Варианты контрольной работы на тему «Теория вероятности» для АЭЮИ. Часть 1

Вариант1

Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найдите вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Найдите вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

На заводе, изготовляющем металлические линейки, первая машина производит 22%, вторая-43%, третья-35% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 3:2:4. Случайно выбранное изделие оказалось дефектным. Какова вероятность того, что линейка была произведена первой машиной?

Среди шариковых авторучек, в среднем, при упаковке, отгрузке и доставке в магазин повреждаются 0,02%. Найдите вероятность того, что среди 5000 авторучек не более трех окажутся поврежденными.

В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 руб., четыре – по 500 руб., пять – по 400 руб. и десять выигрышей по 100 руб. Найдите ряд распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона.

Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

Найдите: 1) значение с; 2) функцию распределения; 3) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найдите вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу (10,50).

При стрельбе по мишени, представляющей собой круг радиуса 30 см, средняя величина отклонения от центра мишени равна 6 см. Пользуясь неравенством Чебышева, оцените вероятность поражения мишени при одном выстреле.

Вариант 2

На окружности даны точки А и В, причем эти точки не являются диаметрально противоположными. На этой же окружности выбирается точка С. Найти вероятность того, что отрезок ВС пересечет диаметр окружности, проходящий через точку А.

Каждый день акции корпорации поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.

Компьютер состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

В результате подбрасывания двух игральных костей на верхних гранях появляются некоторые числа. Составьте ряд распределения суммы выпавших очков.

Найдите закон распределения случайных величин:

а) Y=3X; в) H=X+Y

Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определите: 1) константу C, 2) найдите функцию распределения F(x) и посторойте ее график; 3) вычислите вероятность .

Случайная величина задана функцией распределения. Найдите числовые характеристики случайной величины X: M(X), D(X),

Событие, состоящее из мгновенного сигнала должно произойти между одним и пятью часами. Время ожидания сигнала есть случайная величина Х, имеющая равномерное распределение. Какова вероятность того, что сигнал будет зафиксирован в течение 20 мин после двух часов?

Случайная величина распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 20 и 10. Найдите вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трёх.

Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно 50 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,2 см. Оцените снизу вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется не менее 49,5 см и не более 50,5 см.

Вариант 3

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найдите вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Группа студентов состоит из 5 отличников, 12 хорошо успевающих и 4 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найдите вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Вероятность выигрыша приза на новогоднем вечере в университете АлтГПА по одному входному билету р=0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,98?

Три стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания равны 0,6; 0,7; 0,8 соответственно. Составьте ряд распределения числа попаданий в мишень. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой величины.

Составьте ряд распределения случайных величин 1) Y=X²; 2) В=Х-Y.

Дискретная случайная величина X имеет следующий ряд распределения вероятностей. Найдите интегральную функцию распределения и постройте ее график.

Случайная величинаX задана функцией плотности вероятностей

Найдите функцию распределения случайной величины X, постройте ее график. Вычислите для X ее математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану.

Случайная величина равномерно распределена на [a, b]. Дано ее математическое ожидание равно 1 и дисперсия равна 3. Найдите вероятность попадания случайной величины в отрезок [-3, 2].

Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин равна 4. Оцените вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превысит 0,2.

Вариант 4

Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х²≤4у≤4х.

Три электрических лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна любая лампочка перегорит, если напряжение в цепи превысит номинальное, равна 0,6. Найдите вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

Определите вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Имеются две урны: в первой 5 белых шаров и 7 черных; во второй 4 белых и 6 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого — из второй урны берут один шар. Найдите вероятность того, что этот шар будет белым.

В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не найдется подходящий ключ. Постройте ряд распределения случайной величины X – числа перепробованных ключей. Постройте полигон распределения.

Найдите ряд распределения случайной величины Z=X-Y, ее дисперсию.

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

Найдите: а) плотность распределения вероятностей, б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, медиану и моду случайной величины Х; в) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (1/6; 1/3).

Найдите функцию распределения случайной величины Х, распределенной равномерно на отрезке [a,b].(вывести формулу)

На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина Х — случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией 0,2. Найдите вероятность того, что длина детали отклонится от средней длины менее, чем на 0,3?

Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, оклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с параметрами а=0 и . Найдите сколько, в среднем, будет годных шариков среди 100 изготовленных.

Вариант 5

В коробке лежат 5 синих, 4 красных, 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Найдите вероятность того, что это будут карандаши разного цвета.

По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найдите вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

Известно, что в среднем, 95% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она не стандартна. Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.

Учитель проверяет в среднем за четверть 500 тетрадей. Вероятность того, что он допустит ошибку при проверке тетради, равна 0,008. Определите вероятность того, что учитель допустит ошибку при проверке 5 тетрадей.

Три пассажира наугад рассаживаются в двух вагонах. Найдите ряд распределения числа пассажиров, севших в первый вагон. Вычислите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Найдите математическое ожидание случайной величины Z = 4X-2Y, если известны математические ожидания M(X) = 5, M(Y) = 3.

Задана непрерывная случайная величина Х функцией распределения F(Х). Найдите :

плотность распределения вероятностей f(x), постройте ее график;

математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, моду и медиану непрерывной случайной величины Х.

вероятность того, что Х примет значение из интервала (-)

Найдите дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a,b).(вывести формулу)

Полагая, что рост мужчин определённой возрастной группы есть нормально распределённая случайная величина с параметрами и . Найдите

функцию плотности вероятности и функцию распределения случайной величины .

Оцените вероятность того, что в результате подбрасывания игральной кости в течении 320 раз относительная частота появления на верхней грани пяти очков отклонится от вероятности этого события (по абсолютной величине) не более чем на 0,03.

Вариант 6

На шахматную доску с шириной клетки 5 см брошена монета радиуса 1,5 см. Найдите вероятность того, что монета не попадет ни на одну границу.

На кафедре работают 12 преподавателей. При существующем расписании вероятность, что преподаватель в данный момент на занятии, равна 0,8. Какова вероятность того, что в данный момент не менее 10 преподавателей заняты на парах.

В некоторой отрасли 30% продукции производится фабрикой 1-ой, 25% продукции – фабрикой 2-ой, а остальная часть продукции – фабрикой 3-ей. На фабрике 1 в брак идет 1% всей производимой ею продукции, на фабрике 2 – 1,5%, на фабрике 3 – 2%. Купленная покупателем единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена фабрикой 1?

В сельской школе учатся 100 учеников, которые учатся независимо друг от друга. Вероятность получения двойки любым из учеников в течение времени T равна 0,02. Найти вероятность того, что за время Т получат двойки ровно 7 учеников. 0,003

Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос дано по 5 ответов, среди которых имеется один правильный. Составьте ряд распределения вероятностей случайного числа X правильных ответов, полученных при простом угадывании, и найдите интегральную функцию распределения вероятностей этой случайной величины.

Найдите ряд распределения случайной величины Z=XY

Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, моду и медиану.

Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найдите вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью 4. Найдите вероятность попадания величины в произвольный отрезок .(вывести формулу)

Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,03. Оцените вероятность того, что абсолютная величина разности между средним числом отказов (математическим ожиданием) и числом отказов за время Т окажется меньше двух.

Вариант 7

Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найдите вероятность того, что набраны нужные цифры.

Из колоды в 36 карт вынимаются одна за другой без возвращения 6 карт. Какова вероятность того, что три них будут «черви»?

Вероятность сдать экзамен для каждого из 6 студентов равна 0,8. Найдите вероятность того, что сдадут экзамен пять студентов.

Прибор выходит из строя при отказе (неисправности) его микросхемы. Вероятность отказа в течение 1 ч работы прибора 0,02. С какой вероятностью за 100 ч эксплуатации прибора микросхему придется менять три раза?

Из 800 учебников хранящихся в библиотеке вероятность того, что книга испорчена, составляет 0,5% . Чему равна вероятность того, что испорчено ровно 6 учебников?

Требуется: а) построить многоугольник распределения; б) построить функцию распределения F(x) и начертить ее график; в) найти вероятность того, что величина X примет значение, непревосходящее по абсолютной величине 1.

Составьте ряд распределения дискретной случайной величины Х, принимающей значения х₁=1, х₂=3, х₃=4, если известно, что М(Х)=2,3, а D(X)=1,21.

Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (-2;2). Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение, моду, медиану непрерывной случайной величины:

Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х – время ожидания поезда.

Производится измерение диаметра вала без симметрических (одного значения) ошибок. Случайные ошибки измеренияподчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонениеммм. Найдите вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, непревосходящей по абсолютной величине 15 мм. 0,8664

Вариант 8

В секретном замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найдите вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

В мешке смешаны нити трех цветов: 30% белых, 50% красных, остальные зеленые. Определите вероятность того, что при последовательном вытягивании наугад трех нитей окажется, что все они одного цвета.

Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислите вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Вероятность того что студент не получит зачет по физкультуре равна 0,05. Какова вероятность того, что из 100 студентов зачет не получит 20 студентов?

Составьте ряд распределения числа мальчиков в семье из 3 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Постройте многоугольник распределения.

Найдите ряд распределения случайной величины Z=X-Y, ее дисперсию.

Функция распределения задана следующим выражением:

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, моду и медиану Х.

Найдите математическое ожидание случайной величины Х, имеющей нормальное распределение. (вывести формулу)

Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчинённую нормальному закону распределения, с гарантией на 15 лет и средним квадратическим отклонением равным 3 года. Определите вероятность того, что прибор прослужит от 10 до 20 лет.

Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л. в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оцените вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя неравенство Чебышева.