ГЛАВА 3. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В ЗАДАЧАХ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
3.1. Задачи на нахождение угла, решаемые векторным методом в открытых банках заданий.
В настоящее время подготовка к итоговой аттестации тесно сопряжена с разбором основных типов задач изучаемой темы в открытых банках задач. Одним из наиболее известных, является портал https://ege.sdamgia.ru/. Основной задачей, решаемой в данном разделе, является анализ задач, указанного портала, в решении которых использован векторный метод.
Задачи на нахождение угла между прямыми.
Задания Д7 C2 № 505845
Дана правильная треугольная призма , стороны основания которой равны Найдите угол между прямыми и , если сумма длин всех сторон обоих оснований равна .
Решение. Введем прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в — середину , и направив оси через вершины и соответственно.
Получаем:,, .
С учетом этих условий, координаты вершин будут иметь вид:
Найдем координаты направляющих векторов прямых:
Угол между прямыми найдем, как угол между их направляющими векторами.
Тогда .
Задание 14 № 520803
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 6, ВВ1 = 15, В1С1 = 8.
Решение. Введем прямоугольную декартову систему координат, поместив центр в центр основания цилиндра. Ось направим через точку , построим перпендикулярно ей.
Определим координаты точек . Вводя в рассмотрение высоту цилиндра и радиус основания — , получим координаты точек:
Найдем координаты векторов и .
Отсюда следует, что угол между прямыми — .
Задания Д7 C2 № 505871
Сфера с центром в точке вписана в прямоугольный параллелепипед Найдите угол между прямыми и где — середина .
Решение. Введем прямоугольную декартову систему координат, поместив начало координат в точку . Оси координат , , направим соответственно по , , . Учтем тот факт, что прямоугольный параллелепипед, в который вписана сфера является кубом, сторону которого, принимаем равной 2. В этом случае координаты необходимых для вычисления угла точек будут иметь вид:
Найдем координаты направляющих векторов прямых.
Задачи на нахождение угла между плоскостями.
Задание 14 № 509202
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Решение. Выберем систему координат, выбрав за начало точку D и расположив оси по ребрам куба DA, DC, соответственно.
Координаты точек, расположенных на кубе имеют вид:
Построим уравнение плоскости, содержащей эти точки. Для этого определим направляющие векторы.
Уравнение плоскости представим в виде определителя третьего порядка:
Разложим определитель по первой строке
Из общего уравнения определим координаты вектора нормали к данной плоскости
Координаты вектора нормали плоскости
Угол между искомыми плоскостями определяется как угол между векторами их нормалей.
Вычислим его.
Задания Д7 C2 № 511259
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC отмечена точка K. Найдите угол, который образует плоскость ABK с плоскостью основания пирамиды, если известно, что PK : KC = 3 : 1.
Решение. Выберем прямоугольную систему координат, поместив ее центр в центр квадрата основания и направив оси координат так, как показано на рисунке.
Длину ребра пирамиды возьмем равной 4. Считаем, что — точка пересечения диагоналей основания пирамиды, — середина , — середина , — середина , — точка пересечения и . Тогда . Третья координата точки .
Найдем необходимые для решения координаты точек:
Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти точки.
Вычислим координаты направляющих векторов:
Уравнение плоскости представим в виде определителя третьего порядка:
Разложим определитель по первой строке
Вектор нормали плоскости : . Уравнение плоскости основания пирамиды: , ее нормаль . Вычислим угол между плоскостями, как угол между их нормальными векторами
Задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью.
Задания Д7 C2 № 508191
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M — точка пересечения медиан грани SBC.
Решение.
Выберем систему координат, поместив ее центр в центр основания пирамиды, и направив оси следующим образом:
Тогда координаты точек будут иметь следующий вид:
При делении отрезка в указанном отношении
Аналогично находим
Координаты вектора .
Плоскость основания пирамиды совпадает с координатной плоскостью и имеет уравнение . Вектор нормали этой плоскости .
Тогда угол между плоскостью основания и прямой AM вычисляется, как дополнение до прямого угла между векторами и .
Используя отношение , получим
.
Задания Д6 C2 № 527357
В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, , угол между ребром DC и гранью ABC равен .
а) Докажите, что середина ребра AB равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD.
б) Найдите угол между ребром AB и гранью ACD.
Решение.
а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AC, AD и перпендикуляра к плоскости ACD. За единицу длины выберем длину отрезка поскольку ADC — прямоугольный треугольник с углом 45°.
По условию, прямая AB перпендикулярна прямой CD, поэтому и проекция AB на плоскость ACD перпендикулярна CD. Значит, проекция точки B лежит на биссектрисе угла DAC, поэтому координаты B по x и y равны. Пусть — координаты этой точки. Координаты остальных вершин принимают вид: По условию, то есть . Найдем уравнение плоскости ABC, как уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Вычислим координаты направляющих векторов:
Уравнение плоскости представим в виде определителя третьего порядка:
Разложим определитель по первой строке
Выразим значение синуса угла между сектором и плоскостью
Полученное уравнение сводится к .
Тогда выражение величины дает:
Отсюда получаем:
В первом случае мы получаем точку А. Второй вариант дает.
Окончательно получим координаты точки
Найдем уравнение грани BCD. Определим координаты направляющих векторов.
Уравнение плоскости представим в виде определителя третьего порядка:
Разложим определитель по первой строке,
Середина АВ имеет координаты
Расстояние до плоскости ACD:
Расстояние до плоскости BCD:
Таким образом . Что и требовалось доказать.
б) Вектор коллинеаренвектору поэтому угол между этим вектором и плоскостью определяется как:
3.2. Задачи на нахождение расстояний, решаемые векторным методом в открытых банках заданий.
Задания Д7 C2 № 511231
Задача 1. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC = 8 и BD = 6.
а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC, если известно, что боковое ребро призмы равно 12.
Решение.
а) Выберем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее центр был в точке пересечения диагоналей ромба, а оси направлены по ним.
В этом случае координаты вершин имеют вид: , , , .
Координаты векторов получим в виде: ,
Вычислим скалярное произведение найденных векторов:
Ввиду необходимого и достаточного условия ортогональности векторов, получим:
, а следовательно прямые и перпендикулярны.
б) Вычислим расстояние между прямыми BD1 и AC. По условию задачи координаты вершины . Найдем уравнение плоскости, проходящей через BD1, параллельно AC. Сначала определим координаты вектора нормали плоскости, параллельной прямымBD1 и AC. Найдем его как векторное произведение
Тогда общее уравнение плоскости с вектором нормали будет иметь вид:
Так как прямая BD1 проходит через указанную плоскость, то подставляя в ее уравнение координаты точкиВ найдем оставшийся коэффициент
Уравнение плоскости окончательно принимает вид:
Расстояние междускрещивающимися прямыми найдем, как расстояние от любой точки прямой АС до найденной плоскости
Альтернативный способ нахождения расстояния.
Расстояние между прямыми можно найти, используя геометрический смысл смешанного и векторного произведений.
Вычислим числитель и знаменатель данного выражения.
Окончательно получим .
Задания Д7 C2 № 508951
Задача 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка N — середина СВ, а точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3 : 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC1.
Решение.
Выберем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее центр был в точке D, а точки A,C, D1 располагались на осях соответственно.
При данном выборе системы координат, точки куба имеют к: M (4; 0; 3), N (2; 4; 0), B (4; 4; 0), C (0; 4; 4).
Вычислим координаты векторов и :
Найдем координаты вектора нормали плоскости , проходящей через прямуюMN, параллельно прямой . Для этого вычислим координаты вектора нормали этой плоскости. Найдем его, как векторное произведение и .
Тогда общее уравнение плоскости с вектором нормали будет иметь вид:
Так как прямая MN проходит через указанную плоскость, то подставляя в ее уравнение координаты точки N найдем оставшийся коэффициент
Уравнение плоскости окончательно принимает вид:
Расстояние междускрещивающимися прямыми найдем, как расстояние от любой точки прямой до найденной плоскости
Альтернативный способ нахождения расстояния.
Расстояние между прямыми можно найти, используя геометрический смысл смешанного и векторного произведений.
Вычислим числитель и знаменатель данного выражения.
Окончательно получим .
Задания Д7 C2 № 521557
Задача 3. Необходимое и достаточное условие скрещивающихся прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 — центр квадрата АВСD, точка О2 — центр квадрата СС1D1D.
а) Докажите, что прямые А1О1 и В1О2 — скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми А1О1 и В1О2, если ребро куба равно 2.
Решение.
а) Введем систему координат, поместив ее начало в точкеА и расположив оси, как показано на рисунке.
Тогда координаты точек , ,,.
Вычислим координаты направляющих векторов прямых А1О1 и В1О2 .
Также вычислим вектор
Воспользуемся необходимым и достаточным условием того, что прямые скрещиваются.
Согласно нему докажем, что смешанное произведение векторов , , не обращается в ноль. Имеем:
Следовательно, данные векторы не являются компланарными, поэтому прямые скрещиваются.
б) Расстояние междускрещивающимися прямыми найдем, как высоту тетраэдра построенного на полученных векторах
Вычислим числитель и знаменатель данного выражения.
Окончательно получим .
Задания Д7 C2 № 527555
Задача 4. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка P — середина ребра SA, точка Q — середина ребра SC.
а) Докажите, что расстояние между прямыми BP и DQ не зависит от высоты пирамиды.
б) Найдите это расстояние, если площадь основания пирамиды равна 5.
Решение.
Введем систему координат с началом в точке A и осями, направленными по ребрам AD, AB и перпендикуляру к плоскости основания. Обозначим высоту пирамиды за а ребро основания за
Определим координаты точек из условия задачи:
Найдем уравнение плоскости , проходящей через, параллельно .
Для этого вычислим координаты вектора нормали этой плоскости. Найдем его, как векторное произведение и .
Тогда общее уравнение плоскости с вектором нормали будет иметь вид:
Так как прямая проходит через указанную плоскость, то подставляя в ее уравнение координаты точки B найдем оставшийся коэффициент:
Уравнение плоскости окончательно принимает вид:
Расстояние междускрещивающимися прямыми найдем, как расстояние от любой точки прямой до найденной плоскости
Полученное значение не зависит от , следовательно, расстояние между прямыми BP и DQ не зависит от высоты пирамиды.
Б) Если площадь основания , то . Тогда расстояние принимает значение
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Системные недостатки преподавания геометрии можно исправлять только полноценным изучением предмета. Важную роль в таком системном подходе занимает векторный метод решения задач. Эффективному изучению и использованию данного метода способствует методически выверенная система тестовых задач и упражнений. Чтобы сформировать у учеников умение переводить текст задачи на векторный язык, следует отработать сначала перевод отдельных элементов текста задачи и их связей на векторный язык, а затем чтение векторных соотношений. Для выработки отмеченных навыков в работе используется составленный банк тестовых задач, позволяющий переводить основные геометрические понятия на язык векторов и находить геометрические интерпретации векторных выражений. Подобный банк заданий систематизирует знания учеников по векторной алгебре, помогает правильно выбрать векторы, которые удобно использовать для решения задачи, а также помогает записать условие задачи с помощью выбранных векторов и сделать соответствующие выводы и обобщения по мере выявления зависимости между ними. Решение задач из банка целесообразно начинать с первых уроков знакомства учащихся с векторами. По мере изучения теории и в процессе решения задач появляются новые векторные соотношения, которые постепенно включаются в банк. Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ требует не только уверенного прохождения теста, составленного из задач банка, но и овладение методами, выходящими за пределы базового курса геометрии. В заключительной главе представлено решение таких задач, разобраны методы и приемы их решения.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ
[1] Александрова Н.В. Из истории векторного исчисления М., Книжный дом «Либриком», 2012. -272 с. [2] Новгородова О.И. Методика изучения понятия «Вектор» и его основных свойств в основной школе., диссертация на соискание ученой степени кандидата пед.-наук. Москва, 2006. -131 с. [3] Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – Физматлит, 2009, -320 с. [4] Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов.-М.,1979.,- 560с. [5] Геометрия. Учеб.пособие для 7-го кл. сред. школы. Под.ред. А.Н. Колмогорова. Изд. 5-е.-М.:Просвещение, 1976, -329с. [6] Болтянский В.Г., Волович М.В. Векторное изложение геометрии. — М.: Просвещение, 1982.,-144с. [7]Геометрия: учеб.для 7-9 кл. сред. шк./Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 2010.-383с. [8] Геометрия: учеб.для 10-11 кл. сред. шк./Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 2014.-350с. [9] Погорелов А.В. Геометрия: Учеб.для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждений.-6-е изд-е. — М.:Просвещение, 2014.-240с. [10] Шеховцова Д.Н. Сравнительный анализ школьных учебников геометрии. Статья в сборнике Томского государственного пед. университета. 2009-с.74-76 [11]Мухина В.С. Возрастная психология. Учебник для студентов вузов, 4-е издание, М., Академия, 1999.-456с. [12]Каменский Я.А. Избранные педагогические сочинения,. М., Педагогика, 1982.-656с. [13] Гусев В.А., Калягин Ю.М., Луканин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии.: Пособие для учителей.-М., 1976.-49с. [14] Иванова Т.А., Серова Н.А. Выпускная квалификационная работа по теории и методике обучения математике: Учебно-методическое пособие. Н. Новгород: НГПУ, 2006.-86с. [15]http://base.garant.ru/70188902/#friends#ixzz4zdD59jTD
Приказ Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г. N 413
«Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования» С изменениями и дополнениями от:29 декабря 2014 г., 31 декабря 2015 г., 29 июня 2017 г.