Вступительные испытания по «Математика в профессиональной сфере» для УИ ГА

Арифметика

• Натуральные числа. Арифметические действия над натуральными числами. Порядок арифметических действий в числовом выражении. Признаки делимости натуральных чисел. Наибольший общий делитель и наибольшее общее кратное чисел.
• Целые числа. Рациональные числа. Операции над обыкновенными и десятичными дробями. Иррациональные числа.
• Действительные числа. Числовая прямая. Сравнение действительных чисел. Свойства числовых неравенств. Числовые промежутки.
• Модуль действительного числа, его свойства и геометрический смысл.
• Проценты, нахождение процента числа и числа по его проценту, процентное отношение. Пропорция, основное свойство пропорции.

Алгебра и начала анализа

• Виды алгебраических выражений. Тождественное преобразование выражений. Тождество.
• Одночлены и многочлены. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочленов на множители.
• Рациональные дроби и операции над ними. Преобразование рациональных и иррациональных выражений.
• Степень с натуральным, целым, рациональным показателями. Свойства степеней с рациональными показателями.
• Логарифм положительного числа. Логарифм произведения, частного, степени. Переход к новому основанию логарифма.
• Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла в прямоугольном треугольнике. Решение прямоугольных треугольников. Определение тригонометрических функций произвольного аргумента (угла). Основные тригонометрические тождества.
• Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух аргументов. Синус, косинус, тангенс двойного и половинного угла. Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение. Формулы приведения.
• Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.
• Функция. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Монотонные функции. Область определения функции.
• Свойства и графики линейных, квадратичных, степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических функций.
• Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Область допустимых значений уравнения. Равносильность уравнений.
• Линейные и квадратные уравнения. Теорема Виета. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Рациональные уравнения.
• Иррациональные, показательные, логарифмические уравнения и методы их решения.
• Формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью комбинированных способов применения различных формул.
• Система двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами подстановки и сложения.
• Система линейных уравнений. Системы показательных и логарифмических уравнений. Системы тригонометрических уравнений.
• Неравенство с одной переменной. Система и совокупность неравенств с одной переменной. Линейные, квадратные, дробно-линейные неравенства. Метод интервалов. Неравенства с модулем.
• Показательные, логарифмические, тригонометрические неравенства. Системы показательных, логарифмических и тригонометрических неравенств.
• Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена и суммы конечного числа членов арифметической и геометрической прогрессии. Убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.
• Производная функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные суммы, произведения, частного двух функций.
• Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной графику функции.
• Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции.

Геометрия

• Геометрические фигуры: треугольник, параллелограмм, ромб, квадрат, трапеция, многоугольник. Правильные многоугольники. Окружность и круг. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него.
• Основные свойства простейших геометрических фигур (окружности, угла, треугольника, параллелограмма, ромба, прямоугольника, трапеции) и соотношения между их элементами. Площади плоских фигур.
• Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Теоремы синусов и косинусов.
• Основные понятия и теоремы стереометрии. Параллельность и перпендикулярность двух прямых в пространстве, двух плоскостей, прямой и плоскости.
• Многогранники: призма, параллелепипед, куб, пирамида. Площадь боковой и полной поверхности призмы и пирамиды. Объем призмы и пирамиды. Правильные многогранники. Сечение многогранников плоскостью.
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар. Площадь боковой и полной поверхности цилиндра и конуса. Объем цилиндра и конуса. Площадь сферы. Объем шара.
• Векторы. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные и компланарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным или трём некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

• Поочередный и одновременный выбор. Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона.
• Вероятности событий. Сложение и умножение вероятностей. Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач.
• Табличное и графическое представление статистических данных. Числовые характеристики рядов данных.

Математика в профессиональной сфере

• Задачи на движение и совместную работу, смеси и сплавы, создание и исследование математической модели с помощью линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений и их систем.
• Определение пространственного положения тел и взаимодействия тел на основе понятий: вектор, модуль вектора, угол между векторами, проекции вектора на вектор.
• Применение производных функции в исследовании моделей физических процессов, при нахождении оптимального решения задач геометрии.
• Применение классических вероятностных схем, понятия частоты случайного события, геометрической вероятности при решении прикладных задач.