Вступительное испытание по математике УлГАУ

1. Действительные числа.

Натуральные, рациональные числа. Действия над рациональными числами. Понятие действительного числа. Множества чисел. Свойства действительных чисел. Приведение дробей к общему знаменателю. Десятичные дроби. Арифметические действия над десятичными дробями. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочлена на множители. Действия с алгебраическими дробями. Сокращение рациональных дробей. Сравнение действительных чисел. Числовые промежутки. Модуль действительного числа. Проценты. Пропорции.

2. Иррациональные числа и алгебраические выражения.

Понятие корня степени п. Корень четной и нечетной степени. Квадратные корни. Иррациональные числа и иррациональные выражения. Степени с целыми, отрицательными, дробными показателями. Свойства степени с рациональным показателем. Свойства степеней с рациональными показателями. Виды алгебраических выражений. Одночлены и многочлены. Приведение многочлена к стандартному виду. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Разложение многочлена на множители. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Преобразования арифметических корней. Преобразования иррациональных выражений.

3. Элементарные функции и их свойства.

Определение функции. Аналитическое задание функции. Числовая плоскость. Координатная плоскость. Четные и нечетные функции. График

четной и нечетной функции. Постоянная функция. Прямая пропорциональность. Линейная функция. Обратная пропорциональность. Квадратичная зависимость. Графики прямой и параболы.

Умение читать свойства функций по графику. Графики основных элементарных функций. Область определения и область значения функций. Периодичность функции.

4. Уравнения и неравенства.

Определение уравнения. Корни уравнения. Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения. Теорема Виета. Биквадратные уравнения. Системы уравнений. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Область определения уравнения. Посторонние корни. Решение уравнений методом введения новой переменной. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Линейные неравенства с одной переменной. Графическое решение неравенств с одной переменной. Неравенства второй степени. Неравенства с модулями. Метод интервалов решения неравенств. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными.

5. Показательная и логарифмическая функции.

Понятие логарифма. Свойства логарифма. Вычисление логарифмов. Переход к новому основанию логарифма. Логарифмические выражения и их преобразования. Логарифмические уравнения и неравенства. Системы логарифмических уравнений. Десятичные логарифмы. Натуральные логарифмы. Показательная функция. Простейшие показательные уравнения. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Показательные неравенства.

6. Тригонометрические функции.

Радианная мера угла. Определение синуса и косинуса, тангенса и котангенса угла. Арксинус. Арккосинус. Арктангенс. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Формулы двойных и тройных углов. Формулы половинного аргумента. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Однородные уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Системы тригонометрических уравнений.

7. Функции натурального аргумента.

Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Бесконечно убывающая геометрическая последовательность.

8. Производная функции и ее применение.

Приращение аргумента, приращение функции. Производная элементарных функций. Правила дифференцирования. Сложная функция и ее дифференцирование. Уравнение касательной к графику функции. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Построение графиков функций. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

9. Первообразная и интеграл.

Первообразная. Таблица первообразных. Правила вычисления первообразных. Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Правила вычисления интегралов. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

10. Планиметрия.

Параллельные прямые. Углы. Многоугольники. Треугольники. Подобие треугольников. Площадь треугольника. Виды треугольников. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Трапеция. Окружность, круг. Длина окружности. Площадь круга. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники.

11. Стереометрия.

Прямые и плоскости в пространстве. Двугранные углы. Многогранники. Призма и параллелепипед. Объем призмы и параллелепипеда. Пирамида. Круглые тела. Цилиндр. Конус. Сфера. Шар. Комбинации тел.

12. Элементы комбинаторики.

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

13. Элементы теории вероятностей.

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий.

14. Элементы математической статистики.

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.