовка к отработке действий сложения и вычитания начинается с первых уроков математики по методической системе М.И. Моро и сводится к нахождению суммы или разности двух предметных множеств пересчётом, что невозможно сделать без предметов или рисунков [43].

По методической системе М.И. Моро работа по изучению действий сложения и вычитания строится в такой последовательности:

На первом этапе (подготовительный период) дети находят сумму или разность двух предметных множеств пересчётом на основе практических упражнений. Подготовительный период длится до окончания изучения нумерации чисел первой пятерки.

На втором этапе происходит непосредственное знакомство с действиями сложения и вычитания (одновременно), дети осознают смысл действий сложения и вычитания и взаимосвязь между ними. Ознакомление с названиями компонентов и результатами действий сложения и вычитания также происходит одновременно.

На третьем этапе учащиеся учатся находить значение выражений в пределах каждого числа на основе состава числа.

Следующий этап – четвертый – посвящается составлению и усвоению таблиц сложения и вычитания.

На пятом этапе формируется умение находить значения выражений с несколькими слагаемыми или несколькими вычитаемыми.

На последнем этапе дети учатся пользоваться обобщенной таблицей Пифагора.

В изучении действий сложения и вычитания в пределах 10 по методической системе М.И. Моро избрана несколько иная последовательность. Здесь можно выделить следующие этапы [43].

1. Нахождение суммы или разности двух предметных множеств перечислением предметов (эти операции выполняются на подготовительном этапе при изучении нумерации чисел).
2. Ознакомление сначала с действием сложения, а затем вычитания; связь между ними и символикой этих действий (такая работа также осуществляется при изучении нумерации).
3. Ознакомление с названиями компонентов и результатом действия сложения (непосредственное знакомство с названиями компонентов и результатом действия вычитания происходит значительно позже).
4. Составление и заучивание таблиц сложения и вычитания в пределах 10; применение табличных результатов для вычисления выражений в двух действиях (одинаковых или разных).
5. Ознакомление с приемами сложения и вычитания числа по частям (группам), а также свойством перестановки действия вычитания.

Если сравнивать различные методические подходы этих ученых, то к основным отличиям следует отнести:

• процесс первичного ознакомления с действиями сложения и вычитания. По методической системе М.И. Моро ознакомление с действиями сложения и вычитания происходит одновременно после изучения нумерации чисел первой пятерки;
• последовательность ознакомления учащихся с названиями компонентов и результатами действий сложения и вычитания. По мнению М.И. Моро эти вопросы целесообразно рассматривать одновременно после изучения нумерации чисел в пределах 10, в начале темы «Сложение и вычитание в пределах 10». По второй методической системе ознакомление учащихся с названиями компонентов и результатом действия сложения происходит в начале изучения темы «Сложение и вычитание в пределах 10», а с названиями компонентов и результатом действия вычитания в конце первого класса;
• особенности ознакомления учащихся с добавлением и вычитанием в пределах 10. По методической системе М.И. Моро проработки темы «Сложение и вычитание в пределах 10» начинается с одновременного изучения состава числа и сложения и вычитания в пределах этого числа. Целесообразность такого подхода обосновывается тем, что понятие «состав числа» и «сложения чисел» имеют общую теоретическую основу – объединение двух множеств, а дальше на основе взаимосвязи действий сложения и вычитания: на примере на сложение можно составить два примера на вычитание. И только следующий этап посвящается составлению и усвоению таблиц сложения и вычитания [42].

В методических комплексах Н.Б. Истоминой уделяется внимание на запоминание таблицы сложения и вычитания.

Получение навыков сложения и вычитания в пределах 20 основано на хорошем знании этих операций в пределах 10, а также при условии знания нумерации и состава чисел в пределах 20.

При изучении действий сложения и вычитания в пределах 20 значимую роль играют наглядные примеры, которые на сегодняшний день представлены во всевозможных пособиях и учебно-методических комплексах (УМК) [30].

К изучению действий с числами в пределах 20 учащиеся переходят во втором классе. При этом дети должны знать названия компонентов действий сложения и вычитания. Подготовительная работа к сложению и вычитанию в пределах 20 заключается в повторении ранее изученного материала, а именно:

• таблицы сложения (вычитания) в пределах 10,
• состава чисел первого десятка,
• дополнения чисел до первого десятка,
• разложения двухзначного числа на десятки и единицы.

Развивающие задания для младших школьников, направленные на понимание смысла арифметических действий сложения и вычитания, представленные в различных УМК

На сегодняшний день на территории Российской Федерации существуют традиционная и инновационные системы обучения. К традиционным системам относятся программы: «Школа России», «Начальная школа ХХI века», «Школа 2000», «Школа 2100», «Гармония», «Перспективная начальная школа, «Классическая начальная школа», «Планета знаний», «Перспектива». К инновационным системам относятся две программы: Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова.

Все программы одобрены Министерством образования и науки РФ и составлены так, чтобы дети к концу начальной школы получили уровень знаний, предусмотренный федеральным государственным образовательным стандартом, то есть обязательный минимум.

Одним из наиболее используемых в Российской Федерации проектов издательства «Просвещение» является на сегодняшний день учебно-методический комплекс (УМК), предназначенный для учащихся начальных классов «Школа России». УМК «Школа России» построен на принципах, единых для всех предметов, являющихся основополагающими для обучения. УМК направлен на обеспечение современного образования начальной школы всеми средствами его реализации на основе Федерального Государственного Образовательного Стандарта (ФГОС).

Каждый УМК содержит в себе комплекс заданий различной сложности. Задания повышенной сложности, которые ассоциируются только с развивающими системами, есть во всех комплектах, но не являются обязательными для усвоения. На самом деле, каждая система рассчитана на определенный склад ума, или, иначе говоря, на разные способы восприятия и обработки информации. А эти процессы у каждого ребенка индивидуальны. Авторство же проявляется в способах подачи материала, дополнительной информации, организации учебной деятельности [2].

Практически у всех авторских обучающих программ есть как достоинства, так и недостатки

Изучение УМК по математике начальных классов показало, что много внимания уделяется именно наглядности представления развивающих заданий, направленностью которых является облегчение понимания арифметических действий.

В учебно-методическом комплексе «Школа России» еще с первых страниц, учащихся завлекают наглядные изображения, позволяющие производить вычисления, которые знакомы детям из жизни.

Все представленные задачи в УМК изложены в интересном, понятном любому учащемуся виде. К примеру, как уже говорилось ранее, учащиеся первого класса, прежде. Чем перейти к арифметическим операциям учатся на конкретных примерах вести счет различных фигур и объектов. Так, в УМК «Школа России» с первых же страниц, им предлагается провести небольшой анализ того, что они видят на страницах учебника. Учебник состоит из двух частей.

Проявляя свои творческие способности, они учатся формулировать вопросы глядя на картинки, а также правильно и четко отвечать на поставленные вопросы.

Рассмотрим конкретные задания, представленные в рассматриваемом учебно-методическом комплексе:

Рисунок 3 – Обучение счету по УМК «Школа России»

На рисунке 3 представлена в красочном виде задача, которая формирует у учащихся начальных классов технику счета. Кроме того, данная задача требует к своему выполнению творческого подхода, т.к. в ней необходимо придумать разного рода вопросы с конкретным словом «сколько». Такого рода задачи дают возможность раскрыть творческий потенциал школьника, увидеть, насколько внимательно им изучено изображение, а красочность позволяет завлечь в работу.

Перейдя к изучению операций сложения и вычитания для начала используются такие фигуры как многоугольники, которые имеют разные цвета (рисунок 4) [33].

Рисунок 4 – Наглядное изображение примеров на вычитание

Так, в УМК «Школа России» задачи дают возможность приобщить школьников к исследовательской и творческой деятельности. На рисунке 5. представлена задача, которая позволяет учащемуся принять самостоятельное решение, используя личные размышления.

Рисунок 5 – Задача на сложение

УМК «Гармония» выпускается под редакцией Н.Б. Истоминой и является системой знаний, основной идеей которых является развивающее обучение. Целью данного комплекса является развитие ребенка, его комфортное обучение и, как результат, подготовка учащегося к самостоятельному мыслительному процессу в процессе дальнейшего его обучения.

Важной задачей любого УМК является обеспечение понимаю ребенком вопросов, подлежащих изучению, а также создание гармоничных условий взаимодействия между учащимся и учителем, а также взаимосвязь учеников друг с другом.

Все УМК состоят из различных комплектов, в которые входят: учебник, учебник – тетрадь, тетради с учебной основой). Для некоторых учебников разработано электронное сопровождение заданий учебника в виде презентаций, предназначенное для работы с интерактивной доской.

Современной наукой наработан ряд методических подходов к разработке темы «Табличное сложение и вычитание с переходом через десяток» в курсе начальной школы. К примеру, по методической системе Н.Б. Истоминой, составление и изучение таблиц производится по постоянному второму слагаемому или вычитаемому, последовательно от меньшего к большему второго слагаемому и соответственно вычитаемому: сначала таблица добавления дополняется новым случаем 9 + 2, а таблица вычитания – 11 – 2. Таким образом, в таблицах сложения и вычитания числа 2 только один новый случай вычисления, а в таблицах сложения и вычитания числа 3 – уже два новых случая и так далее.

Изучение темы «Табличное сложение и вычитание с переходом через десяток» путем содержательных обобщений начинается с формирования вычислительных приемов:

1. сложение и вычитание по частям на основании правила вычитания суммы от числа;
2. добавление на основании переставного закона добавления;
3. вычитание на основании взаимосвязи действий сложения и вычитания;
4. сложение и вычитание способом округления;
5. вычитание на основании правила вычитания числа от суммы.

Только после усвоения приемов добавления по частям и на основе переставного закона вводятся одновременно все таблицы сложения, а после формирования вычислительных навыков вычитание по частям и вычитание на основании взаимосвязи действий сложения и вычитания – все таблицы вычитания.

Рассмотрим методику формирования вычислительных навыков сложения и вычитания по частям. Прием сложение и вычитание по частям не является новым для учащихся. Еще в пределах 10 они добавляли и отнимали числа первой пятерки по частям, но в этой ситуации не имело значения, на какие слагаемые раскладывать второе число (слагаемое или вычитаемое), поэтому вычисления осуществлялись несколькими способами. В пределах 20 существует только один вариант сложения чисел 3 – 9 по частям: на основании разложения на удобные слагаемые, один из которых дополняет первое слагаемое суммы до 10.

Вычитая числа по частям, раскладываем вычитаемое на удобные слагаемые так, чтобы одно из них уменьшало уменьшающееся до 10, потому что от 10 легко отнять несколько единиц.

Исходя из этого, в УМК ученикам предлагается: дополнять (или уменьшать) числа до 10; вспомнить состав чисел и случаи сложения и вычитания на основании нумерации – на основании десятичного состава числа; способы сложения и вычитания по частям чисел первого пятка в пределах 10.

Основываясь на представленные им задания, ученики должны самостоятельно «открыть» прием вычисления. С этой целью предлагаем детям задания на сравнение равенств в каждой колонке:

– Вычислить значение первого выражения. Можно ли при исчислении значение второго выражения рассуждать так же, как и при вычислении значения первого? (Рисунок 6)

Рисунок 6 – Приемы сложения и вычитания

– Как следует рассуждать при добавлении числа 2? Применим этот способ для второго выражения. Проиллюстрируем воздействия на бусинках: (Рисунок 7)

Рисунок 7 – Работа с бусинами

Благодаря наглядным примера учащимся проще прийти к выводу, что при добавлении по частям с переходом через разряд надо второе слагаемое представить в виде суммы удобных приложений, так, чтобы дополнить первое слагаемое до 10.

Можно сформулировать это так:

1. представляю второе слагаемое в виде суммы удобных слагаемых, так, чтобы дополнить первое слагаемое в 10,
2. дополняю первое слагаемое до 10;
3. добавляю остальные единицы.

Рассмотрим задания по математике для начальных классов, которые входят в УМК «Гармония».

Изучение двухзначных чисел начинается с введения числа 10. Дается объяснение, что число 10 состоит из двух цифр: 1 и 0. К примеру (рисунок 8) учащимся необходимо посчитать количество снежинок, и проверить себя, по образцу.

Рисунок 8 – Задание для изучения числа 10

Как и в любом УМК особое внимание в комплексе «Гармония» уделяется наглядности.

Изучив понятие первого десятка, учащиеся не останавливаются долго на изучении второго десятка, а переходят к изучению понятия десяток в общем смысле. С использованием различных наглядных материалов у учащихся возникает понимание, что достаточно поставить впереди знакомую цифру, чтобы получить новый десяток (рисунок 9).

Рисунок 9 – Изучение разных десятков

Выводы по первой главе

С развитием науки, культуры и техники значение математики растет как в научно-практической деятельности человечества, так и в обучении и воспитании молодежи. Математика повсеместно становится обязательным предметом общеобразовательных школ.

Начальная школа должна быть тем фундаментом, на котором возводится национальное образование.

Большинство вопросов математического образования должно быть усвоено в начальных классах на таком уровне, чтобы стать важным приобретением учеников на всю жизнь. Остальные вопросы программы по математике для начальных классов изучаются с целью подготовки к тщательному изучению соответствующего материала в следующих классах.

Существенным на начальном этапе является овладение вычислительными умениями и навыками, которые являются приоритетной целью изучения математики в начальных классах. Формирование у учащихся умений и навыков действий сложения и вычитания влияет на способность самостоятельно ставить цели, и находить пути их решения.

Ведущая роль математики состоит в развитии логического мышления, формировании алгоритмического мышления, воспитании навыков умственного труда (планирование, поиск рациональных путей, критичность)

Формирование у детей умение логически мыслить, неразрывно связано с развитием у них правильного, точного, лаконичного математического языка. Занятия математики должны быть школой воспитания характера и чувств. Обучение математике должно формировать такие черты личности, как трудолюбие, аккуратность; способствовать развитию воли, внимания, воображения учащихся; стимулировать развитие интереса к математике; вырабатывать умение учиться и навыки самостоятельной работы.

Именно в начальных классах при изучении арифметических действий над числами в пределах двадцати и закладывается прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.

---

Страница 1 2