Статистические методы управления качеством продукции

1  2

---

СОДЕРЖАНИЕ

 

РЕФЕРАТ

ВВЕДЕНИЕ

1 Управление запасами

1.2 Классическая модель управления запасами

1.3 Оптимальный план

1.4 Практическая часть

2 Статистические методы управления качеством продукции

2.1 Качество продукции в современных условиях

2.2 О сертификации

2.3 О развитии статистических методов сертификации в России

2.4 Основы теории статистического контроля

2.5 Планы статистического контроля и правила принятия решений

2.6. Практическое применение статистического контроля

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

 

1 Управление запасами

 

Управление запасами (другими словами, материально-техническое снабжение) – неотъемлемая часть работы фирм и организаций. Речь идет о запасах сырья, топлива, материалов, инструментов, комплектующих изделий, полуфабрикатов, готовой продукции на промышленном (или сельскохозяйственном) предприятии, о запасах товаров на оптовых базах, складах магазинов, на рабочих местах продавцов, наконец, у потребителей. Запасы постоянно расходуются и пополняются по тем или иным правилам, принятым на предприятии. Оптимизация этих правил, т.е. оптимальное управление запасами, дает большой экономический эффект.

Математическая теория управления запасами является крупной областью экономико-математических исследований, получившей свое развитие в основном начиная с пятидесятых годов. Предложенная, видимо, еще в 1915 г. Ф.Харрисом классическая модель теории управления запасами, называемая также моделью Вильсона (в связи с тем, что получила известность после публикации работы Р.Г.Вильсона в 1934 г.), является одним из наиболее простых и наглядных примеров применения математического аппарата для принятия решений в экономической области. В то же время формула оптимального размера заказа, полученная в модели Вильсона, широко применяется на различных этапах производства и распределения продукции, поскольку оказывается практически полезной для принятия решений при управлении запасами, в частности, приносящей заметный экономический эффект [1]. Рассмотрим эту модель подробнее.

 

1.2 Классическая модель управления запасами

 

Пусть y(t) – величина запаса некоторого товара на складе в момент времени t, t>0. Дефицит не допускается, т.е. y(t)>0 при всех t. Товар пользуется равномерным спросом с интенсивностью , т.е. за интервала времени  со склада извлекается и поступает потребителям часть запаса величиной В моменты времени t₀ = 0, t₁, t₂,… пополняется запас на складе – приходят поставки величиной Q₀, Q₁, Q₂,… соответственно. Таким образом, изменение во времени величины запаса y(t) товара на складе изображается зубчатой ломаной линией (рис.1), состоящей из наклонных и вертикальных звеньев, причем наклонные отрезки параллельны:

Рис. 1. График изменения величины запаса на складе

Таким образом, в момент t_i величина запаса на складе y(t) скачком увеличивается на Q_i. Следовательно, функция y(t) имеет разрывы в точках t₁, t₂,… Для определенности будем считать, что эта функция непрерывна справа.

Пусть s – плата за хранение единицы товара в течение единицы времени. Поскольку можно считать, что величина запаса y(t) не меняется в течение интервала времени (t; t+dt), где dt – дифференциал, т.е. бесконечно малая, то плата за хранение всего запаса в течение этого интервала времени равна sy(t)dt. Следовательно, затраты за хранение в течение интервала времени [0;T), где T – интервал планирования, пропорциональны (с коэффициентом пропор-циональности s) площади под графиком уровня запаса на складе y(t) и равны:

Пусть g – плата за доставку одной партии товара. Примем для простоты, что она не зависит от размера поставки. Позже покажем, что если эта плата равна g+g₁Q, где Q – размер поставки, то оптимальный план поставки – тот же, что и при отсутствии линейного члена. Будет проанализирована и более сложная модель, в которой предусмотрена скидка с ростом поставки, приводящая к выражению g+g₁Q+ g₂Q² для платы за доставку одной партии товара размером Q.

Пусть n(T) – количество поставок, пришедших в интервале [0;T). При этом включаем поставку в момент t = 0 и не включаем поставку в момент t = T (если такая происходит). Тогда суммарные издержки на доставку товара равны gn(T). Следовательно, общие издержки (затраты, расходы) за время T равны:

Запись  означает, что общие издержки зависят от значений функции y=y(t) при всех 0<t<T. Символ у обозначает функцию как целое. Другими словами, область определения F(T;y) при фиксированном T – не множество чисел, а множество функций.

Общие издержки, очевидно, возрастают при росте горизонта планирования Т. Поэтому часто используют средние издержки, приходящиеся на единицу времени. Средние издержки за время Т равны:

Поскольку товар отпускается со склада с постоянной интенсивностью (скоростью), дефицит не допускается, то доходы от работы склада пропорциональны горизонту планирования, средние доходы постоянны. Следовательно, максимизация прибыли эквивалентна минимизации издержек или средних издержек.

Если задать моменты прихода поставок и величины партий, то будет полностью определена функция y=y(t) при всех 0<t<T. Верно и обратное – фиксация функции y=y(t), 0<t<T, рассматриваемого вида (рис.1) полностью определяет моменты прихода поставок и величины партий. И то, и другое будем называть планом поставок или планом работы системы управления запасами. Для ее оптимизации необходимо выбрать моменты времени t₀ = 0, t₁, t₂,… пополнения запаса на складе и размеры поставляемых партий товара Q₀, Q₁, Q₂,… так, минимизировать средние издержки f_T(y) при фиксированном Т. Модель производственной ситуации (т.е. работы склада) описывается четырьмя параметрами —  (интенсивность спроса), s (стоимость хранения единицы продукции в течение единицы времени), g (стоимость доставки партии товара), Т (горизонт планирования).

Поставленная задача оптимизации работы склада интересна тем, что неизвестно число 2n(T)-1 параметров, определяющих план поставок. Поэтому ее решение не может быть проведено с помощью стандартных методов теории оптимизации.

Решим эту задачу в три этапа. На первом установим, что оптимальный план следует искать среди тех планов, у которых все зубцы доходят до оси абсцисс, т.е. запас равен 0 в момент доставки очередной партии. Цель второго этапа – доказать, что все зубцы должны быть одной и той же высоты. Наконец, на третьем находим оптимальный размер поставки.

 

1.3 Оптимальный план

 

Найдем наилучший план поставок. План, для которого запас равен 0(т.е. y(t) = 0) в моменты доставок очередных партий, назовем напряженным.

Утверждение 1. Для любого плана поставок, не являющегося напряженным, можно указать напряженный план, для которого средние издержки меньше.

Покажем, как можно от произвольного плана перейти к напряженному, уменьшив при этом издержки. Пусть с течением времени при приближении к моменту t₁ прихода поставки Q₁ уровень запаса не стремится к 0, а лишь уменьшается до (где знак «минус» означает предел слева функции y(t) в точке t₁). Тогда рассмотрим новый план поставок с теми же моментами поставок и их величинами, за исключением величин поставок в моменты t = 0 и t = t₁. А именно, заменим на , а  на Тогда график уровня запаса на складе параллельно сдвинется вниз на интервале (0; t₁), достигнув 0 в t₁, и не изменится правее точки t₁. Следовательно, издержки по доставке партий не изменятся, а издержки по хранению уменьшатся на величину, пропорциональную (с коэффициентом пропорциональности s) площади параллелограмма, образованного прежним и новым положениями графика уровня запаса на интервале (0; t₁) (см. рис.2).

Рис. 2. Первый шаг перехода к напряженному плану

Итак, в результате первого шага перехода получен план, в котором крайний слева зубец достигает оси абсцисс. Следующий шаг проводится аналогично, только момент времени t = 0 заменяется на t = t₁. Если есть такая возможность, второе наклонное звено графика уровня запаса на складе параллельно сдвигается вниз, достигая в крайней правой точке t₂ оси абсцисс.

Аналогично поступаем со всеми остальными зубцами, двигаясь слева направо. В результате получаем напряженный план. На каждом шагу издержки по хранению либо сокращались, либо оставались прежними (если соответствующее звено графика не опускалось вниз). Следовательно, для полученного в результате описанного преобразования напряженного плана издержки по хранению меньше, чем для исходного плана, либо равны (если исходный план уже являлся напряженным).

Из утверждения 1 следует, что оптимальный план следует искать только среди напряженных. Другими словами, план, не являющийся напряженным, не может быть оптимальным.

Утверждение 2. Среди напряженных планов с фиксированным числом поставок минимальные издержки имеет тот, в котором все интервалы между поставками равны.

При фиксированном числе поставок затраты на доставку партий не меняются. Следовательно, достаточно минимизировать затраты на хранение.

Для напряженных планов размеры поставок однозначно определяются с помощью интервалов между поставками:

Действительно, очередная поставка величиной Q_i-1 совпадает с размером запаса на складе в момент t_i-1, расходуется с интенсивностью  единиц товара в одну единицу времени и полностью исчерпывается к моменту t_i прихода следующей поставки.

Для напряженного плана издержки по хранению равны

Где  Ясно, что  — произвольные неотрицательные числа, в сумме составляющие Т. Следовательно, для минимизации издержек среди напряженных планов с фиксированным числом поставок достаточно решить задачу оптимизации:

где n = n(T).

Полученная задача оптимизации формально никак не связана с логистикой, она является чисто математической. Для ее решения целесообразно ввести новые переменные

Тогда:

Поскольку  то следовательно, с учетом пре-дыдущего равенства имеем:

Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т.е. при

Тогда:

При этих значениях  выполнены все ограничения оптимизационной задачи. Итак, утверждение 2 доказано.

Для плана с равными интервалами между поставками все партии товара имеют одинаковый объем. Для такого плана издержки по хранению равны

Средние издержки (на единицу времени) таковы:

Итак, минимизация средних издержек – это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число n(T) – самое выгодное число поставок.

Поскольку к моменту Т запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время T должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться Т. Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):

Из балансового соотношения следует, что

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии Q:

Задача состоит в минимизации f₁(Q) по Q. При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения,

Изучим функцию f₁(Q), определенную при Q>0. При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента – как линейная функция. Производная имеет вид

Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при

Получена знаменитая «формула квадратного корня». В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равны Q₀. К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда

Всегда можно указать неотрицательное целое число n такое, что

Утверждение 3. Решением задачи оптимизации

является либо Q₁, либо Q₂.

Действительно, из всех  часть лежит правее Q₀, из них наименьшим является Q₂, а часть лежит левее Q₀, из них наибольшим является Q₁. Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная (2) отрицательна левее Q₀ и положительна правее Q₀, следовательно, функция средних издержек f₁(Q) убывает левее Q₀ и возрастает правее Q₀. Значит, минимум по  достигается при Q = Q₂, а минимум по  — при Q = Q₁ Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3.

Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.

1. Найти Q₀ по формуле квадратного корня (3).
2. Найти n из условия (4).
3. Рассчитать f₁(Q) по формуле (1) для Q = Q₁ и Q = Q₂, где Q₁ и Q₂ определены в (4).
4. Наименьшее из двух чисел f₁(Q₁) и f₁(Q₂) является искомым минимумом, а то из Q₁ и Q₂, на котором достигается минимум – решением задачи оптимизации. Обозначим его Q_opt .

Оптимальный план поставки – это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны Q_opt.

Замечание. Если f₁(Q₁) = f₁(Q₂), то решение задачи оптимизации состоит из двух точек Q₁ и Q₂. В этом частном случае существует два оптимальных плана.

 

1.4 Практическая часть

 

Рассмотрим следующую задачу: на складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т. продукции в день – 50 руб. Плата на доставку одной партии – 980 руб. Горизонт планирования – 10 дней. Найти оптимальный план поставок.

В рассматриваемом случае =5 (т/день), s=50 (руб./т^.день), g=980 (руб./партия), Т = 10 (дней). По формуле (3) рассчитываем

Множество допустимых значений для Q имеет вид

Следовательно, Q₁ = 12,5 и Q₂ = 16,67. Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе – с тремя. Поскольку

Поскольку f₁(Q₁) < f₁(Q₂), то Q_opt = Q₁ = 12,5. Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами.

Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с Q=Q₀. Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом?

Для плана с Q=Q₀ интервал между поставками составляет  дня. Следовательно, партии придут в моменты t₀ = 0; t₁= 2,8; t₂ = 5,6; t₃ = 8,4. Следующая партия должна была бы придти уже за пределами горизонта планирования Т =10, в момент t₄ = 11,2. Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного не полного. К моменту Т =10 пройдет 10 – 8,4 = 1,6 дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено  т продукции и останется 14 – 8 = 6 т. План с Q=Q₀ не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования Т =10.

Подсчитаем общие издержки в плане с Q=Q₀. Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна  трех треугольников – 58,8. Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени t₃ = 8,4 и Т =10, т.е. величинам 14 и 6 соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна 10 – 8,4 = 1,6, а потому площадь трапеции есть  Следовательно, площадь под графиком равна 58,8 + 16 = 74,8, а плата за хранение составляет  руб.

За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты t₀ = 0; t₁= 2,8; t₂ = 5,6; t₃ = 8,4), следовательно, затраты на доставку равны  руб. Общие издержки за 10 дней составляют 3740+3920 = 7660 руб., а средние издержки – 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в 766/704,5 = 1,087 раза, т.е. на 8,7%.

Отметим, что

т.е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т.e. на 0,64%. При этом оптимальный размер партии (12,5 т) отличается от Q₀ = 14 т на 1,5 т, т.е. Q_opt/ Q₀ = 0,89 – различие на 11%. Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции f₁(Q). Это объясняется тем, что в точке Q₀ функция f₁(Q) достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0.

Оба слагаемых в f₁(Q₀) равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,

Таким образом, составляющие средних издержек, порожденные различными причинами, уравниваются между собой.

Средние издержки с плане с Q=Q₀ равны . Интервал между поставками при этом равен

Издержки в течение одного интервала между поставками таковы:

при этом половина (т.е. g) приходится на оплату доставки партии, а половина – на хранение товара.

 

2 Статистические методы управления качеством продукции

 

Одна из наиболее важных областей статистических методов, приносящая к тому же наибольший доход — это обеспечение качества, основанное на применении статистического моделирования. Статистическим методам управления качеством и сертификации и посвящен этот раздел.

Сначала дадим общие сведения о месте статистических методов в принятии решений при управлении качеством и сертификации продукции. Затем рассмотрим статистический контроль качества и продемонстрируем его высокую экономическую эффективность.

 

2.1 Качество продукции в современных условиях

 

Слова «сертификация», «международные стандарты ИСО (т.е. разработанные International Standardization Organization — Международной организацией по стандартизации, сокращенно ISO, по-русски — ИСО) серии 9000 по системам качества» уже навязли в зубах. Менее осознано в нашей стране, что управление качеством — прежде всего применение современных методов статистического моделирования. На Западе (США) и на Востоке (Япония) это — аксиома. Вот типичное высказывание японского менеджера и инженера: «Методы статистики — именно то средство, которое необходимо изучить, чтобы внедрить управление качеством. Они — наиболее важная составная часть комплексной системы всеобщего управления качеством на фирме. В японских корпорациях все, начиная от председателя Совета Директоров и до рядового рабочего в цехе, обязаны знать хотя бы основы статистических методов». Так считает Каору Исикава, президент промышленного института Мусаси, заслуженный профессор Токийского университета [2, с.15].

Раз все японские работники знают про статистические методы — значит, их научили в школе. Во всем мире — в США, Японии и Ботсване — школьники учат статистические методы как один из обязательных школьных предметов, вместе с физикой, химией, математикой и историей. ЮНЕСКО регулярно проводит конференции по преподаванию статистики в средней школе. И вот всем виден результат — качество компьютеров IBM и японских телевизоров. Справедливости ради надо отметить, что популярные ныне международные стандарты ИСО серии 9000 ничем принципиально не отличаются от давних документов КС УКП[1], а в некоторых отношениях КС УКП были более прогрессивными, чем нынешние стандарты ИСО 9000.

Очевидно, овладение основами статистического контроля качества продукции — неотъемлемая часть образования менеджера и инженера.

 

2.2 О сертификации

 

Сертификация — это официальная гарантия поставки производителем продукции, удовлетворяющей установленным требованиям. Поставщики и продавцы должны иметь сертификаты качества на предлагаемые ими товары и услуги. Маркетинг включает в себя работы по сертификации.

За новыми терминами зачастую скрываются хорошо известные понятия, несколько модернизированные в соответствии с современной обстановкой. Так, целесообразно связать комплексную систему управления качеством продукции с маркетингом: «маркетинг в широком смысле — это усовершенствованная, ориентированная на рыночную экономику КС УКП» [3,с.61].

Есть несколько уровней сертификации. Говоря о сертификации продукции, могут иметь в виду качество конкретной её партии. В ряде случаев это оправдано — рядового потребителя интересует качество лишь той единицы продукции, которую он сам приобрёл. Однако установление долговременных хозяйственных связей целесообразно лишь в случае, когда поставщик гарантирует высокое качество не одной, а всех партий своей продукции. Очевидно, для этого должны быть проведены оценка и сертификация технологических процессов и производств, обеспечивающих выпуск этой продукции.

Ещё больше повышается доверие к поставщику, если не только отдельные технологические процессы, но и всё предприятие в целом гарантированно выпускает продукцию высокого качества. Это обеспечивается действующей на предприятии системой качества, удовлетворяющей требованиям Международной организации по стандартизации, выраженным в системе стандартов ИСО 9000.

В условиях рыночной экономики основная характеристика товара — его конкурентоспособность. Очевидно, производителю необходимо уметь оценивать конкурентоспособность перед запуском продукции в производство или началом работы по продвижению на зарубежный рынок. Одним из основных компонентов конкурентоспособности является технический уровень продукции. Фирма, обладающая патентом или новой научно-технической разработкой, имеет более высокий излишек производителя по сравнению с другими фирмами. При принятии решений о выборе направления инвестиционных вложений одна из основных учитываемых характеристик — технический уровень продукции.

Из сказанного вытекает, что сертификация продукции — это современная форма управления качеством продукции. На Западе общепринято, что основная составляющая в управлении качеством продукции — это статистические методы (см., например, отчет Комитета ИСО по изучению принципов стандартизации [4]). В нашей стране внедрение комплексных систем управления качеством (КС УКП), надо признать, сводилось во многом к подготовке документации организационного характера. Статистические методы использовались в промышленности недостаточно, а государственные стандарты по этой тематике зачастую содержали грубейшие ошибки.

Подготовка предприятий к сертификации продукции, технологических процессов и производств, систем качества требует приложения труда квалифицированных специалистов, причем в достаточно большом объеме. Подобную работу обычно проводят специализированные организации.

 

2.3 О развитии статистических методов сертификации в России

 

Более 150 лет статистические методы применяются в России для проверки соответствия продукции установленным требованиям, т.е. для сертификации. Так, еще в 1846 г. действительный член Петербургской академии наук М.В. Остроградский рассматривал задачу статистического контроля партий мешков муки или штук сукна армейскими поставщиками. С тех пор в России в статистическом контроле качества было сделано многое, особенно в области теории: Так, монографии проф. Ю.К. Беляева и проф. Я.П. Лумельского можно смело назвать классическими. Был выпущен и длинный ряд практических руководств, в основном переводных.

С начала 1970-х годов стали разрабатываться государственные стандарты по статистическим методам. В связи с обнаружением в них грубых ошибок 24 из 31 государственного стандарта по статистическим методам были отменены в 1986-87 гг. К сожалению, потеряв правовую силу как нормативные документы, ошибочные стандарты продолжают использоваться как научно-технические издания.

В 1989 г. был организован Центр статистических методов и информатики (ЦСМИ) для работ по развитию и внедрению современных статистических методов. Уже к середине 1990 г. ЦСМИ были разработаны 7 диалоговых систем по современным статистическим методам управления качеством, а именно, СПК, АТСТАТ-ПРП, СТАТКОН, АВРОРА-РС, ЭКСПЛАН, ПАСЭК, НАДИС.

Параллельно ЦСМИ вел работу по объединению статистиков. В апреле 1990 г. в Большом Актовом Зале Московского Энергетического института прошла Учредительная конференция Всесоюзной организации по статистическим методам и их применениям. На Учредительном съезде Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА) в октябре 1990 г. в Московском экономико-статистическом институте эта организация вошла в состав ВСА в качестве секции статистических методов. В 1992г. после развала СССР и фактического прекращения работы ВСА на основе секции статистических методов ВСА организована Российская ассоциация по статистическим методам (РАСМ), а затем и Российская академия статистических методов, существующие и в настоящее время. Коллективными усилиями разработан единый подход к проблемам принятия решений в сертификации и управлении качеством на основе применения современных статистических методов.

Статистический контроль — это выборочный контроль на научной основе. Контроль качества продукции всем знаком хотя бы по названию — им обычно занимается отдел технического контроля (ОТК) предприятия. Есть различные виды контроля — входной контроль, приемочный контроль (готовой продукции), и контроль при передаче полуфабрикатов и комплектующих из цеха в цех. Кроме сплошного контроля всех изделий подряд применяют выборочный, когда о качестве партии продукции судят по результатам контроля некоторой части — выборки.

Зачем нужен выборочный контроль? Чтобы проверить качество спички — надо чиркнуть ею. Загорится — должное качество, не загорится — брак. Но повторно однажды зажженную спичку использовать уже нельзя. Поэтому партию спичек можно контролировать только выборочно. Партии консервов, лампочек, патронов — тоже. Т.е. при разрушающем контроле необходимо пользоваться выборочными методами и судить о качестве партии продукции по результатам контроля её части — выборки.

Выборочные методы контроля могут применяться и из экономических соображений, когда стоимость контроля высока по сравнению со стоимостью изделия. Например, вряд ли целесообразно визуально проверять качество каждой скрепки в каждой коробке.

Для проведения выборочного контроля необходимо сформировать выборку, выбрать план контроля. А если план имеется — полезно знать его свойства. Анализ и синтез планов проводят с помощью математического моделирования на основе теории вероятностей и математической статистики, применяя компьютерные диалоговые системы (пакеты программ).

Компьютерные диалоговые системы позволяют, прежде всего, проводить анализ и синтез планов контроля. Пусть перед Вами — ГОСТ на продукцию, в нем есть раздел «Правила приемки» с планами контроля. Хороша эта система планов или плоха? С помощью диалоговых систем Вы найдете характеристики конкретного плана, приемочный и браковочный уровни дефектности (см. ниже) и т.д. Можно провести и синтез планов, т.е. компьютер поможет принять решение в новых условиях — подберет план, удовлетворяющий Вашим условиям.

Российской ассоциацией статистических методов были проанализированы сотни стандартов на конкретную продукцию (разделы «Правила приемки») и ГОСТы по статистическим методам. Обнаружено, что более половины и тех и других стандартов содержат грубые ошибки, пользоваться ими нельзя. Применение современных статистических методов позволяет в среднем вдвое сократить трудозатраты на контрольные операции (как известно, они составляют расходуют примерно 10% от себестоимости машиностроительной продукции). Следовательно, от повышения эффективности решений менеджеров на основе внедрения современных статистических методов обеспечения качества продукции Россия может получить более 5 миллиардов долларов США дополнительного дохода в год.

Приведем ещё два сообщения о высокой экономической эффективности статистического контроля. «Мы документально зафиксировали экономию от применения методов статистического контроля и методов принятия решений, которым обучили наших сотрудников. Мы приближаемся к степени окупаемости около 30 долларов на 1 вложенный доллар. Вот почему мы получили такую серьезную поддержку от высшего руководства», — сообщает Билл Виггенхорн, ответственный за подготовку специалистов фирмы «Моторола» (цитируем по статье [5]).

По подсчетам профессора Массачусетского технологического института Фримена (см. монографию [6]), только статистический приемочный контроль давал промышленности США 4 миллиарда долларов в 1958 г. (это более 22 миллиардов долларов в ценах 2003 г.), т.е. 0,8% ВВП — валового внутреннего продукта.

 

2.4 Основы теории статистического контроля

 

 Выборочный контроль, построенный на научной основе, т.е. исходящий из теории вероятностей и математической статистики, называют статистическим контролем. Организатора производства и менеджера выборочный контроль может интересовать не только в связи с качеством продукции, но и в связи, например, с контролем экологической обстановки, поскольку зафиксированные государственными органами экологические нарушения влекут штрафы и иные «неприятные» последствия. К выборочному контролю вынуждены прибегать при аудиторской проверке организации, поскольку сплошной анализ всего массива документов бухгалтерского или управленческого учета весьма трудоемок, а потому практически невозможен. Обсудим основные идеи статистического контроля.

При статистическом контроле решение о генеральной совокупности – об экологической обстановке в данном регионе или о партии продукции — принимается по выборке, состоящей из некоторого количества единиц (отдельных документов бухгалтерского или управленческого учета, единиц экологического контроля или единиц продукции). Следовательно, выборка должна представлять партию, т.е. быть репрезентативной (представительной). Как эти слова понимать, как проверить репрезентативность? Ответ может быть дан лишь в терминах вероятностных моделей выборки (см. главу 1).

Как известно, наиболее часто применяют биномиальную и гипергеометрическую модели. В первой из них предполагается, что результаты контроля n рассматриваемых единиц можно рассматривать как совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин Х₁, Х₂,….,Х_n , где Х_i = 1, если i‑ое измерение показывает, что имеется нарушение, т.е. превышено ПДК (предельная норма концентрации) или i‑ое изделие дефектно, и Х_i = 0, если это не так. Тогда число Х превышений ПДК (при другой интерпретации — дефектных единиц продукции в партии) равно

Х= Х₁+ Х₂+…+ Х_n 

Из формулы (1) и Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей вытекает, что при увеличении объема выборки n распределение Х сближается с нормальным распределением. Известно, что распределение Х имеет вид

Р(Х= k) = C_n^k p^k (1—p)^n-k

где C_n^k — число сочетаний из n элементов по k, а p —уровень дефектности (в другой предметной области — в экологии — доля превышений ПДК в генеральной совокупности), т.е. p = Р(Х_i = 1). Как известно, формула (2) задает биномиальное распределение.

Вторая модель — гипергеометрическая — соответствует случайному отбору единиц в выборку. Пусть среди N единиц, составляющих генеральную совокупность, имеется D дефектных. Случайность отбора означает, что каждая единица имеет одинаковые шансы попасть в выборку. Более того, ни одна пара единиц не имеет преимущества перед любой другой парой при отборе в выборку. То же самое — для троек, четверок и т.д. Итак, каждое из  сочетаний по n единиц из N имеет одинаковую вероятность быть отобранным в качестве выборки, равную, очевидно, 1/.

Отбор случайной выборки согласно описанным правилам организуют при проведении различных лотерей. Пусть Y —число дефектных единиц в такой выборке. Известно, что тогда P(Y = k) – гипергеометрическое распределение, т.е.

Известно, что биномиальная и гипергеометрическая модели весьма близки, когда объем генеральной совокупности (партии) по крайней мере в 10 раз превышает объем выборки, т.е.

Р(Х = k) = P(Y = k)

если объем выборки мал по сравнению с объемом партии. При этом в качестве p в формуле (4) берут D/N.

Близость результатов, получаемых с помощью биномиальной и гипергеометрической моделей, весьма важна с методологической точки зрения. Дело в том, что эти модели исходят из принципиально различных модельных предпосылок. В биномиальной модели случайность присуща каждой единице — она с какой-то вероятностью дефектна, а с какой-то — годна. В то же время в гипергеометрической модели качество определенной единицы детерминировано, задано, а случайность проявляется лишь в отборе, вносится инженером, экологом или экономистом при составлении выборки. .

Соотношение (4) показывают, что во многих случаях нет необходимости выбирать одну из моделей, поскольку обе дают близкие численные результаты. Отличия проявляются при обсуждении вопроса о том, какую выборку считать представительной. Является ли таковой выборка, составленная из 20 изделий, лежащих сверху в первом вскрытом ящике? В биномиальной модели вполне допустим ответ «да», в гипергеометрической — только «нет».

Биномиальная модель легче для теоретического изучения, поэтому будем её рассматривать в дальнейшем. Однако при реальном контроле лучше формировать выборку, исходя из гипергеометрической модели. Это делают, выбирая номера изделий (для включения в выборку) с помощью датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ или с помощью таблиц псевдослучайных чисел. Алгоритмы формирования выборки встраивают в современные программные продукты по статистическому контролю.

---

1  2