2 Методические основы построение модели волатильности фондового рынка
2.1 Сравнительный анализ моделей волатильности рынка
Волатильность изменений цены акций характеризует как рынок склонный к флуктуациям, то есть, отклонениям цен от предыдущих значений. При проведении анализа волатильность часто рассматривают как локальное среднее значение модуля изменения цены.
Согласно данной модели волатильность – это уровень колебаний стоимости финансового инструмента в зависимости от колебаний рынка. Чем сильнее отклонения цены актива от среднего значения, тем выше уровень риска этого актива. Это одна из гипотез теории оптимального инвестиционного портфеля, который связал высокую волатильность с непредсказуемостью поведения цены, а, следовательно, и с повышенным риском. Волатильность является показателем осмысленности действий участников фондового рынка. С ростом цены акций многие игроки пытаются подхватить тренд и таким образом придают ему еще больший импульс в развитии. Это может продолжаться до тех пор, пока не иссякает поток заинтересованных лиц, после чего динамика цены может измениться на противоположную.
В стандартных статистических моделях считается, что ожидаемая дисперсия случайной ошибки не меняется во времени. Зато Р. Энгл предположил, что дисперсия случайной ошибки зависит от ранее реализованных случайных ошибок. Поэтому его подход получил сокращенное название ARCH.
Общепринятым подходом к моделированию волатильности является рассмотрение ее как случайной величины. Учет такой корреляции в модели случайных вели-чин позволяет объяснить такие особенности поведения цен финансовых активов, как кластеризация волатильности, наличие «тяжелых хвостов» функции распределения плотности оценок волатильности, эффект «длинной памяти». Эти свойства описываются в рамках моделей ARCH. Существует большое количество модификаций ARCH-моделей. Среди них наиболее весомыми считаются модели обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности – GARCH.
Ключевое различие GARCH заключается в различии между условной и безусловной вариацией случайного процесса {есть t}. Термин «условная» означает независимость от прошлой последовательности наблюдений. Модели GARCH характеризуют условное распределение {Еt}, используя серийную зависимость условной вариации (дисперсии) случайных величин:
k > 0; G;> 0 i = 1,2,…, P; Aj > 0 j = 1,2,…, Q (2.1)
Первое ограничение – стационарность, является необходимым и достаточным для существования конечной, независимой от времени дисперсии волатильности {Есть t}. Других ограничений достаточно, чтобы гарантировать, что условная дисперсия {стf} строго положительна.
Как показали исследования, модели ARCH обладают определенными недостатками. Главным ограничением следует считать неустойчивость модели, которая проявляется при увеличении количества параметров. Также ARCH и GARCH модели не учитывают резкие изменения исследуемого показателя, в то время как современным финансовым рынкам присущ «скачкообразный» характер поведения.
В последние годы в области эконометрического моделирования волатильности больше развиваются непараметрические методы, которые, как правило, не делают предположений о функциональную форму зависимости и позволяют получить гибкие и в то же время достоверные оценки волатильности.
Модель переменной во времени волатильности или ARCH-модель используется преимущественно для оценки стоимости рисков портфельных инвестиций. Например, расчет будущей волатильности играет значительную роль в определении цен на опционы и другие финансовые деривативы. Сегодня наиболее адаптированной моделью для расчета стоимости портфеля ценных бумаг, подверженного риску, и переменной волатильности является модель GARCH, которая была разработана Р. Энглом в 1986 году совместно с Т. Боллерслевом. Это обобщенная авторегрессионная модель гетероскедастичности, которая предполагает, что на текущую динамику волатильности влияют как предыдущие изменения показателей, так и предварительные оценки дисперсии, то есть так называемые «старые Новости» рынка. Кроме этого, существуют различные модификации GARСH-моделей, такие, как AGARCH, EGARCH тому подобное, которые применяются в различных специфических условиях. Например, AGARCH или асимметричная GARCH-модель используется для измерения динамики дисперсии в периоды подъема или спада на финансовых рынках.
Спецификация волатильности как стохастического процесса является естественной, что можно объяснить на значительном количестве эмпирических данных, которые обосновывают свойства распределений, выступающих при трансформации затрат. Например, наблюдаемое соотношение между величиной волатильности и активом может быть объяснено уровнем зависимости волатильности согласно модели (CEV) вариации устойчивой эластичности, или модели Кокса и Росса. Стохастическая волатильность может также возникнуть эндогенно с помощью равновесия, которое моделирует поведение участников рынка.
Более общие стохастические модели волатильности предложенные Хулом и Уайтом, построены на идее, что корректная спецификация волатильности может иметь общее и аналитическое трактовка. Очень часто использование правдоподобных параметров, аналогично, как при отрицательной корреляции между волатильностью и ценой, на практике не соответствует фактическим ценам опционов. При эмпирической верификации происходит поиск структурных параметров с помощью отбора существенно различных временных рядов для проведения оценки.
Модель СЕV (constant elasticity of variance model) является обобщением моделей геометрического броуновского движения. Впервые эта модель предложена для исследования цены европейского опциона [51]. Модель СЭУ основывается на предположении, что риск – нетральный процесс, описывающий цену акции S имеет вид:
dS = (r — q)Sdt + &Sadz, (2.2)
где r – безрисковая процентная ставка, q – дивидендная доходность, S – параметр волатильности, а – дополнительная константа, dz – винеровский процесс. При а = 1 модель СЕV совпадает с моделью геометрического броуновского движения, если а < 1 то при уменьшении стоимости актива, его волатильность увеличивается, если а > 1 то при росте стоимости актива, его волатильность также растет. Это соответствует улыбке волатильности и означает, что волатильность является растущей функцией зависимой от цены актива.
Сравнивая с моделями геометрического броуновского движения, автор считает, что преимущества модели CEV заключаются в том, что коэффициент нестабильности соотносится с ценой рискованных активов и может объяснить эмпирические предубеждения, такие как нестабильность улыбки волатильности [46]. Модель CEV обычно применяется для расчета теоретической цены, чувствительности и предполагаемой волатильности опционов [48]. В течение последних лет проблема инвестиций для Пенсионного фонда является очень важной, оказалось что модель CEV успешно применяется для изучения оптимальной инвестиционной стратегии [53].
Моделирование и прогнозирование динамики цен финансовых инструментов является важным элементом инвестиционной деятельности. Поскольку они обладают высоким уровнем финансового рычага и выполнение обязательств по ним осуществляется в будущем. Цены на деривативы имеют тенденцию к изменениям и предсказать их поведение становится все сложнее. С помощью производных финансовых инструментов осуществляются разнообразные операции с финансовыми продуктами, пригодными для купли-продажи. Эффективность принятия инвестиционных решений во время деятельности на фондовом рынке России является главным фактором заинтересованности в нем инвесторов.
Для успешных финансовых результатов деятельности участникам рынка ценных бумаг необходимо хорошо ориентироваться в процессах ценообразования на фондовом рынке. Операции с производными ценными бумагами занимают важное место в финансовой деятельности фондового рынка потому что каждому участнику нужно хеджировать риски, что получить дополнительную прибыль на основе спекуляций на фондовом рынке. Поэтому деривативы являются одним из основных инструментов рынка ценных бумаг. Важной задачей является исследование состояния и динамики отечественного фондового рынка в тесном взаимосвязи с фондовыми рынками других стран, анализ волатильности финансовых инструментов с целью повышения эффективности инвестиционных операций. В настоящее время разработано много других подходов к анализу локальной и стохастической волатильности, которые описывают общую динамику цены базового актива, при помощи моделей CEV, JDCEV, Heston, но применение этих моделей требует использования специальных функций и численного интегрирование сложных функций. Это значит что могут быть большие значительные в вычислениях, но при рассмотрении временных зависимостей значительная часть моделей становится неустойчивой. Для непосредственного вычисления нужны другие методы нахождения цены деривативов.
Согласно теории случайного движения, которую разработал Л. Башелье текущая рыночная стоимость и доходность ценных бумаг являются статистически независимыми. Согласно этой теории прогнозировать ценообразование показателя фондового рынка на основе данных о его динамику за предыдущий период невозможно, потому, что ценная бумага имеет внутреннюю стоимость, его рыночная цена меняется случайным образом и отражает информацию о его эмитентов.
Р. Элиот разработал теорию волн, согласно которой динамика ценообразования на фондовом рынке разного рода финансовых активов, основывается на определенных моделях, а инвесторы их могут распознать и использовать для прогнозирования цен в будущем.
Согласно теории ширины рынка, разработчиком которой является Р. Рассел, можно анализировать противоположно направленные тренды ценообразования на различные группы ценных бумаг, когда курс одних на рынке растет, а других снижается. Преимуществом этой теории является сравнение количества ценных бумаг, рыночная стоимость которых снижается, и количества тех бумаг, рыночная стоимость которых растет, а затем проводить выводы относительно инвестиционных решений.
Относительно технического анализа, то основным является утверждение, что цены движутся в определенном направлении, и это движение основывается на предыдущих значениях цен. Однако на курс, помимо давления его прошлых значений и текущих тенденций, влияет также немало других факторов фундаментального характера. На значительных по продолжительности промежутках времени влияние более или менее незначительных факторов может превращаться в «шум», то есть чем меньше промежуток времени, тем значительнее их влияние на ценообразование. То есть на незначительных по продолжительности промежутках времени колебания и другие финансовые переменные можно считать случайными величинами.
На сегодня распространено мнение, что на фондовом рынке удобно проводить анализ в двух направлениях: фундаментальном и техническом. Технический анализ, использует историю закономерностей, а фундаментальный анализ базируется на знаниях экономических законов, различных факторов ценообразования, а также спроса и предложения на ценные бумаги.
Встает проблема в том что технические индикаторы для расчета своих значений используют процессы многократного усреднения, взвешивания и прочее. На фондовом рынке колебания цен имеют случайный характер, потому что участники рынка не могут друг с другом договориться, поэтому применение современных технических индикаторов и средних величин, таких как, например скользящее среднее, не всегда приводит к точному результату.
Новое направление технического анализа открывает спектральный анализ финансовых и фондовых рынков, который является прикладным аппаратом теории сигналов, которая широко используется в цифровых системах. Основным его преимуществом является то, что для каждого сигнала можно применить преобразованием Фурье и развить в частотной области. С помощью этого преобразования можно узнать «частоту» рынка, то есть проанализировав спектр, понять насколько часто происходят краткосрочные или долгосрочные колебания цен и какие они по длительности. После этого находят вероятность того, к какому циклу относятся колебания, и соответственно, зная, когда они закончатся, можно принять верное решение о покупке или продаже ценной бумаги.
Ясно, что предусмотренный с помощью этого метода момент, никогда не совпадет с реальным на сто процентов вследствие не детерминированности рынка, но четкий момент окончания тенденции будет однозначно определен. Если исследовать точнее и глубже, то можно с высокой точностью определить фазу рыночного цикла, потому что, как известно, частота и фаза связаны между собой дифференциальным уравнением, и оно имеет место для сигналов в цифровых системах в общем случае, так и при анализе фондовых рынков в частности.
Процессы ценообразования на фондовом рынке на основе классических методов анализа фондового рынка являются не полностью эффективными поэтому удобно использовать новые подходы и методы. Используя спектральный анализ, а именно регулярные и сингулярные возмущения для прогнозирования временных рядов финансовых показателей. Можно разложить временной ряд на составляющие, которые легко интерпретировать. При этом метод не требует стационарности ряда, знания модели тренда, а также сведений о наличии в ряде периодических составляющих и их периодах. Данная методика позволяет решать многие задачи.
В работе применены методические и теоретические основы экономико — математических методов анализа временных рядов для прогнозирования динамики фондовых индикаторов, с помощью спектрального анализа, с целью оптимизации эффективности деятельности участников фондового рынка.
Спектральный анализ сочетает в себе элементы классического анализа временных рядов, многомерной статистики, динамических систем и обработки сигналов.
Методы спектрального анализа применяются для исследования закономерностей динамики временных рядов показателей фондового рынка и позволяют эффективно определять количественные стороны закономерностей, и отслеживать динамику процессов, протекающих на фондовом рынке.
На основе применения модели Гобсона-Роджерса может быть исследована динамика фондового индекса и найдена волатильность стоимости финансовых инструментов, операции с которыми происходят на фондовой площадке. Применяя быструю среднее изменение волатильности, предложен эффективный метод для моделирования, анализа и устойчивой оценки важных рыночных параметров.
Рассчитанные цены опционов с помощью модели Гобсона-Роджерса позволяют выбрать лучший вариант стратегии для повышения эффективности хеджирования. Использована гибкая схема взвешивания, соответствующая конечному горизонту времени. В отличие от стандартных локальных или стохастических моделей волатильности, в случае внезапного падения рынка, независимая модель волатильности может быть использована для автоматического повышения уровня волатильности с целью гармонизации динамики фондового рынка.
Таким образом, анализ фондового рынка методами нелинейной динамики, основывается на построении адекватных моделей его развития, с учетом внутренних структурных и динамических свойств. Именно нелинейные методы исследования фондового рынка позволяют интерпретировать спектр его поведения, который является чрезвычайно чувствительным к изменению экономических трендов, а данные фондовых индексов можно использовать для построения индикаторов. Если отдельные переменные коррелируют между собой, стандартное отклонение теряет свое значение в определении размерности риска. В случае если распределение ставок доходности финансовых инструментов не описывается нормальным распределением, существенно уменьшается эффективность стандартного отклонения как размерности риска. Тогда теория хаоса предлагает решение, а именно, фрактальную размерность временных рядов. Принятие гипотезы, которая утверждает, что движение курсов биржевых акций описывается законами теории хаоса, исключает применение технического анализа для прогнозирования будущих цен на акции, поскольку между двумя данными концепциями подхода к анализу временных рядов существует достаточно весомая противоречие. Это объясняется тем, что теория хаоса исключает повторяемость, вопреки наличию в ней понятия цикла, а технический анализ сосредоточен на принципах повторяемости, и это дает возможность техническим аналитикам идентифицировать разного рода формации.
2.2 Методические подходы к применению моделей волатильности рынка
Рассмотрим основные статистические показатели методики оценки волатильности на фондовом рынке. К ним, прежде всего, относятся: простая средняя цена; пределы изменения цены; трендовые индикаторы; осцилляторы и тому подобное.
1. Расчет простой средней цены (среднего показателя волатильности цены).
Самым простым инструментом технического анализа является расчет простой средней цены (волатильности). При расчете простой средней цены возникает проблема выбора так называемого порядка, то есть количества последовательных значений цен, которые необходимо взять для расчета средней цены. Нужно помнить, что неправильный выбор порядка может привести к ошибке в расчете средней цены.
Наиболее простыми в применении, но и наименее точными и надежными среди названных являются методы экстраполяции тренда. Их применение также не создает проблемы при настоящем уровне развития вычислительной техники. Однако, заметим, что большая часть названных подходов к прогнозированию волатильности (методы фрактального анализа, экстраполяция трендов, нейросетевые методы) являются чисто техническими и не раскрывают механизма формирования названного показателя под действием различных факторов. На наш взгляд, в ситуации, когда акцент переносится с прогнозирования на экономический анализ факторов влияния, наибольшим адекватным инструментом исследования процесса формирования волатильности являются методы корреляционно-регрессионного анализа и многомерного статистического анализа.
Для изучения динамики цены на фондовом рынке используют такие показатели, как абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, средний абсолютный прирост и др.
Абсолютный прирост ( ) (АР) – это разница между последующим уровнем ряда ( ) и предыдущим (или базисным) ( ). Формула базисного АР:
(2.3)
Формула цепного АР:
(2.4)
Цепные темпы роста представляют собой отношение последующего ряда динамики yi к предыдущему :
(2.5)
Базисные темпы роста рассчитывается отношением каждого последующего уровня ряда к одному уровню, принятому за базу сравнения:
(2.6)
Темпы прироста находятся по формуле:
(2.7)
Абсолютное значение одного процента прироста (А1%).
(2.8)
Необходимо отметит, что темп роста цены на фондовом рынке определяют как индекс средних цены на фондовом рынке из-за их очень сильной изменчивости.
Индекс номинального эффективного волатильности рассчитывают по формулам: а) средней арифметической; б) средней геометрической.
Метод вычисления индекса номинального эффективного волатильности по формуле средней геометрической используют с целью устранения влияния какой-то одной акции конкретно.
Среди простых средних выделяют три основных вида: простые скользящие средние; взвешенные скользящие средние экспоненциальные скользящие средние.
Расчет простой скользящей средней цены (Moving Average – МА) сводится к расчету простой среднеарифметической цены:
MA = Цi / n, (2.9)
где Цi – цена единицы определенного товара, акции, валюты и т. п.; n – количество последовательных значений цен.
Простая скользящая средняя (среднеарифметическая) цена известна каждому человеку и дает наиболее приближенную к реальности информацию о курсе стоимости акции.
Формула для расчета взвешенной скользящей средней цены WMA имеет вид:
(2.10)
Но чаще всего технический анализ предполагает расчет экспоненциальной скользящей средней цены. При расчете экспоненциальной скользящей средней цены. Отличительной чертой цены ЕМА от взвешенной средней цены WМА является то, что она учитывает экспоненциальную скользящую среднюю цену, которая имела место в предыдущем периоде. Формула для расчета цены ЕМА имеет вид:
EMA (t) = EMA (t – 1) + (к – [Цt-ЕМА (t – 1)]), (2.11)
где t – индекс, который означает сегодняшний день; (t – 1) – индекс, который означает вчерашний день; К = 2 / (n + 1), где n – порядок средней.
Расчет экспоненциальной скользящей средней цены по своей сути является статичным, потому что он производится на основе последней цены и не учитывает текущую динамику цен.
Выбор конкретных видов средних цен в процессе проведения технического анализа осуществляется в зависимости от имеющихся возможностей их расчета. По нашему мнению, расчет простых средних цен не вполне пригоден для прогнозирования цены на фондовом рынке, поскольку не учитывает действия человеческого фактора.
Определение границы изменения цены (или так называемого канала цен Price Channel Upper – PCU) базируется на чувствительности цены акции (или курса соответствующей акции). Чувствительность (volatility) цены – это величина, характеризующая определенные отклонения цены (волатильности) от определенного уровня. Чувствительность можно рассчитать по-разному: как наибольший размах колебаний цены (курса) акции, как средние отклонения или как среднеквадратические отклонения цены от ее определенного уровня. Конкретный способ расчета чувствительности цены определяется субъектами фондового рынка.
Для построения канала цены рассчитывают простую скользящую среднюю цену MA и строят полосу вокруг нее. Расчет верхней и нижней границы полосы осуществляют по формулам:
U = (1 +А) – MA(P,n)
L = (1 – JL) – MA(P,n), (2.12)
где U – верхняя граница полосы канала цен; L – нижняя граница полосы канала цен; d – установленный субъектами фондового рынка процент отклонения верхней границы полосы цены от простой скользящей средней цены; u – установленный субъектами фондового рынка процент отклонения нижнего предела полосы цены от простой скользящей средней цены; MA (P, n) – простая скользящая средняя цена.
3. Расчет трендового индикатора РТР.
Индикатором, который чаще всего используется для анализа фондового рынка, является индикатор РТР (Parabolic Time Price System). Данный индикатор был разработан и описан в 1976 году Уэллсом Уилдером.
Этот индикатор представляет собой линию, что находится выше или ниже линии средней цены и сигнализирует о том, что тренд цены (волатильности) изменяет свое направление. Главная задача индикатора РТР –определять, именно после какого значения цены (волатильности) наступает момент закрытия открытых ранее позиций купли-продажи на фондовых рынках.
Цена закрытия открытых ранее позиций купли-продажи (или цена закрытия завтрашнего дня S2) рассчитывается по формуле:
S2 = S1 + AF – (EP1 – S1), (2.13)
где S1- текущая цена закрытия; ЕР1 – экстремальный уровень торгов на текущий день.
Для устранения сезонности в рядах динамики цены на фондовом рынке фактические уровни делят на соответствующие индексы сезонности.
Спектральной плотностью функции называют размер амплитуды гармоники в зависимости от ее периода. Чем больше амплитуда определенной гармоники, тем сильнее колебания в данном периоде.
Исследование циклических колебаний осуществляют после извлечения из исходного ряда сезонности. Циклическую составляющую определяют, удалив из фактических уровней выровненные уровни в соответствии с основной тенденцией и сезонной составляющей.
Очень часто в анализе динамики волатильности применяют сглаживание по экспоненциальной средней, которая наиболее чувствительная к любым изменениям значений волатильности. Экспоненциальную среднюю определяют по формуле:
yt =ayt + (1 – yt_1) (2.14)
где а – постоянная величина сглаживания (0 <а < 1); yt – фактическое значение волатильности в момент времени t; t – момент времени, для которого рассчитывают выровненное значение волатильности;
yt_1 – экспоненциальная средняя в момент времени, предшествующий t.
Экспоненциальную среднюю используют также для прогнозирования динамических рядов цены на фондовом рынке адаптированным методом.
На динамические ряды уровней волатильности влияет множество факторов, в том числе фактор времени, то есть уровень волатильности в данный момент времени зависит от его величины в предыдущий. Это означает, что динамическим рядам волатильности свойственна автокорреляция, которую нужно устранить с целью правильного статистического анализа.
Коэффициент автокорреляции отклонений принимает значения в пределах от -1 до +1.
4. Расчет осцилляторов.
Осцилляторы – особые типы индикаторов, которые имеют свойство обязательно возвращаться к своим средним значениям, то есть возвращаться к своему нормальному состоянию. Рассмотрим действие самых известных осцилляторов, рассчитываемых для фондового рынка.
а) индикатор Momentum.
Индикатор Momentum вычисляется как разница между ценами (курсами) акций, зафиксированными в определенные моменты времени. Отрицательные и добавочные значения изображают на графике относительно опорной нулевой линии. Формула для расчета индикатора Momentum имеет вид:
М = Р1 – Р0, (2.15)
где Р – цена закрытия открытых ранее позиций купли-продажи ценных бумаг; «1» — индекс, который обозначает текущий день; «0» – индекс, определяющий количество дней от определенной даты до даты, определяющий текущий день.
б) индикатор RSI или индекс относительной силы.
Индикатор RSI был разработан Дж. Уилдером и опубликован в 1978 году в книге «Новые концепции в технических торговых системах». Формула для расчета индикатора RSI имеет вид:
RSI = 100 – 100/(1 + RS) (2.16)
где RS – это отношение экспоненциальной скользящей средней, построенной за n периодов по положительным приростам цены к значению, взятому по модулю экспоненциальной скользящей средней построенной за n периодов по отрицательным приростам цены.
Основой для расчета индикатора RSI является теория вероятностей. Индикатор RSI показывает, что цена (курс) ценных бумаг не может расти или падать бесконечно долго.
в) индикатор Stochastic или так называемые стохастические линии.
Целью индикатора Stochastic является исследование ценовых тенденций с целью определения вероятности изменения ценовой тенденции (тренда) на противоположное на основе наблюдения за ценами закрытия контрактов, которые фиксируются в середине последней серии подъемов и падений цен (курсов) ценных бумаг, ценных бумаг и т. на торгах фондовых и валютных бирж. Индикатор Stochastic базируется на предположении, что когда цены (курсы) ценных бумаг растут, то дневные цены закрытия должны быть ближе к максимальным, которыми заканчиваются последние торги.
Формула для вычисления индикатора Stochastic (стохастических линий) имеет вид [8]:
K = (Pt – MinP14) / (MaxP14 – MinP14) (2.17)
где Pt – текущая цена закрытия открытых ранее позиций купли-продажи ценных бумаг; MinP14 – самый низкий уровень цен за последние 5 дней; MaxP14 – самый высокий уровень цен за последние 5 дней.
Построенные по формуле 2.16 стохастические линии называют еще быстрыми линиями.
Описанные выше осцилляторы можно использовать только при краткосрочном прогнозировании цены на фондовом рынке, что является недостатком применения этих осцилляторов.
Для анализа факторов, влияющих на курс ценной бумаги, возможно применение теории нечеткой логики. Она дает возможность использовать для прогнозирования состояния фондового рынка не только количественные, но и практически неограниченное количество качественных характеристик рынка, заданных нечетко. Нечеткая логика больше присуща человеческому мышлению и человеческим языкам, чем традиционные логические системы. Она обеспечивает более эффективное отражение неопределенностей реального мира. Применение математико-статистических приемов отображения информации, которая задана нечетко, позволяет построить экономические модели, которые в большей степени будут адекватны реальности.
Составляющие формирования волатильности отражаются общепринятую концепцию и делятся на экономические, инвестиционные, внешнеэкономические и социальные. Фактор риска, необходимость акцентирования которого мы подчеркиваем, не может быть выделен в отдельную составляющую, поскольку в определенной степени представлен в каждой из четырех составляющих.
Факторный анализ входит в эконометрическую модель волатильности и имеет иерархическую структуру.
Рисунок 2.1 – Иерархическая структура эконометрического анализа волатильности
На основе факторного анализа рассчитывается индекс влияния на курс ценных бумаг – интегральный индекс ценных бумаг (ИИВ). Для расчета обобщенного показателя влияния факторов на курс ценных бумаг использована формула (2.17) и система интегральных показателей факторов изменения волатильности.
В наиболее общем виде экономическая и математическая модель влияния факторов на курс ценных бумаг имеет такой вид:
F = Rj×X (2.178)
где F – целевая функция.
В изложенной постановке задача оценки влияния факторов на курс ценных бумаг состоит в том, чтобы обеспечить экстремум целевой функции. При этом в зависимости от содержания целевой функции задача сводится к обеспечению F -> тип или F -> max; Y – множество показателей влияния на курс ценных бумаг, которое формируется под влиянием факторов множеств X, R и Е; X = (х,,…, хт) – множество факторов, влияющих на показатели множества Y (риски), которые могут быть изменены в результате мер по улучшению регулирования волатильности.
Предложенная система индексов и показателей позволяет оценить общее влияние факторов на курс ценных бумаг. Так как представленные факторы находятся в тесной взаимосвязи, то в модели необходимо предусмотреть возможность взаимовлияния выделенных факторов.
При этом уровень влияния концепта кi на концепт кj
cij= . (2.19)
Воздействие i-го концепта на систему [17, с.217]:
. (2.20)
Воздействие системы на i-й концепт
. (2.21)
При обобщении факторов влияния на курс ценных бумаг по группам будет получен интегральный индекс фондового рынка ИИВ:
ИИВ = i×ЭС + j× ИУ + k× СС + l× ВнЭкС (2.22)
где ИИВ – интегральный индекс ценных бумаг, ЭС – экономическая составляющая; ИС – инвестиционная составляющая, СС – социальная составляющая; ВнЭкС – внешнеэкономическая составляющая; i, j, k, l – удельные веса факторов.
Логичным является предположение о том, что модель нелинейной многофакторной регрессии лучше будет описывать поведение реального показателя и даст более точный прогноз. Учитывая это обстоятельство и особенности взаимодействия факторов (их частичную взаимозаменяемость), была выполнена спецификация модели и выбрана мультипликативная функция регрессии.
Интерпретация значений индексов развития по каждой составляющей представлена далее:
Таблица 2.1
Интерпретация значений факторов формирования волатильности по составляющим
Таким образом, входными данными при моделировании является перечень факторов, влияющих на уровень волатильности и представленных в виде нечеткой когнитивной карты причинно-следственных связей факторов и их весовые отношения, полученные в результате проведения экспертного опроса специалистов. Выходные данные – интегральные системные показатели, определяющие влияние каждой группы факторов (экономического, инвестиционного, внешнеэкономического, социального) на целевую функцию (динамику волатильности). Полученные интегральные системные показатели можно представить в виде вектора [17, с.217]:
, (где n=число факторов), координатами которого являются величины влияния соответствующего фактора на динамику волатильности [29, с.67].
Для того чтобы уровень влияния факторов на курс ценных бумаг принимал значения в диапазоне от 0 до 1, должна быть проведена нормировка коэффициентов влияния факторов на целевую функцию системы – см. формулу 2.23:
. (2.23)
Тогда сумма коэффициентов влияния факторов на целевую функцию будет равна 1. Составляя линейную комбинацию из значений факторов формирования волатильности и их влияния на целевую функцию, получим относительную величину, которую можно назвать влиянием внешних факторов на курс ценных бумаг.
Модель прогнозирования волатильности на основе показательных и степенных функций – это такая модель, при которой расчет прогнозной величины волатильности Вк осуществляется по формуле:
Вк = + а2Ф2+…+ аnФn, (2.24)
где Ф1, Ф2, Фn – факторы (параметры), влияющие на формирование волатильности;
А1, А2.. Аn – коэффициенты, характеризующие связь между факторами (параметрами) и величиной волатильности.
При выборе вида функции тренда можно воспользоваться методом конечных разностей (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).
Конечными разностями первого порядка являются разности между последовательными уровнями ряда [26, с.49]:
Δ1t = Yt — Yt-1 (2.25)
Конечными разностями второго порядка являются разности между последовательными конечными разностями 1-го порядка:
Δ2t = Δ1t — Δ1t-1 (2.26)
Конечными разностями j-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j–1)-го порядка [51, с.87]:
Δjt = Δj-1t — Δj-1t-1 (2.27)
Для прогнозирования также может быть применена модель R. Система VAR представляет собой систему линейных разностных уравнений k-го порядка, которые аппроксимируют взаимосвязи между политическими и экономическими переменными [22, с.3]. Если бы между политическими и экономическими переменными не существовало связи в текущем периоде, то эмпирическая оценка системы была бы делом не очень сложным: конечно, метод VAR позволил бы получить эконометрические оценки коэффициентов матриц. В случае же наличия связей между переменными в рамках нулевого лага оценивание усложняется. В рамках базовой модели рассматривается структура взаимосвязей между тремя вышеупомянутыми макроэкономическими переменными.
С этой целью может быть использован выбран метод Хольта-Винтерса, комбинированный с полиномиальным прогнозированием по принципу минимизации МАД-критерия (MAD – mean absolute deviation). Этот метод не требует оценки дисперсии адекватности [46, с.15].
Метод Хольта-Винтерса успешно справится не только с краткосрочными, но и средне- и даже долгосрочными прогнозами, поскольку способен выявлять микротренды в моменты, предшествующие прогнозным, и экстраполировать эти тренды на будущее. При использовании метода необходимо последовательно вычислить значения тренда, накопленные в некоторой точке ряда.
Комбинация этого метода вместе с методом полиномиального сглаживания даст линию, в которой учтены все перечисленные компоненты. При использовании этого метода факторы (параметры), влияющие на курс ценных бумаг, подразделяются на постоянно действующие и такие, которые имеют определяющее влияние на курс ценных бумаг. Именно эти факторы формируют основную тенденцию (тренд) динамики волатильности. Влияние других факторов (параметров) проявляется в виде краткосрочных случайных изменений в отдельных значениях рядов динамики.
Ряд показателей для оценки волатильности фондового рынка может быть получен на основе имеющейся в открытом доступе информации о компании, ряд оценен с помощью экспертной оценки. Предполагается, что для этого имеются необходимые статистические данные и группа экспертов, способных принять участие в экспертном опросе [10, с.56]. Это позволяет повысить уровень обоснованности управленческих решений по регулированию волатильности.
2.3 Алгоритм построения модели оценки волатильности
Как было указано в п. 1.3 и 2.2, одним из инструментов оценки меняющейся волатильности являются эконометрические модели условной гетероскедастичности (ARCH, autoregressive conditional heteroscedasticity), обобщенной авторегрессионные условной гетероскедастичности (GARCH, generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) и их различные модификации. Предлагается совместить рассмотренные эхконометрические модели с неколичесвтенной оценкой волатильности на оснвое экспертного опроса. Нахождение значения имплицитной волатильности и последовательных приближений цены деривативов дают возможность: системно анализировать процессы, происходящие не только в сегменте производных финансовых инструментов, а и в других взаимосвязанных сегментах как отечественного так и зарубежных фондовых рынков, а также, что не менее важно, корректировать существующую у участников рынка – как продавцов, так и инвесторов – финансовую стратегию своего поведения на финансовом рынке, в том числе пошагово находить изменения доходности и волатильности и прогнозировать динамику финансовых рисков.
При выборе модели установления цен учтены состав, структуру волатильности и средний уровень ее изменения, предложен эффективный метод для анализа и оценки важных рыночных параметров. Исследовано влияние стохастической волатильности на цену производных финансовых инструментов. Преимущества такого подхода заключаются в возможности точного определения вида функции от переменной, когда цены опционов согласуются с рыночными ценам.
В качестве примера рассмотрим использование теста Энгла для проверки наличия GARCH-эффектов (то есть гетероскедастичности) в временном ряду квадратов остатков {st}. Нулевая гипотеза предполагает, что временной ряд является случайной последовательностью, распределенной по Гаусу (то есть не существует никаких ARCH-эффектов). Если признаки условной гетероскедастическости выявлены, то выполняется второй этап.
Проведем построение модели GARCH, то есть оценивание параметров и тестирование адекватности построенной модели. Далее было рассчитано значение автокорреляционных функций для квадратов остатков динамических рядов фондовых индексов.
Таблица 2.2
Значение критериев теста Люнга-Бокса и Энгла для обнаружения GARCH-эффектов в исходных данных
Согласно приведенному алгоритму в работе с помощью стандартных функций MATLAB было выполнено построение GARCH-моделей для оценки волатильности финансовых индексов Германии (индекс DAX), Америки (индекс Доу-Джонса) и России (индекс РТС).
Для полученных рядов остатков построены автокорреляционные функции вместе с нижними и верхними границами доверительных интервалов их среднеквадратичных отклонений. Для рядов остатков фондовых индексов Германии и США значения автокорреляционных функций не превышают пределы доверительных интервалов, независимые между собой и с увеличением временного лага приближаются к нулю. То есть, данные показатели близки к «белому шуму».
Следующим шагом предварительного анализа входных данных было проведение тестов Льюнга-Бокса и Энгла. Результаты тестирования приведены далее:
Таблица 2.3
Значение критериев теста Люнга-Бокса для проверки адекватности построенных GARCH-моделей
Стоит отметить, что значения автокорреляционных функций превышают верхний предел доверительных интервалов и сохраняют «память» до 12-го лага. То есть, ряды квадратов остатков обладают свойствами отличного от «белого шума» стационарного процесса.
Результаты тестирования свидетельствуют о том, что во всех рядах квадратов остатков присутствует явление автокорреляции, и почти для всех индексов, кроме DAX, Германия, характерно наличие гетероскедастичности.
Предварительный анализ рядов данных указывает на целесообразность применения инструментария GARCH для моделирования волатильности фондовых индексов.
Для анализа адекватности модели GARCH использовать критерии, проверяют наличие автокорреляции в рядах, где присутствуют элементы и авторегрессии и скользящего среднего. Это может быть, в частности, тест Люнга-Бокса [40]. Он позволяет проверить стандартизированные остатки, рассчитанные по модели GARCH и остатки в уравнении условного математического ожидания.
Если модель GARCH достаточно хорошо определена, то стандартизированные остатки будут независимы и нормально распределены.
Из таблицы видно, что для всех индексов подтверждается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в рядах остатков, то есть модели адекватно описывают входной процесс.
В результате вычисления сплайнов для оценки волатильности фондовых индексов Америки (индекс Доу-Джонса), Германии (индекс DAX), России (индекс РТС) видно, что оптимизированные функции сплайнов и их доверительные интервалы сужаются. Поскольку при нахождении параметров моделей используется стандартная процедура МНК, то модельные значения могут приобретать отрицательные значения. Это не соответствует природе показателя дисперсии. Для избавления от этого недостатка при расчете пара-метров модели необходимо:
— использовать МНК с ограничениями, в которых учитывается условие емкости рынка;
— построение доверительных интервалов проводить с использованием экспертной оценки, поскольку он соответствует квадратам отклонений, и на его основе строится односторонний доверительный интервал.
Качественная оценка факторов, влияющих на курс ценных бумаг, получена с помощью экспертного опроса и обработана методами статистики (см. п. 2.3). Для экономических исследований существует практика применения методов экспертных оценок для повышения эффективности управленческих решений.
Предполагается, что для этого имеются необходимые статистические данные и группа экспертов, способных принять участие в экспертном опросе. Это позволяет повысить уровень обоснованности управленческих решений путем учета мнений экспертов и применения критерия принятия решений.
Письменный опрос позволяет эксперту тщательно подготовиться к ответам, собрать необходимые для эксперта данные, корректировать вопросы в соответствие с его зоной компетентности материалы, работать в «своем» темпе. К экспертной оценке привлечены специалисты в области оценки биржевого рынка, фондового рынка, сотрудники банков (Сбербанк и ВТБ). Множество значений факторов характеризует наличие и уровень компетентности группы экспертов (ГЭ), привлекаемые ЛПР к решению поставленной задачи.
Таким образом, на выбор окончательного варианта управленческого решения влияет обобщенное мнение экспертов. Предварительно необходимо обосновать количество экспертов в группе. Численность экспертов составит 10 человек. Экспертная группа формируется из числа главных специалистов отделов, занятых оценкой и торговлей ценными бумагами, при этом к её участникам предъявляются определенные требования.
Данные требования заключаются в следующем:
— наличие высшего экономического образования;
— наличие дополнительного профессионального образования, содержание дополнительной профессиональной программы которого предусматривает изучение вопросов цены на фондовом рынке и их оценки;
— наличие опыта практической работы в области оценки волатильности.
В дальнейшем проведен экспертный опрос (метод строгого ранжирования), экспертам было предложено оценить (по убыванию степени воздействия) влияние факторов на волатильность. Обработка оценок специалистов (экспертов) начинается с заполнения ими анкет. Анкета состоит из ряда факторов, которые располагаются в строках таблицы: x1,х2,…,xn. Экспертам предлагается присвоить этим факторам номера (ранги) в/ (в/ — ранг г-го фактора, заданный j-м экспертом). После этого организатором экспертного опроса составляется сводная таблица следующего вида.
Проведем обработку результатов экспертного опроса:
Таблица 2.4
Обобщение результатов экспертного опроса о влиянии факторов на уровень волатильности
Для обработки экспертных оценок используется метод строгого ранжирования, который заключается в обобщении оценок экспертов путем расположения факторов в порядке, что определяет уровень их потенциального влияния на курс ценных бумаг. На основе построенной таблицы рангов проводится анализ оценок экспертов (проверка согласованности). Для сведения полученных в ходе экспертного опроса данных в единую систему проведено обобщение ответов экспертов.
Таким образом, определены удельные веса групп факторов изменения курса ценных бумаг. Коэффициент конкордации (согласованности) оценок экспертов Wn = 0,9457 —»1. Следовательно, оценки экспертов можно считать согласованными. Для удобства ответы экспертов в обобщенной форме внесены в электронные таблицы, которые позволяют упростить обобщение и дальнейшую обработку результатов экспертного опроса. В результате статистической обработки экспертных данных получены значения отношений причинности межу парами концептов:
Таблица 2.5
Значения отношений причинности между парами факторов, влияющих на волатильность цены на фондовом рынке
На четвертом этапе построена нечеткая когнитивная матрица.
Сочетание различных составляющих в пределах одной модели временных рядов позволяет работать с моделями невысоких порядков, что существенно расширяет сферу их практического применения.
Таблица 2.6
Нечеткая когнитивная матрица оценок волатильности курса ценных бумаг
Если известно множество уровней yt-1,yt-2,…, yt-m, влияющие на показатель yt, то существует два противоположных критерия для выбора конечной модели:
1. Если мы хотим сделать модель полезной для прогноза, должны включить как можно больше факторов для того, чтобы определение yt было надежнее.
2. Поскольку получение информации с последовательным контролем при большом количестве уровней yt-1,yt-2,…, yt-m нуждается в больших затратах, следует стремиться, чтобы модель включала как можно меньше уровней.
Итак, в результате вычисления сплайнов для оценки волатильности фондовых индексов Америки (индекс Доу-Джонса), Германии (индекс DAX), России (индекс РТС) видно, что оптимизированные функции сплайнов и их доверительные интервалы сужаются. Поскольку при нахождении параметров моделей используется стандартная процедура МНК, то модельные значения могут приобретать отрицательные значения. Это не соответствует природе показателя дисперсии. Для избавления от этого недостатка при расчете пара-метров предлагаемой модели необходимо:
— использовать МНК с ограничениями, в которых учитывается условие емкости рынка;
— построение доверительных интервалов проводить с использованием экспертной оценки, поскольку она позволяет оценить «невидимые» факторы волатильности цены на фоновом рынке.
Итак, преимущества предложенной модели по сравнению с существующими заключаются в том, что в ней применен комплексный подход, использующий количественные показатели на основе неколичественной экспертной модели, что облегчает процедуру исчисления показателя цены акции, а при этом модель позволяет учитывать условие стационарности только для авторегрессионных составляющих.
В дальнейшем стоит задача практической реализации предложенной модели, проверка ее адекватности и сравнение с существующими моделями нестационарной волатильности.
Вывод по главе 2
Моделирование и прогнозирование волатильности широко распространены в последнее время. Во-первых, волатильность является мерой измерения риска. Во-вторых, прогноз может быть полезен при принятии инвестиционных решений. Кроме того, резкое изменение волатильности может негативно повлиять на экономические показатели стран с рыночной экономикой, поэтому для таких стран важно изучение динамики волатильности фондового рынка, как показано в работе.
Автором доказано, что поведение финансовых инструментов на фондовом рынке, которое описывается стохастическими процессами, допускает явное представление их функций плотности распределений, что значительно облегчает статистическую оценку их параметров в процессе мониторинга ценообразования на фондовом рынке и исследования поведения волатильности при анализе доходности и принятия стратегических управленческих решений по осуществлению операций на фондовом рынке.
Показатель волатильности в широком смысле характеризует уровень рискованности финансового актива, а это является определяющим фактором во время принятия финансовых и инвестиционных решений участниками рыночных операций. Поэтому необходимо осуществить формализацию процесса ценообразования на финансовые инструменты фондового рынка, предложены методы, которые обеспечивают возможность прогнозировать результаты целенаправленных действий инвесторов, происходящих под влиянием внутренних и внешних факторов на фондовом рынке.
Таким образом, автором развит общий метод оценки волатильности цены для широкого класса активов на фондовом рынке. Интенсивность прыжка волатильности может быть зависимой компонентой. Неколичественная компонента волатильности может быть многомерной. Ее побуждают один быстро меняющийся и один медленно фактор. Одним из ключевых преимуществ нашей методологии ценообразования является то, что, комбинируя методы из спектральной теории, теории сингулярных возмущений и качественных экспертных методов, сводим вычисление цены актива к решению одного уравнения для нахождения собственных значений.