Прикладная математика

Вид работы: Контрольная работа

Предмет:  Прикладная математика

ВАРИАНТ-7

Машинно-котельная установка  состоит из двух котлов и одной машины. Событие А- исправная машина, событие В_к(к=1,2)-исправен, k -й котел. Событие  С  означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправна машина и хотя бы один  котел. Выразить события С и С через А и В_к .

Решение:

Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие A— исправна машина, событие Bk (k=1,2)- исправен k-й котел. Событие C означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправны машины и хотя бы один котел. Выразить события

C и   через A и B.
P(C) =P(AB₁B₂)+P(AB₂)+P(AB₁)
P()=1−P(C)

В партии готовой продукции,состоящей из 20 изделий,три бракованных. Определить вероятность того,что при случайном выборе 4  изделий одновременно  все  они  окажутся небракованными.Какова вероятность того,что бракованных и небракованных изделий окажется поровну?

Из колоды в 32 карты берется наугад  10  карт. Найти  вероятность того, что среди них будут 8 одномастных.

Решение:

Всех выборов с восьмью картами данной масти возможныразных выборов двух карт других мастей, т.е., с учётом того, что всего 4 масти,

В автобусе едут n пассажиров.На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью P кроме того,  в автобусе с вероятностью p₀ не входит ни один новый пассажир,  с вероятностью 1-P₀ входит один новый пассажир.Найти вероятность того,что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки,  в нем будет по-прежнему n пассажиров.(Предполагается,что более одного пассажира войти не может).

Решение:

Пусть событие А=, а , . По условию задачи По формуле полной вероятности имеем , в которой  а . Тогда .

Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4.Найти вероятность того, что цель будет поражена от 200 до 250 раз в серии  из 600 выстрелов.

Решение:

Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлична от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, вычисляется приближенно по формуле

Где ,

Имеются таблицы значений функции .  называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т.е. . Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу можно записать так:

По условию n=600, p=0,4,=200;

Известна функция распределения срока службы блока

Найти коэффициент K .Найти средний срок службы и дисперсию срока службы блока.

Решение:

Находим k из условия

Плотность распределения равна:

F(x) =

Мат ожидание, дисперсия

D(X)=

Случайная величина X подчинена показательному закону с  параметром :

Построить кривую распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность  того, что  случайная величина X примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание

Решение:

Таким образом:
Найдем математическое ожидание случайной величины Х:

Искомая вероятность:

Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная X величина распределена нормально со средним квадратическим отклонением  =0,4 мм. Найти, сколько будет готовых шариков среди 100 изготовленных.

Решение:

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (), равна:

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

В частности, если a=0,то справедливо равенство:

Так как Х- отклонение(диаметра шарика от проектного размера), то М(Х)=а=0.

Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

Вариант 7

3.1.7 Преобразовать следующие задачи линейного программирования в каноническую форму.

z = 4×1 — 4×2 + 2×3→max;

-3×1 + 2×2 + x3 ≥ 8,

-4×1 + x2 + 4×3 ≥ 0,

x1 — 3×2 ≤ 4,

x2≥0.

Решение:

Так как переменные x₁, x₃ произвольного знака, то они заменяются разностями неотрицательных переменных: x₁ = x₄ — x₅, x₃ = x₆ — x₇
-3(x₄ — x₅)+2x₂+(x₆ — x₇)≥8
-4(x₄ — x₅)+x₂+4(x₆ — x₇)≥0
(x₄ — x₅)-3x₂≤4
4. Соответствующая целевая функция примет вид:
F(X) = 4(x₄ — x₅)-4x₂+2(x₆ — x₇)
или
F(X) = -4x₂+4x₄-4x₅+2x₆-2x₇ → max при ограничениях:
2x₂-3x₄+3x₅+x₆-x₇≥8
x₂-4x₄+4x₅+4x₆-4x₇≥0
-3x₂+x₄-x₅≤4
Упростим задачу ЗЛП с заменой всех переменных (сократим их количество).
2x₁-3x₂+3x₃+x₄-x₅≥8
x₁-4x₂+4x₃+4x₄-4x₅≥0
-3x₁+x₂-x₃≤4
F(X) = -4x₁+4x₂-4x₃+2x₄-2x₅ → max
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x₆ со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x₇ со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₈.
2x₁-3x₂ + 3x₃ + 1x₄-1x₅-1x₆ + 0x₇ + 0x₈ = 8
1x₁-4x₂ + 4x₃ + 4x₄-4x₅ + 0x₆-1x₇ + 0x₈ = 0
-3x₁ + 1x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 1x₈ = 4

3.2.7 Преобразовать следующие задачи линейного программирования в стандартную форму.

z = x2 + 3×4 + x5→max;

x1 + 2×2 + 2×5 = 6,

2×2 + x3 — x4 = 5,

2×1 + 3×4 — 4×5 = 5,

xj≥0, j= 1,5

Решение:

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной выбираем x₁.
Разрешающий элемент РЭ=1. Строка, соответствующая переменной x₁, получена в результате деления всех элементов строки x₁ на разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₁ записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ
СТЭ — элемент старого плана, РЭ — разрешающий элемент (1), А и В — элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

В качестве базовой переменной можно выбрать x₃.
В качестве базовой переменной выбираем x₂.
Разрешающий элемент РЭ=-4. Строка, соответствующая переменной x₃, получена в результате деления всех элементов строки x₂ на разрешающий элемент РЭ=-4. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₃ записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
z = 2×1 + 4×2 → min;
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (1,3,2).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x₁+³/₂x₄-2x₅ = 2¹/₂
x₃+¹/₂x₄-4x₅ = 1¹/₂
x₂—³/₄x₄+2x₅ = 1³/₄
Выразим базисные переменные через остальные:
x₁ = —³/₂x₄+2x₅+2¹/₂
x₃ = —¹/₂x₄+4x₅+1¹/₂
x₂ = ³/₄x₄-2x₅+1³/₄
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = (³/₄x₄-2x₅+1³/₄)+3x₄+x₅
или
F(X) = ¹⁵/₄x₄-x₅+1³/₄ → max
Система неравенств:
—³/₂x₄+2x₅+2¹/₂ ≥ 0
—¹/₂x₄+4x₅+1¹/₂ ≥ 0
³/₄x₄-2x₅+1³/₄ ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
³/₂x₄-2x₅ ≤ 2¹/₂
¹/₂x₄-4x₅ ≤ 1¹/₂
—³/₄x₄+2x₅ ≤ 1³/₄
F(X) = ¹⁵/₄x₄-x₅+1³/₄ → max
Упростим систему.
3x₁-4x₂ ≤ 5
x₁-8x₂ ≤ 3
-3x₁+8x₂ ≤ 7
F(X) = 15x₁-4x₂+7 → max

4.1.7 Решить следующие задачи линейного программирования графическим

методом.

x1 — 3×2 ≤ 8,

-4×1 + 2×2 ≥ 5,

-2×1 + 2×2 ≤ 4,

x1≥0, x2≥0.

Решение:

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 2x₁+4x₂ → min, при системе ограничений:
x₁-3x₂≤8, (1)
-4x₁+2x₂≥5, (2)
-2x₁+2x₂≤4, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Прикрепленные файлы:

V-7