Реферат на тему «Линейные динамические модели»

Оглавление

Введение

1. Сушность и применение динамической системы

2.Понятие линейные динамические системы

3. Управляемость линейных динамических систем

Заключение

Список литературы

Введение

Теория линейных динамических систем использует свойства аддитивности и суперпозиции менее активно. Линейная динамическая система, будучи естественным обобщением теплицевых и ганкелевых матриц, размещена в той части линейной теории, в которой нет собственных чисел и соответствующих им собственных функций.

Хотя и то и другое характерно для иллюстрации наиболее важных свойств линейных операторов, редкий специалист по теории управления укажет, не задумываясь, собственную функцию элементарного динамического звена. Более того, само это понятие – собственная функция динамической системы (в отличие от импульсной и переходной характеристик) – не относится к общепринятым научным сообществом. Пояснить создавшееся положение можно следующим.

Практически одновременно с исследованием управляемости линейных систем стала исследоваться управляемость нелинейных систем. Было сделано несколько попыток создания общей, или абстрактной теории систем (работы Калмана Р., Кухтенко А.И., Блкина В.И. и некоторые другие).

Ряд интересных результатов получен благодаря применению методов обшей теории, однако большинство работ посвящено исследованию более частных вопросов.

Много результатов получено при исследовании управляемости динамических систем, принадлежащих конкретным классам систем. Важным классом нелинейных систем является класс билинейных систем, т.е. систем, правые части которых являются билинейными функциями по состояниям и управлениям.

Линейные и билинейные системы являются простейшими моделями локального описания систем управления. А именно, линейная система является моделью системы управления в окрестности точки общего положения, билинейная система является моделью систем управления в окрестности точки покоя.

Целью данной работы является изучение линейные динамические системы.

1. Сушность и применение динамической системы

Значительные успехи в исследовании управляемости нелинейных систем были достигнуты благодаря применению геометрических и алгебраических методов исследования управляемости, в частности применению дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов. Это направление было актуальным на протяжении многих лет. Описание результатов, полученных применением дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов, можно найти в ряде обзоров, в частности в обзоре Андреева Ю.Н., в обзоре Аграчева A.A., Вахрамеева С.А., Гамкрелидзе Р.В. и в обзоре Вахрамеева С.А. и Сарычева A.В. В этих обзорах приводятся результаты по управляемости гладких динамических систем как абстрактных так и более конкретных классов. Некоторые новые результаты отражены в книге Аграчева А.А и Сачкова Ю.Л. Класс систем, линейных по управлению, представляется особенно важным, так как предполагается, что управление будет осуществляться достаточно малыми по величине воздействиями, что не приводит к существенному изменению динамики исходной системы. В рамках дифференциально-геометрического подхода был получен ряд результатов по управляемости систем, линейных по управлению. Следует отметить, что дифференциально-геометрические методы являются наиболее подходящими для исследования свойств локальной управляемости, в целом же проблема управляемости имеет глобальный характер, т.е. относится ко всему пространству состояний. С этой точки зрения интерес представляют нелинейные системы достаточно общего вида.

Однако, разграничение систем по признаку линейный или нелинейный представляется поверхностным и не раскрывает особенностей этих систем.

Действительно, если в линейной системе сделать замену переменных, т.е. рассмотреть ее в новой системе координат, то она станет нелинейной, но сущность ее при этом не изменится. Возможны и обратные замены переменных, превращающие нелинейные системы в линейные. Установить существование таких замен переменных является трудной задачей.

Более адекватным представляется деление систем на классы по характеру поведения (простое или сложное) их траекторий. Сходным, хотя и не тождественным, является деление систем на классы по принципу регулярности или хаотичности поведения их траекторий. Наиболее отчетливо свойства регулярного поведения проявляются у систем Морса-Смейла, а свойства хаотического поведения — у гиперболических систем вблизи их аттракторов достаточно сложной структуры, которые иногда называют странными. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что эта разница поведения проявляется в том, что у систем с регулярным поведением близкие траектории не расходятся на протяжении достаточно большого промежутка времени, а у систем с хаотическим поведением траектории расходятся достаточно быстро. Отметим, что у систем, пограничных между этими классами, указанные свойства ослабляются, и с практической точки зрения отнести эти системы к каким-либо определенным классам иногда бывает затруднительно. В частности, некоторые системы Морса-Смейла с достаточно большим числом компактных инвариантных множеств могут демонстрировать весьма сложное поведение. Как известно, одним из сценариев возникновения хаоса является переход через границу класса систем Морса-Смейла.

Одним из факторов, влияющих на управляемость систем, является ее способность возвращаться в исходные состояния. Свойством возвращаемости могут обладать как системы с регулярным, так и хаотическим поведением.

Другим фактором, влияющих на управляемость систем, является соотношение исходных характеристик пространства состояний с характеристиками, индуцированными системой управления. Например, каким образом управляемость зависит от соотношения исходной топологии пространства состояний и топологии, индуцированной динамической системой управления. Другой пример показывает, что система управления с регулярным поведением индуцирует в пространстве состояний структуру специального клеточного комплекса, свойства которого обусловливают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод Болтянского В.Г. регулярного синтеза управлений. Исследуется вопрос о существовании клеточных комплексов специального вида для рассмотренных классов регулярных систем.

Опыт исследования систем с разными типами поведения показывает, что обычно оказывается невозможно управлять системами с регулярным и хаотическим поведением одними и теми же способами. Для систем с регулярным поведением успешно применяется метод регулярного синтеза управлений. Для систем с хаотическим поведением для управления часто используется существование всюду плотных траекторий. Таким образом, не существует универсального метода исследования управляемости произвольных динамических систем, кроме их численного моделирования. Численное моделирование имеет следующие недостатки.

Во-первых, из-за того, что динамическая система имеет бесконечное множество состояний, часто не представляется возможным ее исчерпывающее исследование. Во-вторых, численное моделирование не дает обычно понимания причин управляемости или неуправляемости динамических систем. Эти обстоятельства являются побудительными мотивами для качественного исследования динамических систем управления, причем при исследовании учитываются особенности систем с регулярным или хаотическим поведением.

Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое [2].

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; «грубая система — это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров») [1].

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Весьма тесно примыкает к таким современным разделам естествознания как неравновесная термодинамика, теория динамического хаоса, синергетика.

Задачей качественной теории динамических систем является нахождение стационарных решений — особых точек и предельных циклов, исследование их устойчивости, выделение областей притяжения устойчивых стационарных режимов в фазовом пространстве. Таким образом выясняется фазовый портрет системы при фиксированных значениях параметров.

Теория бифуркаций помогает в рассмотрении параметрического портрета системы, определяющего, как зависит от параметров расположение бифуркационных границ, на которых происходит изменение числа и типа стационарных решений, а значит, и изменение фазового портрета.

С позиций теории бифуркаций можно выделить две характерные группы систем. К первой отнесем системы, работающие в определенном стационарном режиме. Бифуркационная ситуация для таких систем аномальна, а опасные бифуркации представляют потенциально аварийные ситуации.

Для второй группы систем изменения фазовых портретов в результате бифуркаций — обычная штатная ситуация в процессе работы. Именно изменение числа возможных стационарных режимов делает работу системы эффективной в изменяющихся внешних условиях. Вместе с тем оказалось, что в таких системах могут возникать случаи необычного поведения, связанные с рождением области заторможенного движения в результате опасных бифуркаций.

Проиллюстрируем применения общих закономерностей, полученных при теоретическом исследовании поведения динамических систем в окрестности опасных бифуркационных границ, к решению прикладных задач в конкретных динамических системах второй группы.

Теоретическое исследование динамического поведения реального объекта требует создания его математической модели. Во многих случаях процедура разработки модели состоит в составлении математических уравнений на основе физических законов. Обычно эти законы формулируются на языке дифференциальных уравнений. В результате координаты состояния системы и ее параметры оказываются связанными между собой, что позволяет приступить к решению дифференциальных уравнений при различных начальных условиях и параметрах.

Вообще говоря, получение хорошей математической модели является искусством. Дело в том, что математическую модель динамической системы желательно максимально упростить. В то же время при упрощении уравнений не должно исчезнуть описание тех особенностей поведения, которые предстоит исследовать (недопустимо выплеснуть воду вместе с ребенком).

Главным критерием здесь является соответствие математической модели описываемым реальным процессам. Это определяется сравнением результатов теоретического расчета с результатами эксперимента на конкретном объекте. Модель заслуживает особого признания, если с ее помощью удается теоретически обнаружить новые особенности поведения, которые затем подтверждаются экспериментально. Может оказаться, что математическая модель разработана специалистами по прикладным наукам, а новые явления в поведении этой модели (и соответствующей реальной системы) обнаружены специалистами по теории динамических систем [3].

2.Понятие линейные динамические системы

Понятие линейной динамической системы на уровне физических представлений обычно опирается на так называемый принцип суперпозиции, заключающийся в том, что общий выходной эффект от совокупности входных воз- действий на систему может быть получен суммированием выходных величин от каждого воздействия в отдельности.

Существует даже мнемоническая формула суперпозиции: «Следствие от суммы причин является суммой следствий от каждой из причин в отдельности». Однако с точки зрения общих определений, сформулированных в предыдущих параграфах, нам нет необходимости прибегать к столь неточным и туманным, с точки зрения математики, исходным данным. Сформулируем понятие линейной динамической системы.

Линейной динамической системой называется математическая модель совокупности взаимосвязанных элементов, удовлетворяющая аксиомам определения и следующим условиям:

1) Заданы линейные (векторные) пространства состояний системы Х, мгновенных входных воздействий U, их допустимых значений Ω, мгновенных значений выходных величин У и их допустимых значений Г.

2) Переходная функция состояния  созначениями

 ,

является линейной на множестве  , то есть имеет место соотношение

 , (1)

и удовлетворяет дифференциальному уравнению

 . (2)

3) Выходное отображение  линейно на множестве Х, то есть справедливо соотношение

 . (3)

Мы дали определение обыкновенной линейной динамической системе, то есть системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями. Конкретизируем это общее определение, используя свойства линейного пространства.

Пусть в линейном пространстве Х определен базис и установлена размерность пространства n. Пусть, далее, пространство входных сигналов Ω имеет размерность  . Состояние системы в данный момент времени t будет определяться вектором Х в пространстве состояний. Тогда производная этого вектора  , также являющаяся вектором, может быть разложена по координатам базиса на n составляющих  ,  ,…,  . В силу условия 2 определения правая часть уравнения (4) линейна на множестве  , то есть она является линейной комбинацией векторов X и U. Следовательно, составляющие вектора  можно представить в виде

 , (5)

где функции  ,  являются координатами векторов X и U.

Введем запись векторов в виде матриц-столбцов

 ,  . (6)

и запись координатных функций в виде матриц

 ,  . (7)

Матрица F (t) имеет n строк и n столбцов, матрица G(t) имеет n строк и т столбцов. Используя правило умножения матриц, уравнения (8) можно записать в виде

 . (9)

Пусть пространство выходных величин F имеет размерность р. Тогда, в силу условия 3 определения, формула (10) может быть представлена в виде линейной комбинации составляющих вектора Х и проекций вектора Y:

 (10)

Записывая вектор Yв виде матрицы-столбца

 , (11)

и вводя матрицу координатных функций

 , (12)

получим соотношения (12) в виде

 . (13)

Линейная динамическая система (конечномерная и с непрерывным временем) описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

 . (14)

Если матрицы F, G и Н не зависят от времени, линейная динамическая система будет стационарной.

Первое уравнение () называется уравнением состояний системы, второе — уравнением выходных величин.

3. Управляемость линейных динамических систем

Многие объекты управления могут достаточно точно описываться линейными динамическими моделями. Путем разумного выбора квадратичных критериев качества и квадратичных ограничений в этом случае удается синтезировать весьма удачные управляющие устройства с линейной обратной связью.

         Пусть управляемые динамические системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями

                                    (15)

здесь: — состояние системы; — управляющий вход системы; — выход системы. Таким образом, матрицы A(t), B(t), C(t) имеют соответствующие размерности: n x n, nx r, m x n. Предположим, что  и на управление не наложено каких-либо ограничений.

         Определим назначение системы с физической точки зрения. Пусть — «желаемый» выход системы. Требуется отыскать такое управление u(t), при котором ошибка системы

                                                   (16)

была бы «малой».

         Так как управление u(t) в рассматриваемой задаче не ограничено, то для того чтобы избежать больших усилий в контуре управления и большого расхода энергии, можно ввести в критерий качества соответствующее требование, учитывающее эти факты.

         Часто бывает важно сделать «малой» ошибку в конечный момент переходного процесса.

         Перевод этих физических требований в форму того или иного математического функционала зависит от многих причин. В данной главе будет рассматриваться частный класс критериев качества, имеющих следующий вид:

     (17)

где F, Q(t) – положительно полуопределенные матрицы размерностью m x m;  R(t) – положительно определенная матрица размерностью r x r.

Рассмотрим каждый член функционала (16). Начнем с . Очевидно, так как матрица Q(t) положительно полуопределенная, то этот член неотрицателен при любом e(t) и равен нулю при e(t)=0. Так как , где q_ij(t) – элемент матрицы Q(t), а e_i(t) иe_j(t) – компоненты вектора e(t), то большие ошибки оцениваются «дороже», чем малые.

Рассмотрим член . Так как R(t)- положительно определенная матрица, то этот член положителен при любых  и «наказывает» систему за большие управляющие воздействия сильнее, чем за малые.

Наконец, . Этот член часто называют стоимостью конечного состояния. Его цель – гарантировать «малость» ошибки в конечный момент времени переходного процесса.

Критерий качества (16) удобен математически, и его минимизация приводит к тому, что оптимальные системы оказываются линейными.

Задача оптимального управления формулируется следующим образом: дана линейная динамическая управляемая система (15) и функционал (16). Требуется найти оптимальное управление, т.е. управление, под воздействием которого система (15) двигается таким образом, чтобы минимизировать функционал (16). Поиск решений будет производиться для задач с открытой областью изменений управляющих воздействий и задач, управляющие воздействия в которых принадлежат заданному множеству.

Заключение

Линейной динамической системе можно сопоставить большое количество линейных операторов. Исследование их общих свойств составляет предмет специальных дисциплин, таких как спектральная теория операторов и др. Возможности аналитического изучения ограничены в связи с высокой сложностью возникающих при этом математических задач.

Отсюда ясна полезность предлагаемого в книге флип-метода как удобного инструмента исследования в области, богатой практическими применениями, такими, как идентификация систем. Положительным качеством флип-метода является его индифферентность к наличию математического описания системы, которое используется в самом общем виде только на этапе планирования итерационного эксперимента.

На конечном интервале времени главная сингулярная функция играет, пожалуй, большую роль в описании системы, чем импульсная весовая и переходная характеристики. Это новая и весьма перспективная характеристика. Классическая АЧХ, это график амплитудных коэффициентов усиления простых гармоник. Смысл обсуждаемого формализма сводится к тому, что ДЧХ лежит на АЧХ (коэффициенты усиления круговых гармоник расположены на ней).

Список литературы

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления – Высшая школа. М., 2016, – 616 с.
2. Афанасьев В.Н. Теория оптимального управления непрерывными динамическими системами. Аналитическое конструирование. – М. Физический факультет МГУ 2014, – 170 с.
3. Афанасьев В.Н. Оптимальные системы управления. РУДН. 2015. − 260 с.
4. Лутманов, С.В. Линейные задачи оптимизации: учеб. пособие [Электронный ресурс] /Перм. ун.-т. – Пермь, 2015.- Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. – 195 с.
5. Осипов, В. М. Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений / В. М. Осипов, В. В. Осипов. — M.: МАКС-Пресс, 2015. — 296 с.