Вопросы преподавания теории вероятностей в cтарших классах. Часть 2

1  2

---

2.3 Анализ изложения элементов теории вероятностей в учебниках и программах

 

В школьных программах и учебниках можно встретить различную последовательность формирования у школьников понятия о вероятности. Так, некоторые педагоги советуют сначала ввести статистическое определение вероятности, связанное с понятием частоты события, а затем – классическое, определяемое конечными множествами. Другие авторы сначала уделяют внимание классическому, а затем – статистическому определению теории вероятности. Понятие о геометрической вероятности, связанное с характеристиками длины, площади и объема, дается в конце данной темы. В любом случае, после знакомства с понятиями теории и основными законами переходят к развитию умения решать геометрические и алгебраические задачи на применение теории вероятности.

Пропедевтика понятия вероятности и теории вероятности, как было отмечено выше, начинается с 5-го класса. Однако, впервые с начальными представлениями теории учащиеся знакомятся в курсе 9 класса алгебры, в теме «Элементы теории вероятностей»

В учебнике «Алгебра для 9 класса» Авторы: Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев есть тема «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», состоящая из двух параграфов:

— «Основные понятия комбинаторики» — вводит правила суммы и произведения, а также понятия о размещениях, перестановках и сочетаниях.

— «Понятие вероятности события» учит пониманию частоты и вероятности (статистическое определение вероятностей). Учащиеся отрабатывают и закрепляют знания в опытах с конечным числом равновозможных исходов, переходя к понятию об исходах и событиях, подсчете вероятностей в опытах с равновозможными исходами (классическое определение теории вероятностей). В завершении работы над темой школьники учатся совершать операции над событиями и алгебраические действия с вероятностями.

Учебник «Алгебра» для 9 классов общеобразовательных учреждений. Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк содержит раздел «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», который начинается с рассмотрения примеров решения комбинаторных задач. Далее учащие отрабатывают приемы перестановки, размещения и сочетания. «Начальные сведения из теории вероятностей» знакомят с относительной частотой случайного события и вероятностью равновозможных событий.

Учебное пособие «Алгебра» 9 класс. Автор А.Г. Мордкович. Учебное пособие состоит из 2 частей:

— Часть 1. «Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений.

— Часть 2. Задачник для 9 класса общеобразовательных учреждений).

Учебник начинается с рассмотрения множеств и операций над ними. Затем вводится понятие комбинаторики, рассматривается таблица возможных вариантов, демонстрирующая принцип правила умножения, принципы перестановки.

Математической статистике посвящен 3 параграф. В этом разделе вводится большое число новых терминов — в виде таблицы, где дается определение и описание основных терминов. Дальше учащиеся учатся работать с таблицей распределения и ее графическим представлением.

Учебный материал подкрепляется решением задач на нахождение достоверного и невозможного события. Вводится классическое определение вероятности.

Как этого требуют стандарты образования, параграф «Экспериментальные данные и вероятности событий» помогает найти связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными. В завершение дается определение статистической вероятности.

В 10 классе изучению теории вероятностей отводится три параграфа. В параграфе «Правило умножения. Перестановки и факториалы» основной акцент делался на вывод из правила умножения основных комбинаторных тождеств: для числа перестановок и для числа всевозможных подмножеств множества, состоящего из n элементов. Использование факториала удобно для сокращенной записи ответа во многих конкретных комбинаторных задачах Параграф «Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты» предполагает рассмотрение классических комбинаторных задач, связанных с одновременным или поочередным выбором нескольких элементов из заданного конечного множества. Заключительный параграф «Случайные события и их вероятности» знакомит с классической вероятностной схемой, навыками работы с формулами: P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P( )=1-P(A), P(A)=1-P( ).

К 11 классу усиливается практическая составляющая темы. Здесь теме «Элементы теории вероятностей» посвящены два параграфа. Речь в них идет о геометрических вероятностях, а в конце повторяются и расширяются знания о независимых повторениях событий с двумя исходами.

Таким образом, мы видим, что содержание учебников в отношении изучения темы «Элементы теории вероятностей» соответствует требованиям ФГОС и образовательных программ. Основное отличие состоит в последовательности изложения учебного материала и в количестве тренировочных заданий на решение задач по теории вероятностей.

 

Глава 3 Методические аспекты преподавания в старших классах темы «Элементы теории вероятностей»

 

3.1 Методологическая база исследования

 

При оценке уровня развития и характеристик мышления старших школьников следует иметь в виду два обстоятельства:

1. Все виды мышления, уже достаточно развиты.
2. В этом возрасте дети готовят себя к выбору будущей профессии и жизненного пути.

Основываясь на данных обстоятельствах, из множества существующих диагностических методик, следует выделить те, которые направлены именно на исследование способности к нестандартному, критическому мышлению, умения логически рассуждать, применяя законы теории вероятностей. Кроме того, для личности в целом важны коммуникативные умения, а именно – умения выражать и обосновывать свои суждения.

Целью исследования стала диагностика навыков при  решения задач с использованием законов теории вероятностей и подготовка учащихся старших классов к успешному решению задач по теории вероятностей на ЕГЭ и ОГ.

Опытно-экспериментальная работа проводилось на базе учеников 10-ых классов. В мини-апробации приняли участие 2 подростка – Тарасов Дмитрий Денисович и Тарасова Виктория Денисовна, которые составили экспериментальную группу. Были составлены контрольные тестирования и контрольные работы, которые они выполнили.

Тест «Логичность умозаключений».

Цель методики — исследование логического аспекта мышления подростков.

Процедура тестирования: В каждом задании содержится суждение, основанных на законах теории вероятностей и вывод-умозаключение. Некоторые умозаключения правильные, а другие заведомо неправильные. Требуется определить, какие выводы правильные, а какие ошибочные. Время обдумывания каждого задания — 10 секунд. (Приложение 1)

Ключ:

10-13 ответов верно – 5 баллов

7-9 верных ответов – 4 балла

4-6 правильных – 3 балла

2-3 правильных – 2 балла

0-1 правильных – 1 балл

Самостоятельная работа «Решение комбинаторных задач»

Целью работы является определение уровня владения учащимися навыками решения данного типа задач.

Школьникам предлагается решить 20 задач. На решение 20 задач отводится 30 минут. (Приложение 2)

Ключ:

За каждую правильно решенную задачу испытуемый полу­чает по 0,5 балла. Максимальная сумма баллов, которую может набрать один испытуемый за решение всех 20 задач, равна 10. Если результат оказался равным целому числу баллов с полови­ной, то он округляется до ближайшего большего числа. Напри­мер, результат 8,5 баллов в итоге округляется до 9,0 баллов.

10 баллов— очень высокий.

8-9 баллов— высокий.

4-7 баллов— средний.

2-3 балла— низкий.

1 балл— очень низкий.

3.Контрольная работа «Теория вероятностей»

Целью работы является определение уровня знания учащимися элементов теории вероятностей.

Школьникам предлагается решить 10 задач. На решение 10 задач отводится 20 минут. (Приложение 3)

За каждую правильно решенную задачу испытуемый полу­чает 1 балл. Максимальная сумма баллов, которую может набрать один испытуемый за решение всех 10 задач, равна 10.

10 баллов— очень высокий.

8-9 баллов— высокий.

4-7 баллов— средний.

2 балла— низкий.

1 балл— очень низкий

 

3.2. Проведение констатирующего эксперимента

 

Во время проведения эксперимента школьникам предлагалось написать тест, самостоятельную и контрольную работу.

Для снятия напряженности от исследования испытание было представлено как обычная контрольная работа по математике.

После обобщения данных были получены следующие результаты:

Анализ тестовой диагностики по методу «Логичность умозаключений» дал следующие результаты:

100% опытной группы демонстрируют высокий уровень развития логичности в рассуждениях, они быстро улавливают ошибки в чужих умозаключениях.

0 % опытной группы имеют средний и низкий уровень логичности, могут допускать некоторые нелогичности в рассуждениях.

Анализ самостоятельной работы «Решение комбинаторных задач» выявил следующую тенденцию:

50% группы продемонстрировали высокий уровень логико-количественных отношений, справились со всеми заданиями быстро и безошибочно.

50% группы показали средний уровень логико-количественных отношений. Допускали значительный процент ошибок, но задание выполнили вовремя.

Анализ контрольной работы «Теория вероятностей» выявил следующую тенденцию:

100% группы продемонстрировали высокий уровень знаний, справились со всеми заданиями быстро и безошибочно.

0% группы показали средний и низкий уровень.

 

3.3 Разработка и внедрение модульной программы.

 

С целью систематизации и углубления представлений школьников о теории вероятностей и совершенствования навыков решения задач нами была разработана программа модуля по теории вероятностей.

В 11 классе завершается изучение школьного курса алгебры и основ анализа. Программа математики для 11 класса, составленная на основе ФГОС, включает в себя расширение и углубление понятий, изученных в предыдущих классах. Теме «Элементы теории вероятностей» отводится 8-12 часов – в зависимости от адаптации учителем учебной программы и профиля класса.

При профильном обучении целесообразным является составление модульной программы курса, в частности – по изучению темы «Элементы теории вероятностей».

При модульной организации учебного процесса происходит одновременная работа учителя по управлению самостоятельной работой всех учащихся и индивидуальной работе с отдельными учениками. Таким образом, все школьники оказываются максимально включенными в образовательную деятельность.

Основными этапами работы в рамках модуля выступают:

1. Выдача печатных модулей и самостоятельное изучение учащимися нового материала.
2. Закрепление и отработка материала в форме активной самостоятельной деятельности школьников (методы открытого микрофона, взаимодействие в группе, мини-проект и т.д.)
3. Подведение итогов в виде письменного решения заданий.
4. Домашнее задание.

Одним из основных принципов модульной технологии является дифференцированное обучение.

Активное использование ИКТ на уроках позволяет оптимизировать работу учащихся, развить информационную компетентность, осуществить оперативный тестовый контроль и т.д.

Тематические блоки в рамках изучаемой темы учитель выделяет самостоятельно, ориентируясь на программу курса, распределяет наиболее целесообразным образом количество часов.

Обучающим модулем называют автономную часть материала, включающую следующие  компоненты:

— учебная цель;

— банк информации;

— методическое руководство по достижению целей;

— практические занятия по формированию необходимых умений;

— контроль результатов.

Система контроля при модульном обучении — рейтинговая. Каждое задание оценивается в баллах, которые ученики выставляют в тетради. В журнале выставляют только оценки «выходного контроля».

Таким образом, целью составления модульной программы по теме «Элементы теории вероятностей» является:

1. Развитие логического и алгоритмического мышления школьников.
2. Отработка методов анализа и моделирования.
3. Овладение методами обработки и анализа результатов экспериментов.
4. Совершенствование умений самостоятельного получения знаний.
5. Отработка практических навыков решения задач по теории вероятностей.

Цель модульной технологии состоит в организации самостоятельной работы школьников по усвоению материала в рамках дифференцированного подхода. Подобная технология позволяет повысить навыки самоконтроля и взаимоконтроля, обучить учащихся приемам исследовательской деятельности, развить познавательную компетенцию школьника и повысить качество обучения.

Задачи:

— показать специфику теории вероятностей,

— формировать понимание роли теории вероятностей в науке и жизни,

— выработать умение анализировать полученные результаты,

— сформировать навыки решения вероятностных задач.

Требования к результатам освоения курса:

— Знать основы теории вероятностей  в объеме, достаточном для изучения естественнонаучных дисциплин;

— Уметь использовать математический аппарат при изучении естественнонаучных и специальных дисциплин, строить математические модели процессов и анализировать результаты эксперимента с привлечением методов математической статистики;

— Владеть методами решения вероятностных задач.

Основные формы обучения:

— индивидуальные,

— фронтальные,

— групповые,

— коллективные;

В рамках программы используются методы обучения:

— репродуктивный,

— объяснительно-иллюстративный,

— проблемный,

— проектный,

— рефлексивный.

Работа проводилась в течение 10 уроков из расчета 3 часа в неделю.

В конце темы была проведена контрольная работа, позволяющая оценить уровень усвоения материала, а также – повторная диагностика с использованием методов, применявшихся во время констатирующего эксперимента.

Структура тематического блока рассчитана на 10 часов и включает следующие тематические разделы:

Тематический план модуля

 

При отработке навыков решения вероятностных задач основной упор был сделан на подготовку школьников к успешной сдаче ЕГЭ. Для этого, кроме задач с классическим определением теории вероятности, использовались более сложные задания. (Приложение 4.)

Перед тем, как проводить отработку практических навыков решения вероятностных задач, со школьниками была рассмотрена теоретическая часть модуля, включавшая следующие блоки:

1. Совместные и несовместные события;
2. Сумма событий.
3. Зависимые и независимые события.
4. Произведение вероятностей.

По окончании рассмотрения тематических вопросов, учащимся предлагалось пройти тестирование в формате ЕГЭ (Приложение 5.)

 

3.4 Анализ результатов опытно-экспериментальной работы

 

Работа по программе в экспериментальной группе включала использование современных интерактивных технологий (ИКТ-обучение, проектная деятельность, работа в малых группах, дидактические задачи, проблемные вопросы и задания).

После окончания темы были проведены контрольные работы с использованием стандартных заданий по программному материалу и заданий в формате ЕГЭ, а также – проведена повторная диагностика уровней вероятностного мышления, логического и аналитического мышления, умений устанавливать логико-комбинаторные отношения.

Обработка результатов дала следующие результаты:

Оба ученика решили все 10 задач из приложения №5, в которых были представлены задания из ЕГЭ за 2011-2018 годы.

Таким образом, за 4 недели изучения темы ученикам удалось устранить показатели среднего уровня владения законами теории вероятностей и существенно повысить показатели высокого уровня. Это позволяет сделать вывод об эффективности разработанной программы.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В старшем школьном возрасте мышление активно развивается и трансформируется. У школьников формируется мировоззрение, аналитический склад ума, они начинают формулировать суждения и производить умозаключения. При этом ведущую роль играет абстрактно-логическое мышление. Подростки овладевают способностью рассуждать, обосновывать и доказывать собственные мнения и умозаключения. Абстрактно-логическое мышление начинает развиваться с началом изучения широкого круга общеобразовательных предметов, ведущим из которых является математика.

Средствами математического образования удается наиболее эффективно развивать все основные составляющие личности: коммуникативные навыки, обучение в сотрудничестве, инициативность, активность и самостоятельность в поиске решений, логику и структурированность выявленных закономерностей, умение применять полученные знания в реальной жизни, навыки устного счета, классификации и др. Абстрактность и логичность мышления, которая успешно развивается посредством решения задач по теории вероятности помогает школьникам сформировать целостную картину мира, понимание логики происходящих событий, умение объяснять закономерности явлений, в том числе – просчитывать вероятность происхождения события и строить вариативные ряды.

Целью нашей работы стало изучение особенностей преподавания Теории вероятностей в школьном курсе математики и разработка модульной программы, позволяющей формировать ключевые и предметные компетенции учащихся посредством данного тематического блока.

В ходе констатирующего эксперимента нами было выявлено, что степень вероятностного мышления и владения статистическими представлениями и учащихся старших классов находится на среднем уровне. Учащиеся допускают достаточное количество ошибок в умозаключениях, испытывают затруднение в применении вероятностных законов и формул для решения задач.

Система индивидуальных занятий по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики», применявшаяся репетитором по математике в 10 классе в течение 4 недель показала, что посредством разработанной программы и использования современных форм и методов работы по модульной системе можно добиться значительного улучшения показателей.

Результаты контролирующего эксперимента показали существенное повышение уровня вероятностного мышления у старших школьников. Кроме того, повысилась активность и инициативность учащихся, уровень их коммуникативных способностей.

Таким образом, была подтверждена гипотеза исследования: проектирование новой методики преподавания Теории вероятности на старшей ступени общего образования будет успешному развитию ключевых и предметных компетенций учащихся при соблюдении следующих условий:

1. Учета возрастных и индивидуальных особенностей обучения старшеклассников элементам теории вероятностей,
2. Создания структурно-функциональной модели, предполагающей разработку дифференцированного содержания обучения для предоставления возможности реализации каждым учащимся собственных способностей в усвоении материала.

В ходе работы полностью решены задачи и достигнута цель исследования.

Полученные результаты могут быть использованы в системе работы учителей математики средней и старшей школы при изучении темы «Элементы теории вероятностей и математической статистики».

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Алексеев В., Бородин П., Галкин В., Панферов В., Сергеев И., Тарасов В. Разные стандартные и нестандартные задачи // Математика, 2002.   №36. – С. 24-27.
2. Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. – Ярославль: Академия развития, 2006. – 192 с.
3. Белько, И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи / И.В. Белько, Г.П. Свирид. — Минск: Новое знание, 2007. — 251 c.
4. Бочаров С.П. О путях преодоления типа логических особенностей высшей нервной деятельности учащихся в процессе учебной деятельности: учебное пособие для студ. пед. Вузов /С.П. Бочаров. М., 2003. 300 с.
5. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 159 с.
6. Бунимович Е.А, В.А.Булычев, И.Р.Высоцкий и др., О теории вероятностей и статистике в школьном курсе, Математика в школе, №7, Москва, Школьная пресса, 2009, с. 3-13.
7. Буренок И.И., Туйбаева Л.И., Цедринский А.Д. Психолого-педагогические и методические аспекты урока математики. — Славянск — на — Кубани, 2000.- 72с.
8. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высшая школа, 2002. – 445 с.
9. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. – М.: МЦНМО, 2006. – 400 с.
10. Высоцкий И. В., Ященко И. В. Типичные ошибки в преподавании теории вероятностей и статистики. Математика в школе, 5,2014 4 .Материалы 2-й Международной научной конференции «Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и вузе». МПГУ, октябрь, 2014.
11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 2001.- 400с.
12. Гнеденко Б. В. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий / Б. В. Гнеденко, Д. Б. Гнеденко. — Изд. 3-е, испр. и доп. — Москва : URSS, 2006 (М. : ЛЕНАНД). — 158 с.
13. Калмыкова З. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости / З. И. Калмыкова. — М. : Педагогика, 1981. — 200 с.
14. Караулова, Л.В. Математические задачи, как средство формирования профессионально значимых умений студента: дисс. на соискание степени канд. пед. наук / Л.В. Караулова. – Киров, 2004. – 184 с.
15. Колягин Ю.М. Математика : [В 2 ч.] / Ю. М. Колягин, Л. М. Короткова, Н. В. Савинцева ; Негос. образоват. учреждение «Рекорд». — М. : НОУ «Рекорд», 1997.
16. Козубовский В.М. Общая психология: познавательные процессы: учебное пособие/В.М. Козубовский. Минск: Амалфея, 2007. 367 с.
17. Крупич В. И. Методические рекомендации по методике преподавания математики в средней школе / Моск. гос. пед. ин-т им. В. И. Ленина. — Ч. 1 / [Крупич В. И. и др.]. — М. : МГПИ, 1981. — 91 с.
18. Кучугурова Н.Д. Интенсивный курс методики преподавания математики: Учебное пособие. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2001. – 231 с.
19. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б., Нешков К.И. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Под ред. С.А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2008.
20. Матальский, М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах: учебное пособие / М.А. Матальский, Т.В. Романюк. – Гордно: ГрГУ – 2002. – 248 с.
21. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. – М.: Педагогика, 1989. – 180 с.
22. Методика и технология обучения математике. Курс лекций Пособие для вузов / Под научн. Ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
23. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.; ФИЗМАТЛИТ, 2007.
24. Митенева С.Ф. Методические особенности обучения учащихся решению нестандартных задач // Вестник ЧГПУ. 2010. №5. С. 126-135.
25. Немов Р.С. Психология : В 3 кн. / Р. С. Немов. — 3-е изд. — М. : Гуманитар. изд. центр «ВЛАДОС», 1998- 686 с.
26. Пойа, Д. Математическое открытие [Текст] : Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание / Д. Пойа — Пер. с англ. В. С. Бермана ; Под ред. И. М. Яглома. — Москва : Наука, 1970. — 452 с.
27. Сабурова, Т.Н. Теория вероятностей: Вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий: Учебное пособие№ 2009 / Т.Н. Сабурова, Е.В. Шишкова. — М.: МИСиС, 2011. — 68 c.
28. Сухомлинский В.А. Об умственном воспитании. – 1983 – 229 с.
29. Тихомиров О. К. Психология мышления : Учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению и специальностям психологии / О.К. Тихомиров. — М. : AKADEMIA, 2002. – 287.
30. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7—9 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2004.
31. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. — М.: Московские учебники, 2008.
32. Федосеева З. Р. Формирование понятия вероятности в курсе математики основной школы // Вестник РУДН. Серия: Информатизация образования. 2012. №3.
33. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для IX классов средней школы. — //Математика в школе.-2002.- № 5.- с.34 — 40.
34. Фридман, Л. М. Сюжетные задачи по математике : История, теория, методика : Учеб. пособие для учителей и студентов пед. вузов и колледжей / Л.М. Фридман. — М. : Шк. Пресса, 2002. — 204
35. Холодная М.А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования: учебное пособие/М.А.Холодная. СПб.: Питер, 2002. 392 с.
36. «Чистая» и прикладная математика // https://function-x.ru/probabilities1.html
37. Нормативные документы об образовании в России // Гарант — https://edu.garant.ru/education/law/
38. Федеральные государственные образовательные стандарты // http://fgos.ru/

---

1  2