Вступительные испытания по математике для Тверской ГСХА

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

Арифметика, алгебра и начала анализа

• Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
• Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
• Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
• Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
• Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.
• Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
• Логарифмы, их свойства.
• Одночлен и многочлен.
• Многочлен одной переменной. Корень многочлена (на примере квадратного трехчлена).
• Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции.
• График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.
• Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
• Определение и основные свойства функций: линейной (y = kx + b), квадратичной (y = ax2 + bx + c), степенной (y = xn, n ∈ N), показательной (y = ax, a > 0), логарифмической, тригонометрических (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x), арифметического корня (y = √x).
• Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
• Неравенства. Решение неравенств. Понятие о равносильных неравенствах.
• Система уравнений и неравенств. Решение системы.
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.
• Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы). Формулы преобразования в произведение сумм sin α ± sin β; cos α ± cos β.
• Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
• Производные функций: y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x; y = xn (n ∈ N); y = ax; y = loga x.
• Производные функций (сумма, произведение, частное, сложная функция).

Геометрия

• Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.
• Примеры преобразования фигур. Виды симметрии. Преобразования подобия и их свойства.
• Векторы. Операции над векторами.
• Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
• Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
• Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
• Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.
• Центральные и вписанные углы.
• Формулы площадей: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
• Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.
• Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
• Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
• Параллельность прямой и плоскости.
• Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
• Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.
• Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная призма. Пирамида. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.
• Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
• Формулы площади поверхности и объема призмы. Формулы площади поверхности и объема пирамиды. Формулы площади поверхности и объема цилиндра. Формулы площади поверхности и объема конуса. Формула объема шара.
• Формула площади сферы.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

Алгебра и начала анализа

• Свойства функции y = kx + b и ее график.
• Свойства функции y = k/x и ее график.
• Свойства функции y = ax2 + bx + c и ее график.
• Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
• Свойства числовых неравенств.
• Логарифм произведения, степени, частного.
• Определение и свойства функций y = sin x, y = cos x и их графики.
• Определение и свойства функции y = tg x и ее график.
• Определение и свойства функции y = ctg x и ее график.
• Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.
• Формулы приведения.
• Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
• Тригонометрические функции двойного аргумента. Производная суммы двух функций.

Геометрия

• Свойства равнобедренного треугольника. Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка. Признаки параллельности прямых.
• Сумма углов треугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника.
• Признаки параллелограмма, его свойства.
• Окружность, описанная около треугольника.
• Окружность, вписанная в треугольник.
• Касательная к окружности и ее свойства.
• Величина угла, вписанного в окружность.
• Признаки подобия треугольников.
• Теорема Пифагора.
• Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
• Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
• Признак параллельности прямой и плоскости.
• Признак параллельности плоскостей.
• Теорема перпендикулярности прямой и плоскости.
• Перпендикулярность двух плоскостей.
• Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.
• Теорема о трех перпендикулярах.