Реферат на тему «Математик Эйлер и его научные труды»

Содержание

Введение

Труды Эйлера

Круги Эйлера, их применение в информатике и математике

Вектор Эйлера

Формула Эйлера

Заключение

Список литературы

Введение

Леонард Эйлер — швейцарский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Учёный родился 15 апреля 1707 года в городе Базеле.

Нужно отдать должное, что многие понятия современной математики возникли именно из работ этого выдающегося математика. Данные труды также охватывали области гидродинамики, оптики и астрономии. Интерес Эйлера к математике появился из детства, когда отец преподавал ему предмет. Будущее Леонарда сложилось очень удачно, Иоганн Бернулли, выдающийся математик своего времени в Европе, был другом отца Эйлера, влияние этого великого математика на молодого Леонарда было колоссальным. Отец хотел подготовить сына к карьере в технологии, и именно Бернулли убедил своего друга позволить мальчику изучать математику. На протяжении всей карьеры Эйлер написал несколько учебников и мемуаров, в которых он представил много концепций, особенно в области математического анализа.

Леонард является автором более чем 850 работ, также включая два десятка фундаментальных монографий по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Все работы Эйлера составляют около 90 томов. Примечательно, что большая часть этих результатов датируется двумя последними десятилетиями его жизни, когда он был полностью слеп. Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. К сожалению, позже в стране начались трудные времена, наступила политическая нестабильность. У Леонарда на тот момент уже было приглашение короля Фридриха о переезде в Берлин. В 1741 году Эйлер с семьёй осели в Берлине, и Леонард стал членом Берлинской академии, где в течение 25 лет не останавливался в публикациях. Эйлер стал первым математиком мира, его работы в области математического анализа и теории чисел стали классикой. Новый подход ученого в геометрии привел к рождению новой науки, которую назовут топологией. Вариационное исчисление, изложенное им, содержало целый ряд новых результатов.

Два числа были названы в честь учёного: число Эйлера в исчислении, , а также константа Эйлера-Маскерони, γ, также называемая «постоянной Эйлера». У Леонарда было стремление свести собственные достижения до степени определённых вычисляемых способов. Память Эйлера и его концентрация были чуть ли не «легендарными». Он мог рассказывать всю Энеиду дословно. Его не беспокоили прерывания или отвлечения; фактически, он делал большую часть своей работы, когда его маленькие дети играли возле ног отца. Математик без труда мог производить числовые расчёты в голове. По рассказу Ж. Кондорсе к Леонарду за помощью однажды обратились два студента. Производя сложные вычисления, студенты получили разные результаты. Чтобы получить правильный ответ, они пошли к Эйлеру. Математик произвел вычисления в голове и сказал полученный результат.

Многие математики XVIII века были увлечены развитием анализа, но у Эйлера был сильный интерес к старинной арифметике, который сохранился у математика до конца его жизни. Эйлер  внедрил в математику важную «функцию Эйлера» и определил «теорему Эйлера», а также ввёл, популяризировал многие математические термины, с которыми мы знакомы и по сей день.

Первое по-настоящему большое открытие Эйлера в области математики произошло в 1735 году, когда он решил Базельскую проблему, которую десятилетиями побеждали лучшие математики. Задача состояла в том, чтобы найти точное значение суммирования обратных значений квадратов целых чисел к бесконечности.

В 21-ом веке труды Леонарда помогают многим людям в различных областях техники, математики и информатики. В своей работе я хочу конкретно рассмотреть круги Эйлера, формулу Эйлера, их применение на практике, а также коснуться вклада учёного в области комбинаторики.

Труды Эйлера

Эйлер принадлежит к числу уникальнейших людей, чьё творчество стало достоянием человечества. Леонард создавал учебные пособия по математике для университетов. Они содержали формулы дифференцирования и многочисленные методы неопределенного интегрирования, многие из которых он придумал лично, для определения работы силы и для решения геометрических задач, и он сделал успехи в теории линейных дифференциальных уравнений, которые полезны при решении задач по физике.

Он популяризировал греческую букву π для математической константы, определяемой отношением длины окружности к ее диаметру, которое к шести значащим цифрам равно 3,141590.

Он присвоил букву е  – в настоящее время часто называемую числом Эйлера – для обозначения важной математической константы, значение которой для шести значащих цифр составляет 2,71828.

Он ввел обозначение f(x) для обозначения функции х.

Он ввел букву i, чтобы представлять корень из -1.

Он обнаружил равенство, которое многие математики считают самым прекрасным из когда-либо обнаруженных – тождество Эйлера, которое связывает пять самых важных чисел в математике, три из которых Эйлер назвал и популяризировал именем: e в степени ip + 1 = 0.

Каждый последующий термин в ряду меньше своего предшественника, и математики уже знали, что сумма будет сходиться к определенному значению, но никто не смог точно найти это значение.

Эйлер решил Базельскую проблему, доказав, что когда число членов растет бесконечно, ряд сходится к равному: p в квадрате/6.

Это открытие сделало Эйлера очень популярным в математическом мире.

Вместе с этим он творил новейшую алгебраически-цифирную зодчество рассмотрения. Разумеется, Эйлер давал в теории обобщающих концепций наиболее юному Лагранжу, что красочнее отобразил в собственной концепции умозаключительных функций и механике в период просвещения, в иных областях мышления, повергнувших к формированию новейших крупных мировоззренческих, многознаменательных, общественно-политических концепций. Лагранж напрямую следовал за Эйлером, углубляя и улучшая его способы и концепции.

Следующим шагом к успеху у Леонарда стала публикация  «Механики»  в 1737 году –  большой скачок в математике движения, ставший возможным благодаря собственным нововведениям Эйлера в математическом анализе. Эйлер описал бы анализ как математику бесконечного и бесконечно малого. Сегодня мы могли бы описать анализ примерно и несколько неполно, как сложное исчисление, имеющее дело с пределами и непрерывностью.

В «Механике» Эйлер использовал анализ, чтобы выразить открытия, которые Исаак Ньютон представил 50 лет назад в «Началах», более математически изощрённым и практичным способом.

После «Механики» Эйлер продолжил работу над законами движения. В то время как законы Ньютона применялись к частицам точечных размеров, Эйлер вывел новые законы, которые можно было применить к твёрдым телам с реальными размерами, разработал принципы количества движения и момента количества движения и вывел знакомые дифференциальные уравнения движения для твердых тел, которые сегодня являются описывается как уравнение Ньютона.

В 1748 году Эйлер выпустил книгу Introductio in analysin infinitorum, которую, как и большинство его работ, он написал на простой и элегантной латыни. Её название на английскомязыке – Introduction to the Analysis of the Infinite. Вероятно, это лучший современный учебник по математике. В нём очень подробно рассматривается анализ, изучение математических функций через бесконечные процессы, особенно бесконечные ряды, которые были специализацией Эйлера.

Учёный также внёс множество других вкладов в исчисление, математику, которая безоговорочно властвует в физических науках, достигнув вершины с Institutiones Calculi Differentialis или по-другому Основами дифференциального исчисления, опубликованными в 1755 году, представляя, среди прочего, дифференциальное исчисление функций. Книга Эйлера была основой всей будущей работы в этой области.

Однако, Эйлер писал не только для интеллектуальной элиты. Его двухтомный труд «Письма к немецкой принцессе по разным предметам физики и философии» стал одной из первых научно-популярных книг. Изданный в 1768 и 1774 годах, его читали во всей Европе и Северной Америке. Книга представляла собой сборник из более чем 200 писем, которые Эйлер отправил между 1760-1762 годами Фридерике Шарлотте, когда он обучал её от имени дяди девушки – Фридриха Великого.

Влияние математика было значимым. Несмотря на то, что учеников у Эйлера было немного, Леонард с удовольствием и великодушием разделял собственные идеи. Он любил наблюдать за чужими успешными достижениями, почвой для которых являлись его же идеи и работы.

Круги Эйлера, их применение в информатике и математике

Самым распространённым вкладом Леонарда в математику, которое по сей день используется как в этой науке, так и в информатике, являются круги Эйлера. Рассмотрим же их подробнее.

В математике уже достаточно давно используются рисунки в виде кругов, изображающих множества. Одним из первых, кто воспользовался этим методом, был знаменитый немецкий математик, философ Готфрид Лейбниц .В его черновиках обнаружены рисунки с такими кругами. Позже данный метод основательно развил Леонард Эйлер.

Эйлер из тех уникальных людей, чьи труды стали достоянием всего человечества. По сей день школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но при этом знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность.

В одной из 850 работ Леонарда и появились круги. Впервые Эйлер использовал их в письмах к немецкой принцессе. Он писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Так оно и есть, при решении целого ряда задач, Леонард Эйлер использовал изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера». Позднее ученый Венн использовал точно такой же приём, который был назван диаграммами Венна.

Кругами Эйлера принято называть геометрическую схему, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Данный метод даёт ещё более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел.

А как же круги Эйлера помогают в решении математических задач? Для ответа возьмём несколько примеров:

1. Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть – только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение.  Составим схему – (рисунок в приложении)

В кружке под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой «Р» — по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение.  Обратимся к кругам Эйлера: (рисунок в приложении)

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

3. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение.  (рисунок в приложении)

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит вратарей будет 30-28=2.  Ответ: 2 вратаря.

Однако, круги Эйлера могут быть применимы не только в точных науках, но и в бытовых вопросах. Рассмотрим один из самых важных в наше время – выбор будущей профессии.

Итак, первое и самое важное – это интерес, ведь исходя из него вы будете конкретно знать, что хотите от будущей работы. Важнейшим критерием того, что вы занимаетесь своим делом является удовлетворённость от процесса или результатов. Как минимум, дело не должно вызывать у вас негативных эмоций.

Круг второй. Могу. Очень важно справляться с тем делом, которое вам нравится. Всем известно, что когда что-то получается, то, конечно же, человек удовлетворён этим фактом, что подкрепляет его интерес! «Могу» обуславливается нашими задатками,  способностями и характером.

Круг третий. Деньги. Зависит от востребованности того, что вы делаете, и уровня вашей квалификации. Востребованность в свою очередь зависит от политического, экономического строя и развития технического прогресса. Так, например, во времена СССР,  совершенно не котировались экономисты и бухгалтеры (более чем скромные зарплаты), однако в 90-е годы эти люди оказались «на коне» и стали зарабатывать очень хорошо. Но уже в ближайшем будущем некогда престижные профессии уничтожит технический прогресс.

Результат использования кругов Эйлера проследить на этом примере очень просто: обдумывая, какую профессию выбрать, вы можете либо долго рассуждать, пытаясь понять, что больше подойдет, а можете нарисовать аналогичную диаграмму, ответить на вопросы и сделать логический вывод.

Применять метод очень просто. Также его можно назвать универсальным, то есть подходящим для людей всех возрастов: от детей дошкольного возраста (в детских садах детям преподают круги, начиная с 4-5-летнего возраста) до студентов (задачи с кругами есть, к примеру, в тестах ЕГЭ по информатике) и ученых (круги широко применяются в академической среде).

Вклад Эйлера в комбинаторику

Термин “комбинаторная математика” разные учёные понимают по-разному. Начиная с древних греков, главной математической абстракцией является бесконечность (в виде бесконечного ряда натуральных чисел, безграничной делимости отрезка прямой, неограниченности пространства и т. п.). Немного утрируя, можно сказать, что в отличие от почти всех остальных областей математики, которые в том или ином виде связаны с изучением свойств бесконечных объектов (неограниченных или состоящих из бесконечного множества элементов), комбинаторика включает в себя задачи, относящиеся к свойствам конечных (во всех смыслах) объектов.

Стоит сказать, что Леонард Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений. При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера. Учёный глубоко исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конём. Что также активно используется в информатике.

Занимаясь греко-латинскими квадратами, Эйлер без труда выяснил, что квадратов второго порядка не существует, затем он построил квадраты порядков 3, 4, и 5. Квадрата 6-го порядка ему обнаружить не удалось, и Эйлер высказал гипотезу, что квадратов с порядком такого вида не существует (например, порядка 6, 10, 14 и т. д.). В 1901 году гипотеза Эйлера была доказана французским математиком Гастоном Тарри, который перебрал все возможные варианты такого квадрата. Однако в 1959 году гипотеза была опровергнута двумя индийскими математиками — Р. К. Бозе и С. С. Шриханде, обнаружившими при помощи ЭВМ квадрат порядка 22, и американским математиком Э. Т. Паркером, который нашёл квадрат 10-го порядка.

Позднее были обнаружены квадраты 14, 18 и т. д. порядков. В совместной статье (апрель 1959 года) трое названных выше первооткрывателей показали, что существуют греко-латинские квадраты любого порядка, кроме 2-го и 6-го.

Сам учёный поставил задачу о нахождении квадрата 6 порядка так:

В 6 полках есть 36 офицеров 6 различных званий. Нужно так разместить их в каре, чтобы все офицеры в каждой колонне и шеренге были разных званий и из разных полков. Подобная задача неразрешима.

Другая задача: нужно разложить 16 карт (валеты, дамы, короли и тузы разных мастей) так, чтобы в каждом ряду и столбце было по одной карте каждой масти и значения. Эта задача была известна ещё до Эйлера. Её решением будет любой греко-латинский квадрат порядка 4. Для этой задачи также есть варианты, в которых дополнительно требуется, чтобы на главных диагоналях выполнялись те же требования. В другом варианте требуется, чтобы цвета мастей шли в шахматном порядке. Все эти задачи имеют решения.

Формула Эйлера

Формула Эйлера названа в честь известного математика Леонарда Эйлера, который ввёл данную формулу. Она позволяет связать комплексную экспоненту, то есть показательную функцию с тригонометрическими функциями.

         Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного (действительного) и комплексного числа выполняется следующее равенство: e в степени ix = cosx + i * sinx, где e – это основание натурального логарифма, а i – мнимая единица.

Данная формула впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика, помощника Ньютона, Роджера Котса (1722 год, издана посмертно). Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:

ln(cosx + i * sinx) = ix

Леонард опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» 1748 года, построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Однако, ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы, так как представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя. Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера. Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид: z = r(cosφ + i * sinφ). На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим: z = re в степени iφ. Такая запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь r = |z|, φ = argz.

Заключение

Леонард  Эйлер родился в Швейцарии в 1707 году. Учился в гимназии в родном городе, а затем поступил в Базельский университет. Именно тогда у молодого человека проявился математический талант. После окончания университета, в 1726 году Эйлер был приглашен в Петербургскую академию наук. Внёс значимый вклад в развитие российской науки. Написал множество математических трудов, стал издателем самого первого учебника по теоретической механике. Умер Эйлер 7 сентября 1783 года в возрасте 76 лет в городе Санкт-Петербург.

С момента смерти великого учёного и математика Леонарда Эйлера прошло уже несколько сотен лет, но его труды не потеряли свою актуальность по сей день. Знаменитые круги Эйлера просты только на первый взгляд, на самом деле они имеют довольно широкий спектр применения. Их не просто занимательно рисовать, но это ещё и весьма полезный метод решения задач. Причём не только абстрактных задач на обычных школьных уроках, но и бытовых проблем. Например, выбор будущей профессии.

Формула Эйлера находит своё применение в высших учебных заведениях на физико-математических факультетах, e­ – число Эйлера используется на школьных уроках в старших классах и при округлении равно 2,7, а магический квадрат великого учёного помогает в решении задач информатики.

Из всех математиков XVIII столетия Эйлер представляет для нас особый интерес ещё и потому, что большую часть своей жизни он провёл в России и имел немалое отношение к славе Академии наук.

Кондорсе говорил: «смерть Эйлера считалась великой общественной потерей даже в той стране, где он умер». Петербургская академия наук облачилась по нему в глубокий траур. Мраморный бюст Эйлера всегда будет украшать собой тот зал, в котором проходят академические заседания.

Список литературы

1. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 2015 г.- 286 с.
2. Елизавета Федоровна Литвинова «Леонард Эйлер. Его жизнь и научная деятельность».
3. Юшкевич А.П., История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/ А.П. Юшкевич.- М.: Наука, 1972. – 496
4. Юшкевич А. П., История математики от Декарта до середины XIX столетия/ А.П. Юшкевич.- М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. – 467
5. 300-летие со дня рождения Л. Эйлера. Серия: Выдающиеся личности России.
6. Круги Эйлера https://bulat-tambov.ru/proekty-domov/krugi-eilera-reshenie-chto-takoe-krugi-eilera-primer-resheniya-zadachi-s/
7. Формула Эйлера https://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/formula_eylera_dlya_kompleksnyh_chisel/
8. Греко-латинский квадрат https://amp.ru.google-info.cn/1068653/1/greko-latinskiy-kvadrat.html
9. Вклад Эйлера в комбинаторику http://m.mathnet.ru/links/59a3ffcc278866a2566126fbeb525407/spm20.pdf
10. Труды Леонарда Эйлера http://science.kuzstu.ru/wp-content/Events/Conference/RM/2019/RM19/pages/Articles/90737.pdf