Вступительные испытания по математике в технических науках для ТГУ

Модуль «Пределы и непрерывность»

2.1.1 Тема «Функция одной переменной».

• Аргумент и функция. Область определения и область значений функции. Способы задания функции. Свойства функции. Построение графиков функций, заданных различными способами и описание их свойств.

2.1.2 Тема «Пределы и непрерывность функции».

• Числовая последовательность и ее предел. Понятие предела функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах функций. Два замечательных предела. Односторонние пределы функции. Нахождение предела функций. Непрерывность элементарных функций. Нахождение области непрерывности и точек разрыва функции и определение типов разрывов.

2.2. Модуль «Дифференциальное и интегральное исчисление».

2.2.1 Тема «Производная»

• Понятие производной функции. Геометрический и физический смысл производной.
• Производные основных элементарных и обратных функций и их нахождение. Производная сложной функции. Производная второго порядка.

2.2.2. Тема «Приложение производной».

• Исследование функции с помощью производной (монотонность функции, экстремумы функции, выпуклость и точки перегиба графика функции) и построение их графиков.

2.2.3. Тема «Неопределенный интеграл. Методы интегрирования».

• Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
• Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод интегрирования по частям, метод замены переменной. Вычисление интегралов различными методами.

2.2.4. Тема «Определенный интеграл и его приложение».

• Понятие определенного интеграла.
• Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур.

2.3. Модуль «Элементы линейной алгебры»

2.3.1. Тема «Матрицы и определители».

• Понятие матрицы и ее виды. Действия над матрицами.
• Определитель матрицы. Вычисление определителей. Свойства определителей.
• Обратная матрица.

2.3.2. Тема «Системы линейных уравнений и методы их решения».

• Понятие системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных). Метод обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

2.4. Модуль «Элементы векторной алгебры»

2.4.1. Тема «Прямоугольные координаты в пространстве».

• Расстояние между точками. Расстояние точки от начала координат. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении. Координаты середины отрезка.

2.4.2. Тема «Векторы и действия над ними».

• Понятие вектора. Длина вектора. Сложение векторов. Правило параллелограмма. Правило треугольника. Разность векторов. Умножение вектора на число.
• Коллинеарные векторы. Разложение вектора по осям координат (ортам).
• Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

2.4.3. Тема «Скалярное и векторное произведения векторов. Смешанное произведение векторов».

• Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами. Нахождение площади параллелограмма и треугольника.
• Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения.
• Смешанное произведение векторов и его свойства. Нахождение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды.

2.5. Модуль «Элементы аналитической геометрии»

2.5.1. Тема «Прямая».

• Понятие уравнения линии на плоскости. Составление уравнения прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми и расстояния от точки до прямой.

2.6. Модуль «Основные понятия комплексных чисел»

2.6.1. Тема «Алгебраическая форма комплексного числа».

• Понятие мнимой единицы, определение комплексного числа, действия с комплексными числами.

2.6.2. Тема «Тригонометрическая форма комплексного числа».

• Модуль и аргумент комплексного числа, тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

2.7. Модуль «Элементы теории вероятности и математической статистики».

2.7.1. Тема «Элементы теории вероятностей».

• Понятия события и вероятности события.
• Случайное, достоверное и невозможное события. Классическое определение вероятности.
• Основные теоремы теории вероятности.

2.7.2. Тема «Основные понятия комбинаторики».

• Перестановки, размещения, сочетания. Комбинаторные задачи.

2.7.3. Тема «Элементы математической статистики».

• Представление данных в виде таблиц, круговых и столбчатых диаграмм, графиков. Среднее арифметическое. Среднее значение величины.

2.8. Модуль «Измерение в геометрии».

2.8.1. Тема «Геометрические тела».

• Многогранники. Призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида. Усеченная пирамида. Нахождение основных элементов многогранников.
• Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Шар и сфера. Касательная плоскость к сфере. Сечения цилиндра, конуса, шара. Нахождение основных элементов тел вращения.

2.8.2. Тема «Площади и объёмы геометрических тел».

• Метрическая система мер. Основные единицы длины, площади, объёма, массы, соотношения между ними. Переход от одних единиц к другим.
• Формулы для вычисления площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, круга и его частей.
• Периметр фигуры. Длина окружности.
• Формулы площади поверхностей куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса, сферы.
• Объем и его измерение. Интегральная формула объема. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды.
• Формулы объема цилиндра, конуса, шара.