Зачёт по теме «Подобие треугольников»

1. В треугольнике ABC проведена параллельная стороне AC прямая DE (D лежит на AB, E лежит на BC). Известно, что AD = 4 см, DB = 6 см, AE = 5 см. Найти длину отрезка EC.

2. Через точку M на стороне AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая сторону AC в точке N. Найти длину отрезка MN, если AB = 12 см, BC = 18 см, AM = 4 см.

3. В треугольнике ABC медианы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Известно, что AO = 6 см. Найти длину медианы AA₁.

4. Медианы BM и CN треугольника ABC пересекаются в точке O. Отрезок MN равен 8 см. Найти длины отрезков MO и ON.

5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота. Известно, что AH = 4 см, BH = 9 см. Найти длину CH.

6. В треугольнике ABC точка D делит сторону AB в отношении 3:4 (считая от A), точка E делит сторону BC в том же отношении. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O. Найти отношение AO:OE.

7. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CH. Известно, что AH = 16 см, HB = 25 см. Найти:
• длину высоты CH;
• длины катетов AC и BC.

8. В прямоугольном треугольнике MNK (∠N = 90°) гипотенуза MK = 25 см, а высота NH делит её на отрезки MH = 9 см и HK = 16 см. Найти:
• длину высоты NH;
• длины катетов MN и NK.

9. В прямоугольном треугольнике PQR (∠Q = 90°) катет PQ = 12 см, гипотенуза PR = 20 см. Найти:
• длину второго катета QR;
• отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла.

10. В прямоугольном треугольнике XYZ (∠Y = 90°) высота YK делит гипотенузу XZ на отрезки XK = 4 см и KZ = 9 см. Найти:
• длину высоты YK;
• длины катетов XY и YZ.

11. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH = 25 см и HB = 4 см. Найти:
• длину высоты CH;
• отношение катетов AC : BC.

12. В треугольнике ABC медианы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Известно, что отрезок AO = 8 см. Найти:
• длину отрезка OA₁;
• длину медианы AA₁.

13. В треугольнике MNK точка O — точка пересечения медиан. Отрезок NO = 6 см, а отрезок OK = 4 см. Найти:
• длину медианы NN₁;
• отношение отрезков NO:ON₁.

14. В треугольнике DEF медианы пересекаются в точке O. Известно, что медиана DD₁ равна 15 см. Найти:
• длину отрезка DO;
• длину отрезка OD₁.

15. В треугольнике PQR точка O — точка пересечения медиан. Отрезок QO = 10 см, а весь отрезок QQ₁ = 15 см. Найти:
• длину отрезка OQ₁;
• проверить, верно ли, что точка O делит медиану в отношении 2:1.

16. В треугольнике XYZ медианы пересекаются в точке O. Отрезок ZO = 12 см, а отрезок Z₁O = 6 см. Найти:
• длину медианы ZZ₁;
• проверить соотношение отрезков ZO:OZ₁.

22. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 1 м, а высота фонаря равна 9 м?

23. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

24. Средняя линия треугольника на 6 дм меньше основания. Чему равна сумма средней линии и основания треугольника?

26. Детская горка укреплена вертикальным столбом, расположенным посередине спуска. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3 метрам. Ответ дайте в метрах.

27. В треугольнике ABC, где АС=21 см, на стороне BC отмечена точка S так, что BS=8 см и SC=10 см. Оказалось, что углы BAS и ACS равны. Найдите длины отрезков AS и AB.

28. Через точку М стороны АD=11дм треугольника ADC проведена прямая MN параллельно DC, которая отсекает от стороны АС отрезок NC=5 дм, а MD=4 дм. Найдите длину отрезка AN.

29. На отрезке RL отмечена точка О так, что RO=24м, OL=12м. Треугольники RKO и ОМL, в которых углы KRO и MLO прямые и ML=16м, расположены в одной полуплоскости относительно прямой RL. Кроме того, углы RKO и MOL равны. Найдите длину стороны KR.

30. В треугольнике АВС с прямым углом С на стороне АС отмечена точка М так, что АМ=5дм, МС=10дм. Через точку М, перпендикулярно АС, проведена прямая, пересекающая АВ в точке Е, АЕ=13дм, МЕ=12дм. Найдите длины отрезков СВ и ВЕ.