Страницы 1 2
Содержание
Введение
1.Теоретические основы закономерностей вращательного движения
1.1.Понятие вращательного движения твердого тела
1.2.Кинематические и динамические характеристики
1.3 Основные законы вращательного движения
2 Закономерности вращательного движения в изучении механических колебаниях
2.1. Анализ современного состояния изучения механических колебаний в школе
2.2. Методика изучения колебания на основе применения закономерностей вращательного движения в школе
2.3. Методика решения задач
2.4. Лабораторные работы
2.5. Демонстрационный эксперимент
Заключение
Список использованных источников
Введение
Мир животных не знаком с вращательным движением. Поэтому человечество в своем младенчестве ассоциировало движение в основном с поступательным перемещением в пространстве: ходьба человека, бег оленя, полет птиц, стрелы, пули. Наконец, человек изобрел колесо (наконец потому, что американский континент до Колумба не знал колеса).
Но кроме колеса да веретена люди много тысячелетий почти не использовали вращение. Даже астрономы пришли к мысли о вращении Земли лишь во времена Коперника и то через костры инквизиции. Только XX век, заменивший паровую машину с ее возвратно-поступательно движущимися поршнями на турбину и насадивший везде электромоторы, продемонстрировал возможности и преимущества вращательного движения.
Следует признать, что к концу XX века обозначился явный пробел в мировой науке в деле изучения вращательного движения. Пробел, приведший к тому, что человечеством упущено очень многое из того, что давно могло бы приносить ему огромную пользу.
Механическими колебаниями называются периодические изменения физической величины, описывающей механическое движение.
Если в какой-либо точке среды, в которой близко расположенные атомы или молекулы испытывают силовое воздействие, возбужден процесс механических колебаний, то этот процесс будет с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, распространяться от точки к точке. Так возникают механические волны. Как и колебания, волновые процессы различной физической природы имеют много общего. В этом проявляется единство материального мира.
Так, законы вращательного движения занимают среди всех законов природы особое место. Кинематические и динамические характеристики и законы вращательного движения имеют большое прикладное значение не только в механике, но и других разделах физики, являются основой важнейших расчетов в технических приложениях.
Школьные программы по физике содержат материал по разделу «Вращательное движение», объем которого зависит от профиля обучения. В классах с углубленным изучением физики изучают материал не только по кинематике, но и по динамике вращательного движения. Знание этого материала необходимо для усвоения, в частности, раздела «Механические колебания». Учитель, работающий в этих классах, должен иметь соответствующую профессионально-методическую подготовку.
Актуальность темы исследования определяется противоречием между требованиями, предъявляемыми школьными программами для углубленного изучения физики к уровню знаний учащихся; задачами, стоящими перед учителем в процессе обучения.
Объект исследования: механические колебания и волны в механике.
Предмет исследования: методика преподавания механических колебаний и волн на основе применения закономерностей вращательного движения в общеобразовательной школе.
В данной выпускной работе была поставлена цель: систематизация материала раздела «Механические колебания» на основе «теории» вращательного движения и разработка методического материала по его изучению.
Задачи исследования
1. Рассмотреть теоретические основы закономерностей вращательного движения.
2. Систематизировать материал по механическим колебаниям на основе применения закономерностей вращательного движения.
3. Разработать методические рекомендации по изучению механических колебаний.
Для решения поставленных задач нами применялись следующие методы исследования:
1. Изучение учебной, научной и справочной литературы по теме исследования.
2. Экспериментальное исследование законов вращательного движения в школьном курсе физики.
3. Обсуждение полученных результатов с научным руководителем.
Был проведен научно-методический анализ материала по закономерностям вращательного движения и методике его изучения. Он показал, что в задачи преподавания теории вращательного в классах с углубленным изучением физики входит не только формирование знаний, умений и навыков учащихся по кинематике и динамике вращательного движения, но и формирование представлений о роли этой теории в изучении различных вопросов курса физики. Учащиеся должны уметь применять знания к объяснению различных физических явлений.
Практическая значимость: работа будет полезна как студентам педагогических вузов, выходящим на педагогическую практику или при подготовке к практическим занятиям, так и начинающим учителям физики в школе.
1.Теоретические основы закономерностей вращательного движения
1.1. Понятие вращательного движения твердого тела
Вращение твердого тела может осуществляться вокруг неподвижной оси или вокруг точки. Вращательное движение вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. При этом все точки тела за данный промежуток времени поворачиваются на один и тот же угол. Тело, совершающее вращательное движение вокруг неподвижной оси (простое вращательное движение), имеет одну степень свободы, и его положение определяется углом поворота φ, а угловое перемещение — Δφ или dφ.
Вращательное движение задается уравнением φ = φ(t).
Тело, совершающее вращательное движение вокруг одной неподвижной точки (например, движение гироскопа), имеет три степени свободы.
Основной особенностью вращательного движения является следующее обстоятельство: при вращательном движении все точки тела движутся с одной и той же угловой скоростью , угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения .
Уравнением вращательного движения называется уравнение, по которому можно определить угол поворота тела φ в любой момент времени.
Зная уравнение вращательного движения, можно определить мгновенную угловую скорость и угловое ускорение тела в любой момент времени .
Различают следующие виды вращательного движения
Равномерное вращательное движение — это движение с постоянной по модулю и направлению угловой скоростью
Рис. 1 Равномерное вращательное движение
Равноускоренное вращательное движение — это движение, при котором угловая скорость тела постоянно увеличивается на одну и ту же величину за единицу времени. При этом угловое ускорение параллельно скорости и постоянно по модулю.
Рис. 2 Равноускоренное вращательное движение
Равнозамедленное вращательное движение — это движение, при котором угловая скорость тела постоянно уменьшается на одну и ту же величину за единицу времени. При этом угловое ускорение направлено противоположно скорости и постоянно по модулю.
Рис. 3 Равнозамедленное вращательное движение
Переменное вращательное движение — это движение с изменяющимся угловым ускорением
Уравнения вращательного движения
1. Равномерное вращательное движение:
2. Равнопеременное вращательное движение:
При необходимости эти уравнения можно дополнить следующими уравнениями связи:
если движение равноускоренное,
если движение равнозамедленное.
3. Неравномерное вращательное движение:
Графики механического движения
Рис. 4 Графики равномерного вращательного движения
При равномерном вращательном движении скорость тела изменяется по закону , а угол, на который повернулось тело,
Рис. 5 Графики равноускоренного вращательного движения
При равноускоренном вращательном движении скорость тела изменяется по закону , а угол, на который повернулось тело,
Рис. 6 Графики равнозамедленного вращательного движения
При равнозамедленном вращательном движении скорость тела изменяется по закону , а угол, на который повернулось тело, —
Анализируя график, можно получить дополнительную информацию
1. Угловую скорость вращения тела в любой момент времени t можно определить по графику угла поворота тела от времени.
Рис. 7 График угла поворота тела
Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости угла поворота тела от времени равен мгновенной угловой скорости тела в данный момент времени, то есть
2. Угловое ускорение тела в любой момент времени t можно определить по графику угловой скорости. Чем круче график угловой скорости, тем больше мгновенное ускорение.
Рис 8. График угловой скорости
Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости угловой скорости тела от времени равен мгновенному угловому ускорению тела в данный момент времени, то есть
1.2. Кинематические и динамические характеристики
Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — угловое перемещение Δφ или dφ, угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Векторы ⃗⃗ ,⃗⃗ , — это псевдовекторы или аксиальные векторы, не имеющие определенную точку приложения: они откладываются на оси вращения из любой ее точки.
Угловое перемещение — это псевдовектор, модуль которого равен углу поворота Δφ, а направление совпадает с осью, вокруг которой тело поворачивается, и определяется правилом правого винта: вектор ⃗ направлен в ту сторону, откуда поворот тела виден против хода часовой стрелки (рис. 9). В системе СИ угол поворота измеряется в радианах (рад).
Рис. 9 Основные кинематические характеристики вращательного движения тела
Угловой скоростью называется величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела, равная отношению элементарного угла поворота dφ к промежутку времени dt, за который произошел этот поворот, или первой производной угла поворота по времени.
(1)
Вектор угловой скорости ⃗⃗ направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор ⃗ (рис. 1). Единица измерения угловой скорости — рад/с.
Угловое ускорение — это величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости. При вращении тела вокруг неподвижной оси угловое ускорение определяется первой производной угловой скорости по времени.
(2)
Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора ⃗⃗ при ускоренном вращении ( ↑↑ ⃗⃗ ) и противоположно вектору ⃗⃗ — при замедленном вращении ( ↓↑ ⃗⃗ ).
Единица измерения углового ускорения — рад/с2.
Зная угловое ускорение ε, начальное значение угловой скорости 0 и начальное положение тела 0 , можно полностью описать вращение тела.
(3)
При постоянном значении углового ускорения тело совершает равнопеременное вращательное движение.
(4)
Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным. Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения Т. Это время Δt = Т, за которое тело совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол Δφ = 2π радиан.
Значит,
(5)
или
(6)
Число оборотов в единицу времени называется частотой вращения
(7)
Откуда угловая скорость
= 2 . (8)
Между угловыми величинами, характеризующими вращательное движение, и линейными параметрами, определяющими движение отдельных точек вращающегося тела, существует связь. Так, отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Вектор линейной скорости непрерывно меняет свое направление, а величина скорости ν зависит от скорости вращения тела ω и расстояния R рассматриваемой точки до оси вращения.
То же относится к линейному пути ΔS, проходимому отдельной точкой при повороте тела на угол Δφ. Этот путь равен (рис. 1)
Δ = Δ . (9)
Таким образом, линейная скорость ν любой точки тела на расстоянии R от оси вращения связана с угловой скоростью ω выражением, которое получается путем дифференцирования (9) по времени с учетом, что R = const для рассматриваемой точки
(10)
Для величин тангенциального ускорения получим соотношение, продифференцировав линейную скорость ν по времени
(11)
Величина нормального ускорения точек вращающегося тела
(12)
Из соотношений (9-12) видно, почему именно угловые параметры характеризуют кинематику вращательного движения, поскольку отдельные точки, расположенные на разных расстояниях от оси, имеют одинаковые угловые характеристики, но различные линейные, причем последние линейно растут с увеличением расстояния R точки от оси вращения.
В общем случае вектор линейного ускорения состоит из нормальной и тангенциальной составляющих = + , причем нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости, а тангенциальное — быстроту изменения величины скорости.
При равномерном движении по окружности тангенциальная составляющая = 0, так как линейная скорость не изменяется по величине v = const, а поскольку вектор скорости меняет свое направление, нормальная составляющая отлична от О и равна = , где R — радиус окружности, а вектор направлен к центру окружности перпендикулярно линейной скорости.
Основными динамическими характеристиками простого вращательного движения тела являются момент импульса тела относительно неподвижной оси Z, Lz = Izω и кинетическая энергия
где — осевой момент инерции тела относительно оси Z.
При изучении вращения твердых тел вводят понятие момента инерции, характеризующее инертные свойства тела при вращательном движении. При поступательном движении его аналог — масса тела.
Момент инерции тела — величина, характеризующая распределение массы тела относительно оси вращения.
Осевым моментом инерции тела относительно оси OZ называется величина, равная сумме произведений масс всех материальных точек на квадраты их кратчайших расстояний до рассматриваемой оси. Суммирование производится по всем элементарным массам , на которые разбивается тело (рис. 10).
Рис. 10 Осевой момент инерции тела
(13)
где — кратчайшие расстояния точек от оси OZ. Для однородных тел
(14)
где ρ — плотность тела, интегрирование ведется по всему объему тела V. Размерность момента инерции в системе СИ — кг•м2.
Таким образом, осевой момент инерции тела зависит от массы тела, ее распределения относительно оси вращения и от выбора оси вращения. Наиболее просто момент инерции определяется для однородных и симметричных тел вращения, поскольку сводится к вычислению интегралов типа (14).
Для тел произвольной формы — это сложная математическая задача, часто не решаемая, поэтому в этих случаях момент инерции определяется экспериментально. Выражение (14) позволяет достаточно легко рассчитать моменты инерции некоторых однородных и симметричных тел массы т относительно оси, проходящей через центр инерции тела.
Приведем формулы для моментов инерции тел правильной геометрической формы.
1. Тонкое кольцо (или полый тонкостенный цилиндр) радиуса R. Ось вращения перпендикулярна плоскости кольца (торцам цилиндра).
= .
2. Сплошной диск (цилиндр) радиуса R, ось вращения перпендикулярна плоскости диска (торцам цилиндра).
= .
3. Тонкий стержень длины l, ось проходит через середину стержня и перпендикулярна его длине.
= 2 .
4. Однородный шар радиуса R, ось проходит через центр шара.
= 2 .
Момент инерции тела относительно произвольной оси, не проходящей через центр инерции тела, определяется с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния d между этими осями (рис. 11)
= +2 . (15)
Рис. 11 Момент инерции тела
Например, момент инерции тонкого однородного стержня длины l относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно его длине, по теореме Штейнера определяется выражением
(16)
Основная мера взаимодействия тел в механике — это сила. Момент силы — это величина, характеризующая вращательный эффект силы при ее действии на твердое тело.
Момент силы (или вращающий момент) относительно фиксированной оси z — это векторная величина, определяемая выражением
(17)
где — радиус-вектор, проведенный от оси вращения z (перпендикулярно ей) в точку А приложения силы . Вектор силы лежит в плоскости, перпендикулярной оси z (рис. 12).
Рис. 12 Момент силы
Вектор момента силы совпадает с осью z, а его направление определяется правилом правого винта. Модуль момента силы
= sin = , (18)
где α — угол между векторами и или их продолжениями, величина = sin — кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы F, называется плечом силы.
Из определения момента силы относительно оси следует, что если линия действия силы пересекает ось вращения, она не создает вращающего момента, т. е. = 0, поскольку плечо d = 0. Не создают момента также силы, параллельные оси вращения. Единица измерения момента силы — Н·м.
Осевой момент импульса твердого тела — это векторная физическая величина, которая определяет, как количество, так и направленность запасенного телом вращательного движения и равна произведению момента инерции тела относительно оси на угловую скорость
(19)
где Iz — момент инерции тела относительно оси OZ;
— угловая скорость вращения;
— вектор, имеет то же направление, что и вектор — по оси вращения (рис. 13).
Рис. 13 Осевой момент импульса
Размерность момента импульса в системе СИ : кг•м2 рад/с.
1.3 Основные законы вращательного движения
Основной закон динамики вращательного движения.
Пусть ось вращения проходит через центр инерции тела. Продифференцируем (19) по времени, учитывая, что момент инерции тела остается постоянным в течение времени t, получим
(20)
т.е.
(21)
где — векторная сумма моментов приложенных внешних сил.
Это основное уравнение динамики простого вращательного движения тела относительно оси: изменение момента импульса тела зависит только от момента внешних сил.
Закон сохранения момента импульса
Сформулируем закон сохранения момента импульса для замкнутой системы тел. Замкнутой системой называется совокупность тел, взаимодействующих только друг с другом и не взаимодействующих с внешними телами, т. е. все внешние силы , действующие на систему, равны 0, = 0. Замкнутая система — это идеализация. Для реальных систем эта модель применима для случаев, когда
где характеризует взаимодействие внутри системы. Для замкнутой системы тел момент внешних сил = 0, тогда = 0, откуда
(22)
Это закон сохранения момента импульса-, в замкнутой системе момент импульса вращающегося тела не изменяется с течением времени. Если система тел не замкнута, этот закон справедлив, когда суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен 0.
Кинетическая энергия вращающегося тела
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через центр инерции тела
(23)
Для тела массы т, которое катится по горизонтальной плоскости без скольжения, нужно учитывать энергию поступательного движения тела (движение центра масс со скоростью νс). В этом случае полная кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии вращения и кинетической энергии поступательного движения центра масс
(24)
Таким образом, исследование вращательного движения иногда представляет собой весьма сложную и чрезвычайно интересную задачу.
Страницы 1 2