Реферат на тему «Гидродинамика от древних цивилизаций до наших дней»

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ
2. Сущность гидродинамики
3. История развития гидродинамики
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
5. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Гидродинамика изучает законы движения жидкостей, газов и плазмы. Трудно переоценить значение гидродинамики в современном мире. Гидродинамика, являясь частью физики, занимает одно из первых мест в современном мире по своей значимости. Развитие естественных наук, прежде всего физики, способствовало научно-техническому прогрессу. Достижения теоретической физики находят применение в прикладных науках, которые стремятся реализовать их во всех сферах человеческой деятельности. Достижения теоретической гидродинамики находят применение в таких прикладных науках, как гидравлика, аэродинамика.

Вещество может находиться в четырех агрегатных состояниях: твердом, жидком, газообразном и плазменном. Предмет гидродинамики — жидкости, газы и плазма, которые широко распространены во Вселенной. Жидкости и газы есть повсюду на нашей планете: реки, моря, океаны и атмосфера. В межзвездном пространстве материя в основном находится в газообразном состоянии. Звезды состоят из высокотемпературной плазмы. Гидродинамические процессы в звездах существенно влияют на их эволюцию: перераспределение энергии происходит за счет конвективных движений в звездах, а магнитное поле звезд формируется за счет движения частиц плазмы. Планетарные системы, галактики, кластеры галактик образовались из газообразной среды в результате действия законов гидродинамики. Такие природные явления, как дожди, туманы, ветры, тайфуны, торнадо, ураганы, торнадо происходят в результате гидродинамических процессов в атмосфере и океане. Человек сильно зависит от них. Чтобы уменьшить эту зависимость, необходимо изучить и научиться применять законы гидродинамики.

Потребности в подводной, судоходной, авиационной, аэрокосмической, ракетной и космической технике внесли свой вклад в развитие гидродинамики. Также в гидродинамике изучаются потоки тел дозвуковыми и сверхзвуковыми газовыми потоками, волновые процессы, образование и свойства ударных волн, процессы сгорания, газодинамические процессы в воздушно-реактивных двигателях и многое другое. В последние десятилетия интенсивно проводятся исследования квантовых гидродинамических свойств, проявляющихся в гелии при низких температурах (явление сверхтекучести); релятивистских процессов в сверхновых взрывах в космосе. Появились новые разделы физики: электро-, магнитная и колебательная гидродинамика. В них соответственно изучается поведение жидкостей и газов в присутствии электрического и магнитного полей и под воздействием колебаний.

Цель настоящей работы – рассмотреть историю развития гидродинамики как науки.

Достижение поставленной цели было реализовано путем следующих методов: изучение, анализ, обобщение.

В структурном отношении настоящая работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.

Сущность гидродинамики

Гидродинамика является частью более крупной области, называемой механикой жидкости, которая изучает, как энергия и силы взаимодействуют с жидкостями, в том числе с газами и жидкостями. Динамика жидкостей является подмножеством этой науки, которая смотрит на эти же материалы, когда они находятся в движении. Аэродинамика — это еще одно подмножество динамики жидкостей, которое специально изучает находящиеся в движении газы, в то время как гидродинамика специально рассматривает находящиеся в движении жидкости.

В научной литературе дано следующее определение гидродинамики: Гидродинамика — раздел физики сплошных сред, изучающий движение идеальных и реальных жидкости и газа. Как и в других разделах физики сплошных сред, прежде всего осуществляется переход от реальной среды, состоящей из большого числа отдельных атомов или молекул, к абстрактной сплошной среде, для которой и записываются уравнения движения[1].

Следует обратить внимание на то, что гидродинамика, несмотря на своё название («гидро» — вода, «динамика» — движение), изучает не только движение жидкости, но и движение газа, хотя на первый взгляд между ними очень много различий.

Гидродинамика широко используется в машиностроении. В некоторых исследованиях основное внимание уделяется потокам, проходящим по трубам, и различным препятствиям. Это очень полезная информация для строительных конструкций, которые пытаются контролировать или перенаправлять поток воды контролируемым образом. Математические уравнения пытаются предсказать скорость течения воды через трубу, которая является ламинарным или непрерывным потоком. Они также пытаются с некоторой степенью точности предсказать закономерности турбулентного или прерывистого течения, как это происходит с таким объектом, как плотина.

Морская гидродинамика является еще одним важным практическим применением науки. Гидродинамическая модель использует формулы, найденные в законах сохранения, для объяснения того, как и почему вода реагирует на окружающую ее среду, и наоборот. До компьютерной эры большинство этих моделей представляли собой мелкомасштабные воссоздания сценариев реальной жизни. Сегодня гидродинамические модели, как правило, представляют собой анимации, созданные компьютером, или формулы, которые могут быть применены к тем же самым условиям реальной жизни.

Гидродинамические модели рассматривают условия в океанах и других водоемах и могут предсказывать различные результаты. Краткосрочные погодные условия часто можно предсказать по действиям океана. С помощью этих моделей можно также прогнозировать экологию того или иного района, поскольку наиболее точные модели могут показывать такую информацию, как уровень воды, соленость, течения и температуру. Ученые могут, например, сказать, будет ли жизнь водных растений благоприятно расти в наступающем году. Это особенно полезно в таких областях, как побережье залива, где жизнь растений в воде влияет на интенсивность ураганов[1].

Не­смот­ря на про­сто­ту за­ко­нов, опи­сы­ваю­щих по­ко­я­щу­ю­ся жид­кость, дви­жу­щая­ся жид­кость дол­гое вре­мя оста­ва­лась (и всё ещё оста­ёт­ся) не­под­вла­ст­на умам учё­ных. Мно­гие ве­ка фи­ло­со­фы пы­та­лись раз­га­дать тай­ны те­че­ния во­ды (са­мой рас­про­стра­нён­ной жид­ко­сти на Зем­ле). Но за­рож­де­ние гид­ро­ди­на­ми­ки как на­у­ки на­ча­лось по­сле от­кры­тия Нью­то­ном сво­их за­ко­нов, ко­то­рые ста­ли от­прав­ной точ­кой для ма­те­ма­ти­че­ско­го опи­са­ния дви­же­ния жид­ко­сти.

История развития гидродинамики

Гидродинамика — одна из древнейших технических наук. Еще за 250 лет до н. э. в древней Греции появились первые трактаты о механике жидкости.

В XVII веке начинает формировать научная  теория гидродинамики. Двое учеников Галилея Бе­не­дет­то Ка­стел­ли  и Эван­дже­ли­ста Тор­ри­чел­ли по­пы­та­лись при­ме­нить от­кры­тия сво­е­го учи­те­ля для объ­яс­не­ния те­че­ния во­ды.

В 1628 го­ду Ка­стел­ли из­дал  ра­бо­ту Della misura dell’ acque correnti, в ко­то­рой он удо­вле­тво­ри­тель­но для сво­е­го вре­ме­ни объ­яс­нил не­сколь­ко яв­ле­ний при дви­же­нии жид­ко­стей в ре­ках и ка­на­лах; од­на­ко он до­пу­стил ошиб­ку, пред­по­ло­жив, что ско­рость вы­те­каю­щей из со­су­да во­ды про­пор­цио­наль­на глу­би­не рас­по­ло­же­ния от­вер­стия под по­верх­но­стью во­ды в со­су­де.

Тор­ри­чел­ли за­ме­тил, что в фон­та­не, в ко­то­ром во­да вы­те­ка­ла из ма­лень­кой на­сад­ки, она под­ни­ма­лась до по­чти той же са­мой вы­со­ты, что и во­да в бас­сей­не, из ко­то­ро­го она по­да­ва­лась. На ос­но­ве это­го он пред­по­ло­жил, что во­да вы­те­ка­ет с той же ско­ро­стью, ко­то­рую она по­лу­ча­ет при па­де­нии с вы­со­ты её по­верх­но­сти в со­су­де (а па­де­ние пред­ме­тов уже бы­ло изу­че­но Га­ли­ле­ем). Он вы­вел тео­ре­му, со­глас­но ко­то­рой ско­рость вы­те­каю­щей жид­ко­сти про­пор­цио­наль­на квад­рат­но­му кор­ню вы­со­ты во­ды в со­су­де. Эта тео­ре­ма бы­ла из­да­на в 1643 го­ду, в кон­це его трак­та­та De motu gravium projectorum, и бы­ла под­твер­жде­на экс­пе­ри­мен­та­ми Ра­фа­эл­ло Ма­гиот­ти (1597–​1656) на во­де, вы­те­каю­щей из раз­лич­ных на­са­док под раз­лич­ны­ми дав­ле­ни­я­ми.

Тео­ре­ма Тор­ри­чел­ли ис­поль­зо­ва­лась мно­ги­ми по­сле­дую­щи­ми ав­то­ра­ми. Среди них следует выделить Эд­ме Ма­ри­от­то, чей Traite du mouvement des eaux, из­дан­ный по­сле его смер­ти в 1686 го­ду, ос­но­ван на боль­шом раз­но­об­ра­зии тща­тель­но про­ве­дён­ных экс­пе­ри­мен­тов с дви­же­ни­ем жид­ко­стей. В об­суж­де­нии не­ко­то­рых из них он до­пу­стил ошиб­ки, ре­зуль­та­ты дру­гих он рас­смат­ри­вал по­верх­ност­но. И он не сде­лал ни од­но­го экс­пе­ри­мен­та для яв­но­го ис­сле­до­ва­ния умень­ше­ния ско­ро­сти вы­те­ка­ния во­ды в ре­зуль­та­те про­хож­де­ния че­рез тон­кую труб­ку. Но он, ка­жет­ся, пер­вый, кто по­пы­тал­ся объ­яс­нить не­со­от­вет­ствие меж­ду тео­ри­ей и экс­пе­ри­мен­том, за­клю­чаю­щее­ся в умень­ше­нии ско­ро­сти во­ды, с по­мо­щью тре­ния. Его со­вре­мен­ник До­ме­ни­ко Гу­льель­ми­ни (1655–​1710), ко­то­рый был ин­спек­то­ром рек и ка­на­лов в Бо­ло­нье, при­пи­сал это умень­ше­ние ско­ро­сти в ре­ках к по­пе­реч­ным те­че­ни­ям, яв­ляю­щим­ся ре­зуль­та­том не­ров­но­стей дна. Но, по­сколь­ку Ма­ри­отт наблю­дал по­доб­ные за­мед­ле­ния дви­же­ния да­же в стек­лян­ных тру­бах, где ни­ка­кие по­пе­реч­ные те­че­ния не су­ще­ство­ва­ли, при­чи­на, на­зна­чен­ная Гу­льель­ми­ни, ка­за­лась Ма­ри­от­ту ли­шен­ной ос­но­ва­ния. По­это­му он рас­це­нил это за­мед­ле­ние, как эф­фект тре­ния. Он пред­по­ло­жил, что ни­ти во­ды, ко­то­рые за­де­ва­ют стен­ки тру­бы, те­ря­ют часть сво­ей ско­ро­сти. Смеж­ные ни­ти, имею­щие большую ско­рость, трут­ся о преды­ду­щие и пе­ре­но­сят умень­ше­ние ско­ро­сти да­лее к оси тру­бы. Ни­ти за­тро­ну­ты по­доб­ным за­мед­ле­ни­ем ско­ро­сти про­пор­цио­наль­но их рас­стоя­нию от оси тру­бы. Та­ким об­ра­зом, сред­няя ско­рость по­то­ка ста­но­вит­ся мень­ше, и, сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство во­ды, вы­те­каю­щей в еди­ни­цу вре­ме­ни, из-за эф­фек­тов тре­ния долж­но быть за­мет­но мень­ше вы­чис­ля­е­мо­го тео­ре­ти­че­ски.

Эф­фек­ты тре­ния и вяз­ко­сти, как при­чи­ны умень­ше­ния ско­ро­сти про­точ­ной во­ды, бы­ли за­ме­че­ны в тру­де Philosophiae Naturalis Principia Mathematica  Иса­а­ка Нью­то­на (1643–​1727), ко­то­рый про­лил мно­го све­та на не­сколь­ко вет­вей гид­ро­ди­на­ми­ки. В то вре­мя, ко­гда де­кар­тов­ская тео­рия вих­рей пре­об­ла­да­ла, он на­шел не­об­хо­ди­мым ис­сле­до­вать эту ги­по­те­зу. В хо­де ис­сле­до­ва­ний Нью­тон по­ка­зал, что ско­рость лю­бо­го слоя вих­ря — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское меж­ду ско­ро­стя­ми сло­ёв, ко­то­рые при­ле­га­ют к не­му; из это­го сле­до­ва­ло, что ско­рость ни­ти во­ды, пе­ре­ме­щаю­щей­ся в тру­бе, рав­на сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му ско­ро­стей ни­тей, ко­то­рые окру­жа­ют её. Ис­поль­зуя в сво­их ин­те­ре­сах эти ре­зуль­та­ты, Ан­ри Пи­то (1695–​1771) впо­след­ствии по­ка­зал, что за­мед­ле­ние, яв­ляю­щее­ся ре­зуль­та­том тре­ния, об­рат­но про­пор­цио­наль­но диа­метру труб, в ко­то­рых пе­ре­ме­ща­ет­ся жид­кость.

Вни­ма­ние Нью­то­на бы­ло так­же при­вле­че­но к ис­сле­до­ва­нию вы­те­ка­ния во­ды из от­вер­стия в ос­но­ва­нии со­су­да. Он рас­смот­рел ци­лин­дри­че­ский со­суд, пол­ный во­ды, с ма­лень­ким от­вер­сти­ем в ос­но­ва­нии, из ко­то­ро­го вы­те­ка­ла во­да. Этот со­суд снаб­жал­ся во­дой та­ким об­ра­зом, что все­гда оста­вал­ся на­пол­нен­ным до од­ной и той же вы­со­ты. Он пред­по­ло­жил, что ци­лин­дри­че­ский столб во­ды раз­де­лен на две ча­сти. Пер­вая, ко­то­рую он на­звал «по­то­ком», яв­ля­ет­ся ги­пер­бо­лои­дом вра­ще­ния, ко­то­рый про­хо­дит че­рез от­вер­стие, а вто­рая — оста­ток во­ды в ци­лин­дри­че­ском со­су­де. Он счи­тал, что го­ри­зон­таль­ные слои это­го ги­пер­бо­ло­и­да все­гда в дви­же­нии, в то вре­мя как оста­ток во­ды на­хо­дит­ся в со­стоя­нии по­коя (сво­е­го ро­да по­ток внут­ри жид­ко­сти). В ре­зуль­та­те этой тео­рии Нью­тон по­лу­чил, что ско­рость, с ко­то­рой во­да вы­те­ка­ет из от­вер­стия, рав­на ско­ро­сти, ко­то­рую па­даю­щее те­ло по­лу­чит, па­дая с по­ло­ви­ны вы­со­ты во­ды в бас­сей­не. Это за­клю­че­ние, од­на­ко, аб­со­лют­но про­ти­во­ре­чи­ло из­вест­но­му фак­ту, со­глас­но ко­то­ро­му вы­со­та вод­ной струи рав­на вы­со­те бас­сей­на, и Нью­тон, ка­жет­ся, знал об этом. Со­от­вет­ствен­но, во вто­ром из­да­нии На­ча́л, ко­то­рое по­яви­лось в 1713 го­ду, он пе­ре­смот­рел свою тео­рию. Он об­на­ру­жил суже­ние струи, вы­хо­дя­щей из от­вер­стия, и на­шел, что на рас­стоя­нии, при­бли­зи­тель­но рав­ном диа­метру от­вер­стия, се­че­ние струи бы­ло мень­ше в два ра­за. Он рас­це­нил сужен­ное се­че­ние струи, как ис­тин­ное от­вер­стие, че­рез ко­то­рое вы­те­ка­ет во­да из со­су­да. В этом слу­чае ско­рость ис­те­каю­щей во­ды как раз со­от­вет­ству­ет всей вы­со­те во­ды в бас­сей­не. Это озна­ча­ет, что его тео­рия ста­ла бо­лее со­от­вет­ство­вать ре­зуль­та­там опы­та, хо­тя все еще стал­ки­ва­лась с се­рьез­ны­ми воз­ра­же­ни­я­ми. Нью­тон был так­же пер­вым, кто ис­сле­до­вал дви­же­ние волн.

Не­смот­ря на не­уда­чу Нью­то­на в ис­сле­до­ва­нии дви­же­ния жид­ко­сти, его за­ко­ны (все­мир­но­го тя­го­те­ния и три за­ко­на дви­же­ния) со­вер­ши­ли про­рыв в ма­те­ма­ти­че­ском опи­са­нии фи­зи­че­ских объ­ек­тов. Ста­нов­ле­ние ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки как точ­ных на­ук на­ча­лось с урав­не­ния Нью­то­на («вто­рой за­кон Нью­то­на»):

Здесь m — мас­са,  — ско­рость, t — вре­мя,  — си­ла.

Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет из­ме­не­ние ско­ро­сти ма­те­ри­аль­ной точ­ки (или твёр­до­го те­ла) под дей­стви­ем си­лы. Его мож­но счи­тать ис­ход­ной па­ра­диг­мой всей фи­зи­ки.

Уже че­рез не­сколь­ко лет по­сле пуб­ли­ка­ции Нью­то­ном сво­их На­чал учё­ные за­ме­ти­ли ту про­сто­ту (и ту точ­ность по­лу­чае­мых ре­зуль­та­тов), с ко­то­рой мож­но при­ме­нять за­ко­ны Нью­то­на для опи­са­ния окру­жаю­ще­го ми­ра. Все по­пыт­ки объ­яс­нить дви­же­ние во­ды с это­го мо­мен­та де­ла­лись на ос­но­ве этих за­ко­нов. Од­на­ко, при­ме­нить их к жид­ко­сти ока­за­лось со­всем не про­стым де­лом. Прой­дёт ещё 60 лет, пре­жде чем Эй­лер смо­жет по­лу­чить ана­лог вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на для жид­ко­сти.

В 1738 го­ду Да­ни­ил Бер­нул­ли (1700–​1782) из­дал свой труд Hydrodynamica seu de viribus et motibus fluidorum commentarii. Его тео­рия дви­же­ния жид­ко­стей, ос­но­вы ко­то­рой бы­ли сна­ча­ла из­да­ны в его био­гра­фии под на­зва­ни­ем Theoria nova de motu aquarum per canales quocunque fluentes, и со­об­ще­ны в Ака­де­мии Санкт-​Пе­тер­бур­га ещё в 1726 го­ду, бы­ла ос­но­ва­на на двух ги­по­те­зах, ко­то­рые ка­за­лись ему со­от­вет­ствую­щи­ми опыт­ным дан­ным. Он пред­по­ло­жил, что по­верх­ность жид­ко­сти, со­дер­жа­щей­ся в со­су­де и вы­те­каю­щей из от­вер­стия, оста­ет­ся все­гда го­ри­зон­таль­ной. Жид­кую мас­су он пред­ста­вил раз­де­лен­ной на бес­ко­неч­ное чис­ло го­ри­зон­таль­ных сло­ёв рав­но­го объ­ё­ма, ка­саю­щих­ся друг дру­га. Ско­рость опус­ка­ния сло­ёв об­рат­но про­пор­цио­наль­на их ши­ри­не (го­ри­зон­таль­ным се­че­ни­ям со­су­да). Что­бы опре­де­лить го­ри­зон­таль­ное дви­же­ние внут­ри каж­до­го слоя, он ис­поль­зо­вал прин­цип conservatio virium vivarum, и по­лу­чил очень изящ­ные ре­ше­ния. Но, в от­сут­ствии об­щей де­мон­стра­ции этих прин­ци­пов, его ре­зуль­та­ты не по­лу­чи­ли до­ве­рия.

Бы­ло же­ла­тель­но иметь бо­лее об­щую тео­рию, за­ви­ся­щую ис­клю­чи­тель­но от фун­да­мен­таль­ных за­ко­нов ме­ха­ни­ки Нью­то­на. Ко­лин Ма­кло­рен (1698–​1746) и Джон Бер­нул­ли (1667–​1748, не пу­тать с Да­ни­и­лом Бер­нул­ли), ко­то­рые при­дер­жи­ва­лись это­го мне­ния, ре­ши­ли про­бле­му бо­лее пря­мы­ми ме­то­да­ми. Пер­вый — в его Fluxions, из­дан­ных в 1742 го­ду, а вто­рой — в его Hydraulica nunc primum detecta, et demonstrata directe ex fundamentis pure mechanicis (чет­вер­тый том его ра­бот). Ме­тод, ис­поль­зуе­мый Ма­кло­ре­ном, счи­тал­ся не­до­ста­точ­но стро­гим. Ме­тод Джо­на Бер­нул­ли — то­же (по мне­нию Лагран­жа, он стра­дал от не­до­стат­ка чет­ко­сти и точ­но­сти).

Тео­рия Да­ни­и­ла Бер­нул­ли так­же встре­ти­ла со­про­тив­ле­ние в ли­це Жа­на Ле­ро­на Да­лам­бе­ра (1717–​1783), раз­ра­бо­тав­ше­го свою тео­рию. Обоб­щая тео­рию ма­ят­ни­ков Яко­ба Бер­нул­ли (1654–​1705, он об­на­ру­жил прин­цип ди­на­ми­ки, столь про­стой и об­щий, что он сво­дил за­ко­ны дви­же­ний тел к за­ко­ну их рав­но­ве­сия. Да­лам­бер при­ме­нил этот прин­цип к дви­же­нию жид­ко­стей, дав об­ра­зец его при­ме­не­ния в кон­це его Dynamics в 1743 го­ду. Прин­цип был бо­лее пол­но раз­вит им в Traite des fluides (1744), в ко­то­ром он дал про­стые и изящ­ные ре­ше­ния про­блем, ка­саю­щих­ся рав­но­ве­сия и дви­же­ния жид­ко­стей. Он ис­поль­зо­вал те же ги­по­те­зы, что и Да­ни­ил Бер­нул­ли, хо­тя его ис­чис­ле­ние бы­ло вы­строе­но в со­всем дру­гой ма­не­ре. Он рас­смат­ри­вал в каж­дый мо­мент дви­же­ние слоя жид­ко­сти, как со­став­лен­ное из дви­же­ния, ко­то­рое он имел в преды­ду­щий мо­мент, и дви­же­ния, ко­то­рое он по­те­рял. За­ко­ны рав­но­ве­сия меж­ду по­те­ря­ми дви­же­ния да­ли Бер­нул­ли урав­не­ния, пред­став­ляю­щие урав­не­ния дви­же­ния жид­ко­сти. Оста­ва­лось же­ла­тель­ным вы­ра­зить урав­не­ни­я­ми дви­же­ние ча­сти­цы жид­ко­сти в лю­бом за­дан­ном на­прав­ле­нии. Эти урав­не­ния бы­ли най­де­ны Да­лам­бе­ром из двух прин­ци­пов: 1) пря­мо­уголь­ный ка­нал, вы­де­лен­ный в мас­се жид­ко­сти, на­хо­дя­щей­ся в рав­но­ве­сии, сам на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, и 2) часть жид­ко­сти, пе­ре­хо­дя­щая из од­но­го ме­ста в дру­гое, со­хра­ня­ет тот же са­мый объ­ем, ко­гда жид­кость не­сжи­ма­е­ма, или из­ме­ня­ет объ­ём, как буд­то она яв­ля­ет­ся упру­гой. Его ост­ро­ум­ный ме­тод, из­дан­ный в 1752 го­ду в Essai sur la resistance des fluides, был до­ве­дён до со­вер­шен­ства в Opuscules mathematiques, и был пе­ре­нят Лео­нар­дом Эй­ле­ром (1707–​1783).

Ре­ше­ние во­про­сов дви­же­ния жид­ко­стей бы­ло про­из­ве­де­но с по­мо­щью ме­то­да ча­ст­ных про­из­вод­ных Эй­ле­ра. Это ис­чис­ле­ние бы­ло впер­вые при­ме­не­но к дви­же­нию во­ды Да­лам­бе­ром, и поз­во­ли­ло ему и Эй­ле­ру пред­ста­вить тео­рию жид­ко­стей в фор­му­ли­ров­ке, не огра­ни­чен­ной ни­ка­ки­ми осо­бы­ми пред­по­ло­же­ни­я­ми. Пре­жде чем пе­рей­ти к этой тео­рии, нам по­на­до­бит­ся по­ня­тие сплош­ной сре­ды

Сплошная среда — механическая система, обладающая бесконечным числом внутренних степеней свободы. Её движение в пространстве, в отличие от других механических систем, описывается не координатами и скоростями отдельных частиц, а скалярным полем плотности и векторным полем скоростей. В зависимости от задач, к этим полям могут добавляться поля других физических величин (концентрация, температура и др.) Если плотность сплошной среды постулируется равной константе, то такая сплошная среда называется не-сжимаемой. Однако с точки зрения математической строгости следует помнить об одной неточности: все реальные системы обладают пусть большим, но конечным числом степе-ней свободы (например, состоят из атомов). Сплошная же среда обладает не просто бесконечным, а несчетным числом степеней свободы.

Для при­ме­не­ния урав­не­ния Нью­то­на к дви­же­нию сплош­ной сре­ды сле­до­ва­ло пе­рей­ти к опи­са­нию те­че­ния в фик­си­ро­ван­ной точ­ке про­стран­ства, то есть от­не­сти мас­су и си­лу к еди­ни­це объ­ё­ма. Для это­го же по­тре­бо­ва­лось вве­сти суб­стан­цио­наль­ное уско­ре­ние:

где  — опе­ра­тор на­б­ла.

Смысл это­го вы­ра­же­ния в том, что уско­ре­ние жид­ко­сти в фик­си­ро­ван­ной точ­ке про­стран­ства рав­но сум­ме уско­ре­ния ча­стиц жид­ко­сти и из­ме­не­ний ско­ро­сти, при­но­си­мых те­че­ни­ем из со­сед­них об­ла­стей. Жид­кость те­чёт, и под дей­стви­ем сво­е­го те­че­ния пе­ре­но­сит всё, что в ней на­хо­дит­ся, в том чис­ле и ско­рость сво­е­го те­че­ния. Это труд­но по­нять, но ещё труд­нее бы­ло к это­му прий­ти.

На­ко­нец, пе­ре­ход от от­дель­ных тел к кон­ти­ну­у­му по­тре­бо­вал вме­сто со­сре­до­то­чен­ной в точ­ке си­лы вве­де­ния нор­маль­но­го на­пря­же­ния — дав­ле­ния p. В от­ли­чие от нью­то­но­вой ме­ха­ни­ки ока­за­лось, что на­пря­же­ния не за­да­ны апри­о­ри, а са­мо­воз­ни­ка­ют вслед­ствие дви­же­ния жид­ко­сти.

Эй­лер вы­пол­нил пе­ре­ход к кон­ти­ну­у­му. Вы­ве­ден­ные им в 1755 го­ду урав­не­ния дви­же­ния сплош­ной сре­ды, не по­те­ряв­шие ак­ту­аль­ность и в на­ше вре­мя, так и на­зы­ва­ют­ся — эй­ле­ро­вы­ми:

Здесь  — плот­ность жид­ко­сти. Эти урав­не­ния опи­сы­ва­ют те­че­ние не­вяз­кой не­сжи­ма­е­мой жид­ко­сти. Та­кую мо­дель иде­аль­ной сплош­ной сре­ды фон Ней­ман об­раз­но и ост­ро­ум­но на­звал «мо­де­лью су­хой во­ды». Она яви­лась пер­вой па­ра­диг­мой гид­ро­ди­на­ми­ки.

По­яс­ню смысл урав­не­ний Эй­ле­ра. Пер­вое урав­не­ние пред­став­ля­ет со­бой ни что иное, как за­кон Нью­то­на (1), вы­пи­сан­ный для «ку­соч­ка жид­ко­сти».  пред­став­ля­ет со­бой мас­су это­го ку­соч­ка,  — его уско­ре­ние (см. фор­му­лу (2)). В пра­вой ча­сти стоит си­ла, вы­зы­ва­е­мая дав­ле­ни­ем (точ­нее — гра­ди­ен­том дав­ле­ния). Ос­нов­ное от­ли­чие от вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на здесь в том, что урав­не­ние опи­сы­ва­ет не толь­ко из­ме­не­ние ско­ро­сти под дей­стви­ем си­лы (дав­ле­ния), но и из­ме­не­ние си­лы (дав­ле­ния) под дей­стви­ем ско­ро­сти: ле­вая и пра­вая ча­сти здесь рав­но­прав­ны. Вто­рое урав­не­ние го­во­рит о по­сто­ян­стве объ­ё­ма «ку­соч­ка жид­ко­сти»: он мо­жет ме­нять свою фор­му, но не мо­жет ме­нять объ­ём; жид­кость не­сжи­ма­е­ма.

Как уже бы­ло ска­за­но, мо­дель «су­хой во­ды» не учи­ты­ва­ет вяз­кость и сжи­ма­е­мость жид­ко­сти. Но ос­нов­ная пре­гра­да, пре­пят­ство­вав­шая её при­ме­не­нию для ши­ро­ко­го кру­га при­клад­ных за­дач, — от­сут­ствие гра­ниц у жид­ко­сти. По­доб­но элек­тро­маг­нит­но­му по­лю те­че­ние за­ни­ма­ет всё про­стран­ство. Гер­ман фон Гельм­гольц (1821–​1894), пы­та­ясь при­ме­нить эй­ле­ро­вы урав­не­ния ко всё той же за­да­че об ис­те­че­нии жид­ко­сти из со­су­да, в 1858 го­ду пред­ло­жил прин­ци­пи­аль­но но­вую схе­му — ис­те­че­ние с от­хо­дя­щи­ми от кра­ёв от­вер­стия раз­ры­ва­ми (гра­ни­ца­ми во­да-​воз­дух). Его схе­ма на­хо­ди­лась в ви­зу­аль­ном со­гла­сии с ис­те­че­ни­ем во­ды из кра­на вплоть до мо­мен­та тур­бу­ли­за­ции и кап­ледроб­ле­ния струи.

Вве­дя по­верх­но­сти раз­ры­ва, Гельм­гольц сде­лал ре­шаю­щий шаг в при­бли­же­нии мо­де­ли иде­аль­ной жид­ко­сти к дей­стви­тель­но­сти. У не­го та­кой по­верх­но­стью бы­ла сво­бод­ная гра­ни­ца, но впо­след­ствии в ка­че­стве по­верх­но­стей раз­ры­вов в гид­ро­ди­на­ми­ке ис­поль­зо­ва­лись вих­ре­вые пе­ле­ны, кон­такт­ные раз­ры­вы и да­же так на­зы­вае­мые силь­ные раз­ры­вы. Вви­ду это­го кон­цеп­ция ку­соч­но-​раз­рыв­но­го те­че­ния иде­аль­ной жид­ко­сти, вы­дви­ну­тая Гельм­голь­цем, су­ще­ствен­но рас­ши­ря­ет мо­дель Эй­ле­ра. Спра­вед­ли­во­сти ра­ди, сле­ду­ет на­пом­нить, что о воз­мож­но­сти су­ще­ство­ва­ния раз­рыв­ных ре­ше­ний впер­вые упо­мя­нул Нью­тон в На­ча­лах, но его рас­суж­де­ния бы­ли оши­боч­ны.

В рам­ках этой па­ра­диг­мы уда­лось раз­ра­бо­тать тео­рию волн на во­де, как в ли­ней­ном, так и в не­ли­ней­ном при­бли­же­ни­ях (Сто­кер, Уи­зем, Лайт­хилл). Ис­то­рия от­кры­тия со­ли­то­на С. Рас­се­лом, Н. Кру­с­ка­лом и М.Д. За­бу­с­ки во­шла во все учеб­ни­ки по не­ли­ней­ной ме­ха­ни­ке.

Од­ни­ми из ос­нов­ных эле­мен­тов те­че­ния жид­ко­сти яв­ля­ют­ся вих­ри, воз­ни­каю­щие вслед­ствие не­ли­ней­но­сти про­цес­сов дви­же­ния. В ди­на­ми­ке вих­рей раз­ли­чи­мы — но не раз­де­ли­мы — три про­цес­са: рож­де­ние, эво­лю­ция и диф­фу­зия. Мо­дель иде­аль­ной жид­ко­сти (су­хой во­ды) опи­сы­ва­ет эво­лю­цию, ино­гда — рож­де­ние, но ни­ко­гда — диф­фу­зию вих­рей.

Ес­ли бы су­хая во­да су­ще­ство­ва­ла, то, на­лив в ста­кан, мы не смог­ли бы раз­ме­шать её лож­кой. Та­кую во­ду не­воз­мож­но рас­кру­тить: её слои не трут­ся друг о дру­га. При дви­же­нии лож­ки во­да бу­дет рас­хо­дить­ся впе­ре­ди и смы­кать­ся за лож­кой. Да­же вра­щаю­щая­ся пе­ре­го­род­ка, за­ни­маю­щая весь ста­кан от края до края, не со­здаст вра­ще­ние, а лишь бу­дет дви­гать во­ду из сто­ро­ны в сто­ро­ну. И на­обо­рот: вихрь, од­на­ж­ды со­здан­ный в та­кой во­де, бу­дет су­ще­ство­вать веч­но. Его мож­но де­фор­ми­ро­вать, раз­де­лить, но нель­зя оста­но­вить.

Для по­ни­ма­ния про­цес­сов рож­де­ния и дис­си­па­ции вих­рей, а так­же про­цес­сов вза­и­мо­дей­ствия (тре­ния) жид­ко­сти со стен­ка­ми со­су­да, по­на­до­би­лось пе­рей­ти к бо­лее слож­ной мо­де­ли — мо­де­ли «мок­рой во­ды», учи­ты­ваю­щей влия­ние вяз­ко­сти жид­ко­сти [3]:

Ес­ли па­ра­диг­ма Эй­ле­ра стро­и­лась на спе­ку­ля­тив­ной ос­но­ве, ис­хо­дя из ос­нов­ных прин­ци­пов и по­ня­тий ме­ха­ни­ки, то для по­строе­ния но­вой па­ра­диг­мы по­тре­бо­ва­лись не­ко­то­рые апри­о­ри не­из­ве­ст­ные ха­рак­те­ри­сти­ки свойств рас­смат­ри­ва­е­мой сплош­ной сре­ды: в дан­ном слу­чае — вяз­ко­сти, а в об­щем слу­чае — теп­ло­про­вод­но­сти, сжи­ма­е­мо­сти, вто­рой вяз­ко­сти и так да­лее.

В гид­ро­ди­на­ми­ке име­ют­ся три точ­ных за­ко­на со­хра­не­ния: мас­сы, им­пуль­са и энер­гии. На ос­но­ве этих за­ко­нов (пер­вых прин­ци­пов фи­зи­ки) вы­во­дят­ся урав­не­ния дви­же­ния.

Осталь­ные за­ко­ны — при­бли­жен­ные, эм­пи­ри­че­ские. К ним от­но­сят­ся так на­зы­вае­мые за­ко­ны со­стоя­ния, опре­де­ляю­щие за­ви­си­мость ко­эф­фи­ци­ен­тов пе­ре­но­са от мак­ро­ско­пи­че­ских па­ра­мет­ров: за­ко­ны Кла­пей­ро­на, Фи­ка, Нью­то­на, Дар­си и дру­гие. Эти за­ко­ны со­стоя­ния по­лу­ча­ют­ся в рам­ках ки­не­ти­че­ской тео­рии при изу­че­нии ст­рук­ту­ры сре­ды в мас­шта­бе, мень­шем по по­ряд­ку ве­ли­чи­ны, чем гид­ро­ди­на­ми­че­ский мас­штаб. Го­во­ря дру­ги­ми сло­ва­ми, осред­ня­ют­ся про­ис­хо­дя­щие в сре­де внут­рен­ние фи­зи­ко-​хи­ми­че­ские про­цес­сы по ма­лым (атом­но-​мо­ле­ку­ляр­ным) мас­шта­бам.

Впер­вые урав­не­ния дви­же­ния вяз­кой жид­ко­сти вы­пи­сал фран­цуз­ский учё­ный и ин­же­нер Ан­ри На­вье (1785–​1836). Для это­го по­тре­бо­ва­лось вве­сти тен­зор на­пря­же­ний, то есть учесть не толь­ко нор­маль­ные си­лы (дав­ле­ние), но и ка­са­тель­ные си­лы. В пра­вую часть урав­не­ния (3) На­вье ввёл до­пол­ни­тель­ный член, от­вет­ствен­ный за про­яв­ле­ние вяз­ко­сти. Жид­кость, на­пря­же­ния в ко­то­рой ли­ней­но про­пор­цио­наль­ны де­фор­ма­ции, на­зы­ва­ет­ся нью­то­но­вой, по­то­му что впер­вые та­кая ги­по­те­за бы­ла вы­дви­ну­та Нью­то­ном [2]:

Сопротивление, происходящее от недостатка скользкости жидкости, при прочих рав-ных условиях предполагается пропорциональным скорости, с которою частицы жидкости разъединяются друг с другом.

Се­год­ня мы зна­ем, как по­ни­мать его рас­плыв­ча­тое вы­ра­же­ние «ско­ро­сти, с ко­то­рой…». Это — по­пе­реч­ный гра­ди­ент ско­ро­сти жид­ко­сти. Од­на­ко в кон­крет­ной за­да­че о кру­го­вом дви­же­нии Нью­тон вы­во­дит оши­боч­ное усло­вие для тре­ния, на что спу­стя 158 лет по­сле вы­хо­да его На­ча́л ука­зал Джордж Стокс (1819–​1903).

Для нью­то­но­вой жид­ко­сти урав­не­ния со­хра­ни­ли век­тор­ную фор­му:

Здесь  — ко­эф­фи­ци­ент ки­не­ма­ти­че­ской вяз­ко­сти.

Боль­шой вклад в ис­сле­до­ва­ние это­го урав­не­ния внёс все тот же Стокс. По­это­му урав­не­ния (6), а так­же их обоб­ще­ния на слу­чай дви­же­ния жид­ко­стей с дру­ги­ми свой­ства­ми на­зы­ва­ют­ся урав­не­ни­я­ми На­вье–​Сток­са. Урав­не­ния Эй­ле­ра — ча­ст­ный слу­чай урав­не­ний На­вье–​Сток­са при .

Для за­вер­ше­ния ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли те­че­ния вяз­кой жид­ко­сти не­до­ста­ва­ло гра­нич­ных усло­вий на по­верх­но­сти кон­так­та жид­ко­сти с твёр­дым те­лом (для су­хой во­ды это бы­ло про­сто: она ско­ль­зи­ла по всем по­верх­но­стям). Та­кой кон­такт (жид­кость — твёр­дое те­ло или газ — твёр­дое те­ло) про­ис­хо­дит в тон­ком при­сте­ноч­ном слое, где сле­ду­ет учи­ты­вать ше­ро­хо­ва­тость и атом­но-​мо­ле­ку­ляр­ную ст­рук­ту­ру сред. Уже Д. Бер­нул­ли в 1738 го­ду осо­зна­вал, что жид­кость не мо­жет ско­ль­зить по по­верх­но­сти твёр­до­го те­ла [2]:

Наблюдаются огромные различия, главным образом, в части прилипания воды к стенкам трубы; это прилипание заведомо может в некоторых случаях вызывать невероятные эффекты.Фран­цуз Жи­рар в 1813 го­ду счи­тал, что вбли­зи кон­такт­ной по­верх­но­сти име­ет­ся весь­ма тон­кий слой по­ко­я­щей­ся от­но­си­тель­но те­ла жид­ко­сти.

Вто­рая ги­по­те­за при­над­ле­жа­ла На­вье. На ос­но­ва­нии тех же услож­нён­ных мо­ле­ку­ляр­ных пред­по­ло­же­ний, ко­то­рые при­ве­ли его к вы­во­ду урав­не­ний дви­же­ния вяз­кой жид­ко­сти, он уста­но­вил, что на твёр­дой по­верх­но­сти име­ет ме­сто про­скаль­зы­ва­ние жид­ко­сти, при­чём ско­рость про­скаль­зы­ва­ния  про­пор­цио­наль­на на­пря­же­нию тре­ния, то есть , где по­сто­ян­ная  име­ет раз­мер­ность дли­ны, а диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние про­во­дит­ся по на­прав­ле­нию внеш­ней нор­ма­ли к твёр­дой по­верх­но­сти.

На­ко­нец, тре­тью ги­по­те­зу о при­ли­па­нии жид­ко­сти к твёр­дой по­верх­но­сти пер­вым, по-ви­ди­мо­му, вы­дви­нул Ку­лон в 1800 го­ду. В ре­зуль­та­те мно­го­чис­лен­ных опы­тов, а так­же ана­ли­за, про­де­лан­но­го Сток­сом в 1851 го­ду и Макс­вел­лом в 1879 го­ду, бы­ло уста­нов­ле­но, что усло­вие при­ли­па­ния спра­вед­ли­во, ес­ли сре­да не раз­ре­же­на. Вхо­дя­щая в усло­вие На­вье по­сто­ян­ная  по по­ряд­ку ве­ли­чи­ны рав­на дли­не сво­бод­но­го про­бе­га мо­ле­кул га­за. Гид­ро­ди­на­ми­ка не рас­смат­ри­ва­ет яв­ле­ния, про­ис­хо­дя­щие на та­ких ма­лых мас­шта­бах.

В пол­ном ви­де урав­не­ния На­вье–​Сток­са ока­за­лись слиш­ком слож­ны­ми для ре­ше­ния, осо­бен­но в до­ком­пью­тер­ную эпо­ху.

Ре­ши­тель­ное про­дви­же­ние впе­рёд сде­лал Лю­двиг Прандтль (1875–​1953) в 1905 го­ду, пред­ло­жив­ший асимп­то­ти­че­скую кон­цеп­цию по­гра­нич­но­го слоя. В со­от­вет­ствии с этой кон­цеп­ци­ей при ма­лой вяз­ко­сти об­ласть те­че­ния жид­ко­сти мож­но раз­де­лить на две ча­сти: внут­рен­нюю об­ласть, в ко­то­рой вяз­ко­стью мож­но пре­не­бречь, и тон­кую при­гра­нич­ную об­ласть (по­гра­нич­ный слой), в ко­то­рой жид­кость те­чёт па­ра­л­лель­но гра­ни­цам, а ско­рость жид­ко­сти па­да­ет до ну­ля по ме­ре при­бли­же­ния к краю об­ла­сти. На дне по­гра­нич­но­го слоя вы­пол­ня­ет­ся усло­вие при­ли­па­ния, а на его внеш­ней гра­ни­це ре­ше­ние сра­щи­ва­ет­ся с не­вяз­ким внут­рен­ним пре­де­лом. Кро­ме то­го, дав­ле­ние в по­гра­нич­ном слое ока­зы­ва­ет­ся из­ве­ст­ным и рав­ным дав­ле­нию во внеш­нем по­то­ке. Этот факт сни­жа­ет на 1 чис­ло не­из­ве­ст­ных функ­ций, а зна­чит, и чис­ло урав­не­ний. Сам Прандтль глав­ную идею вы­ра­зил та­ки­ми сло­ва­ми [2]:

Поток разделяется на две части, взаимодействующие друг с другом; с одной стороны, мы имеем «свободный поток», который можно рассматривать как не имеющий трения, согласно теоремам Гельмгольца о вихрях, и, с другой стороны, пограничные слои около твёрдых стенок. Движение этих слоёв регулируется свободной жидкостью, но эти слои придают, в свою очередь, свободной жидкости её основные свойства путём выделения вихревых поверхностей.

О на­ли­чии при­сте­ноч­но­го по­гра­нич­но­го слоя бы­ло из­вест­но за­дол­го до Прандт­ля. По­это­му не Прандтль от­крыл по­гра­нич­ный слой. Но он сде­лал боль­шее, по­ка­зав, что по­ня­тие по­гра­нич­но­го слоя — асимп­то­ти­че­ское, что раз­ло­же­ние в по­гра­нич­ном слое сра­щи­ва­ет­ся с внеш­ним ре­ше­ни­ем. Кон­цеп­ция Прандт­ля, су­ще­ствен­но упро­щаю­щая мо­дель вяз­кой жид­ко­сти, от­кры­ла путь к ре­ше­нию при­клад­ных за­дач. Прандтль со­здал мощ­ную на­уч­ную шко­лу: Ж. Ак­ке­рет, А. Бетц, А. Бу­зе­ман, М. Мунк, В. Тол­мин, И.И. Ни­ку­рад­зе, Х. Шлих­тинг и дру­гие.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение можно сделать следующие выводы:

Гидродинамикой называют раздел гидравлики, в котором изучается движение жидкости, обусловленное действием приложенных к ней внешних сил.

Состояние реальной движущейся жидкости в каждой ее точке характеризуется не только плотностью и вязкостью, но и скоростью частиц жидкости, а также гидродинамическим давлением.

Под частицей в гидродинамике понимают условно выделенный объем жидкости, который настолько мал, что можно пренебречь изменением его формы при движении.

Гидродинамика как наука имеет богатую историю своего развития.

Учёный Торричелли (1608–1647) — математик и физик — дал формулу расчета скорости жидкости и изобрел ртутный барометр; Паскаль (1623 -1662) — французский математик и физик — установивший, что значение гидростатического давления не зависит от ориентировки площадки действия; И. Ньютон (1643–1727) — определил решение ряда гидравлических вопросов. Научные основы механики жидкости были заложены тремя учеными XVIII века: Даниилом Бернулли, Эйлером и Д’Аламбером.

Глубокие исследования различных вопросов, выдвигаемых потребностями гидротехники, привели к появлению новых решений в области теории гидравлики предложенных учёными. Гидродинамика, пройдя нелегкий путь своего становления, привнесла весомый вклад в развитие цивилизации.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бетяев С. К. К истории гидродинамики: научные школы России XX века. //Успехи физических наук, 2018. Том 173, № 4. С. 419–446.
2. Иванов Б. Н. Мир физической гидродинамики: От проблем турбулентности до физики космоса. Изд.2, -М:, URSS, 2010 г., С. 240.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. -М., ГИТТЛ, 1954.
4. Наука гидродинамика: от древних цивилизаций до наших дней / О. Ю. Семенов, Д. В. Бижан, В. О. Жосан [и др.].// Техника. Технологии. Инженерия. — 2016. — № 1 (1). — С. 1-5. — URL: https://moluch.ru/th/8/archive/36/936/ (дата обращения: 17.01.2021).
5. Основы гидродинамики [Электронный ресурс], режим доступа: http://k-a-t.ru/gidravlika/5_gidrodinamika/index.shtml (дата обращения 16.01.2021)
6. Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей. –М.: Известия РАН, сер. МЖГ, 1999, № 6.