Вступительные испытания по математике в экономике для ИМЭС

Раздел 1. Основы линейной алгебры

Векторы. Векторы на плоскости и в пространстве. Скаляры и векторы. Операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторное пространство. Понятие и основные свойства векторов. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по базису. Разложение вектора в ортогональном базисе.

Матрицы. Матрицы и операции над ними. Транспонирование матриц. Свойства произведения матриц. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Элементы матричной алгебры. Операции над определителями и основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Применение определителей. Виды квадратных матриц. Продуктивные матрицы и их свойства. Оператор линейного преобразования. Квадратичные формы.

Системы линейных алгебраических уравнений. Общий вид и свойства системы уравнений. Матричная форма системы уравнений. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Методы решений систем линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений.

Применение методов линейной алгебры в экономике. Использование алгебры матриц. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Линейная модель торговли.

Раздел 2. Функции и их графики. Исследование функций

Понятие числовой функции, способы задания, область определения, область значений функции. График функции. Общие свойства функции: промежутки знакопостоянства, монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность. Понятие обратной функции. Графики прямой и обратной функции. Преобразования графиков функций: сдвиг вдоль осей координат, растяжение и сжатие вдоль осей координат, преобразования, связанные с наличием знака модуля у аргумента или функции.

Применение функций в качестве различных реальных зависимостей между экономическими величинами. Их интерпретация.

Раздел 3. Математический анализ

Производная функции, определение. Основные правила дифференцирования. Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. Уравнение касательной к графику функции. Максимумы и минимумы (экстремумы) функции, промежутки возрастания и убывания. Общая схема исследования функции и построения графиков. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Применение этих понятий в экономике.

Задачи оптимизации. Построение экономической модели. Максимизация прибыли и минимизация издержек. Экономический смысл производной. Производная как скорость изменения некоторого экономического процесса, с течением времени.

Понятие первообразной. Правила нахождения первообразной. Понятие интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Объём продукции, среднее время изготовления изделия.

Раздел 4. Прогрессии

Понятие о числовой последовательности и способах ее задания. Арифметическая прогрессия, определение и свойства. Формула n-го члена и суммы первых n членов прогрессии. Геометрическая прогрессия, определение, свойства. Формула n-го члена и суммы первых n членов прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, ее сумма.

Раздел 5. Текстовые задачи

Задачи на движение, работу и производительность труда. Задачи, связанные с понятием «концентрация» и «процентное содержание». Задачи на процентный прирост и вычисление сложных процентов. Текстовые задачи, как математические модели экономических задач.

Раздел 6. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Элементы комбинаторики.

Элементы теории вероятностей. Классическое определение вероятности события. Теоремы сложения и умножения вероятностей события.

Элементы математической статистики. Выборка, частоты, эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Элементы регрессионного анализа.

Использование теории вероятностей и математической статистики при решении прикладных экономических задач. Вероятностно-статистические закономерности в экономике.