Задача по механике

Задача № 5 по разделу «Теория машин и механизмов»

Формат А4

1 Структурный анализ зубчато-рычажного механизма

Условные обозначения звеньев зубчато-рычажного механизма приведены в таблице 1.1. В таблице 1.2 приведены кинематические пары зубчато-рычажного механизма, их обозначение на схеме, класс и название.

Таблица 1.1 − Характеристика звеньев зубчато-рычажного механизма

Степень подвижности плоского зубчато-рычажного механизма по формуле П.Л. Чебышева:

W = 3n − 2p − p = 3∙4 − 2∙5 − 1 = 1,                           (1.1)

где n − число подвижных звеньев механизма, n = 4 (таблица 1.1);

p − число кинематических пар пятого класса, p = 5 (таблица 1.2);

p − число кинематических пар четвертого класса, p = 1 (таблица 1.2).

Соответственно с W = 1, механизм имеет одно входное звено − шестерня 1. Пассивных звеньев и кинематических пар механизм не содержит.

Составим структурные группы механизма, определим их класс и порядок (таблица 1.3).

Таблица 1.2 − Характеристика кинематических пар зубчато-рычажного механизма

Таблица 1.3 − Структурный состав зубчато-рычажного механизма

2 Кинематический анализ зубчато-рычажного механизма

2.1 Построение плана положений механизма

Радиусы делительных окружностей зубчатых колес:

мм;                                      (2.1)

мм,                                     (2.2)

где m – нормальный модуль зубчатой передачи, m = 2 мм (ГОСТ 9563−80);

z₁ – число зубьев ведущей шестерни 1, z₁ = 20;

z₂ – число зубьев ведомого колеса 2, z₂ = 50.

Масштабный коэффициент длины для построения плана положений механизма:

μ = ABAB;\s\up(¯¯ = = 0,001 ,                                    (2.3)

где l − действительная длина кривошипа 2, l = 0,02 м;

− величина отрезка изображающего длину кривошипа 2 на чертеже, принимаем  = 20 мм.

Расчет величин отрезков, изображающих в масштабе μ действительные размеры механизма, производим в таблице 2.1.

Таблица 2.1 − Величины отрезков, изображающих в масштабе μ

действительные размеры механизма

Построение плана положений звеньев механизма производим методом планов в последовательности, определяемой формулой строения механизма.

В масштабе 1:1 строим планы механизма, начиная с построения положений ведущего звена − кривошипа AB. Наносим на чертеже произвольную точку A, которая является центром вращения кривошипа 2. Затем проводим окружность радиуса AB = 20 мм и отмечаем на ней 12 положений точки B (B, B, …, B) через каждые 30º, начиная с положения 0. Начало отсчета положений кривошипа (нулевое положение) принимаем, когда кривошип AB и шатун BE находятся на одной линии − это левое крайнее положение коромысла 4. Положения кривошипа AC = 50 мм расположены под углом 49,458º против часовой стрелки к соответствующим положениям кривошипа AB. Соединив точки B и C, получаем положения треугольника ABC кривошипа 2. Положения остальных звеньев механизма, соответствующие заданным положениям ведущего звена ABC, определяем методом засечек.

По заданным координатам, относительно центра вращения A кривошипа 2, определяем на чертеже положение неподвижной точки K(150;−120) коромысла 4. Для определения положений точки E из точки K проводим дугу окружности радиуса KE = 150 мм, а из точки B проводим дугу окружности радиуса BE = 180 мм. На пересечении дуг окружностей радиусами BE (BE, BE, …, BE) и KE (KE, KE, …, KE) определяем положения точки E (E, E, …, E). Соединив точку E (E, E, …, E) с точками B (B, B, …, B) и K, получим положения звеньев структурной группы 3−4. Положения шатуна BD = 100 мм расположены под углом 25,842º против часовой стрелки к соответствующим положениям шатуна BE. Соединив точки E и D, получаем положения треугольника BED шатуна 3. Соединив последовательно полученные точки D, D, …, D плавной кривой, получим шатунную кривую точки D шатуна 3 за один оборот кривошипа 2. Для каждого положения треугольника BED шатуна 3, на пересечении медиан, определяем положения точки S. Соединив последовательно полученные точки S плавной кривой, получим шатунную кривую центра масс S шатуна 3 за один оборот кривошипа 2.

2.2 Построение планов скоростей

Определение скоростей точек звеньев механизма производим методом планов в последовательности, определяемой формулой строения механизма.

Передаточное число зубчатой передачи:

(2.4)

Угловая скорость ведущей шестерни 1:

ω = = = 125,664 рад/с,                         (2.5)

где n − частота вращения ведущей шестерни 1, n = 1200 об/мин.

Угловая скорость кривошипа 2:

ω = = = 50,265 рад/с.                              (2.6)

Определим скорость точки B, принадлежащей начальному звену 2. Рассмотрим движение точки B относительно точки A, принадлежащей стойке 0. Запишем уравнение в векторной форме:

= + ,                                              (2.7)

где − вектор абсолютной скорости движения точки A, принадлежащей неподвижной стойке кривошипа 2, u = 0;

− вектор относительной скорости движения точки B, во вращательном движении кривошипа 2, относительно неподвижной стойки A, направленный перпендикулярно кривошипу AB.

Абсолютная скорость точки B кривошипа 2:

u = u = ωl = 50,265∙0,02 = 1,005 м/с.                       (2.8)

Абсолютная скорость точки C кривошипа 2:

u = ωl = 50,265∙0,05 = 2,513 м/с.                           (2.9)

Скорость точки B кривошипа 2 будет одинаковой для всех положений механизма. Последовательность построения плана скоростей рассмотрим на примере для положения 2.

Принимаем масштаб построения плана скоростей:

μ = 0,025 .                                         (2.10)

Длина вектора линейной скорости точки B на плане скоростей:

u¯¯ = = = 40,2 мм.                                 (2.11)

Из точки P, принятой за полюс плана скоростей, откладываем, в направлении вращения кривошипа, вектор скорости точки B кривошипа 2, u¯¯ ^ AB, длинной u¯¯ = 40,2 мм.

Длина вектора линейной скорости точки C кривошипа 2:

u¯¯ = u/μ = 2,513/0,025 = 100,53 мм.                       (2.12)

Из полюса P, в направлении вращения кривошипа, откладываем вектор скорости точки C кривошипа 2, u¯¯ ^ AC.

Определим скорость точки E, принадлежащей группе Ассура 3−4 первого вида. Рассмотрим движение точки E относительно точек B и K. Запишем уравнения в векторной форме, которые решим графически:

\s\up12( \o(u;¯E                                          (2.13)

где − вектор абсолютной скорости движения точки B, принадлежащей кривошипу 2 (см. выше);

− вектор относительной скорости движения точки E, во вращательном движении шатуна 3 относительно точки B, направленный перпендикулярно шатуну BE;

− вектор абсолютной скорости движения точки K, принадлежащей неподвижной стойке коромысла 4, u = 0;

− вектор относительной скорости движения точки E, во вращательном движении коромысла 4 относительно стойки K, направленный перпендикулярно коромыслу KE.

Согласно первому уравнению (2.13) через точку b, на плане скоростей, проводим прямую перпендикулярную шатуну BE, а согласно второму − через полюс P (т.к. в полюсе скорости равны нулю, а u = 0) проводим прямую перпендикулярную коромыслу KE. Пересечение этих прямых определяет положение точки e, изображающей на плане скоростей конец векторов относительной скорости и абсолютной скорости , для положения 2:

u = ∙μ = 29,94∙0,025 = 0,749 м/с;                        (2.14)

u = u = u¯¯∙μ = 32,98∙0,025 = 0,825 м/с.                   (2.15)

Для определения скорости точки D шатуна BD воспользуемся теоремой подобия:

= ∙ = 29,94∙ = 16,64 мм.                          (2.16)

На плане скоростей относительно вектора , под углом 25,842º против часовой стрелки, от точки b откладываем отрезок , длиной 16,64 мм. Соединив полюс P с точкой d, получаем вектор u¯¯ = 40,63 мм. Тогда, абсолютная скорость точки D шатуна BD:

u = u¯¯∙μ = 40,63∙0,025 = 1,016 м/с.                        (2.17)

Соединив точки e и d на плане скоростей, получаем треугольник bed подобный треугольнику BED шатуна 3 на плане положений и повернутый относительно него на угол 90º.

Для определения скорости центра масс S шатуна 3 на плане скоростей определим точку s, расположенную на пересечении медиан треугольника ebd. Соединив полюс P с точкой s, получаем вектор u3 = 35,93 мм. Тогда, абсолютная скорость центра масс S шатуна 3:

u = u3∙μ = 35,93∙0,025 = 0,898 м/с.                       (2.18)

Скорость центра масс S коромысла KE определяем на основании теоремы о подобии:

u4 = u¯¯∙KS\s\do(4¯¯ = 32,98∙ = 16,49 мм.                       (2.19)

На плане скоростей отложим, на векторе u¯¯ от полюса P, вектор u4, длиной 16,49 мм, изображающий в масштабе μ абсолютную скорость центра масс S коромысла KE:

u = u4∙μ = 16,49∙0,025 = 0,412 м/с.                       (2.20)

Все векторы, выходящие из полюса P на плане скоростей, изображают абсолютные скорости, а отрезки, соединяющие концы векторов − относительные скорости точек механизма. В указанной последовательности производим построение планов скоростей для всех 12 положений механизма. Величины отрезков, изображающих в масштабе μ скорости точек звеньев механизма, сводим в таблицу 2.2. Величины линейных скоростей характерных точек механизма сводим в таблицу 2.3.

Таблица 2.2 − Величины отрезков, изображающих в масштабе μ

скорости точек звеньев механизма, мм

Таблица 2.3 − Линейные скорости характерных точек механизма, м/с

Определим угловые скорости звеньев механизма для положения 2.

Модуль угловой скорости шатуна 3:

|ω| = = = 4,159 рад/с.                             (2.21)

Направление угловой скорости ω определим, перенося мысленно вектор  с плана скоростей, для соответствующего положения механизма, в точку E шатуна 3 и наблюдая направление поворота этого звена вокруг точки B, видим, что для положения 2 угловая скорость ω направлена по часовой стрелке.

Модуль угловой скорости коромысла 4:

|ω| = = = 5,497 рад/с.                             (2.22)

Направление угловой скорости ω определим, перенося мысленно вектор u¯¯ с плана скоростей, для соответствующего положения механизма, в точку E коромысла 4 и наблюдая направление поворота этого звена вокруг точки K, видим, что для положения 2 угловая скорость ω направлена по часовой стрелке.

На схеме механизма показываем направления угловых скоростей звеньев круговыми стрелками. Вычисленные таким образом величины угловых скоростей звеньев механизма сводим в таблицу 2.4. За положительное значение угловой скорости ω принято вращение звена против часовой стрелки.

Таблица 2.4 − Угловые скорости звеньев механизма, рад/с

2.3 Построение планов ускорений

Определение ускорений точек звеньев механизма производим методом планов в последовательности, определяемой формулой строения механизма.

Определим ускорение точки B, принадлежащей начальному звену 2. Рассмотрим движение точки B относительно точки A, принадлежащей стойке 0. Запишем уравнение в векторной форме:

= + \s\up( nB/A + \s\up( τB/A,                                       (2.23)

где − вектор абсолютного ускорения движения точки A, принадлежащей неподвижной стойке кривошипа 2, a = 0;

\s\up( nB/A − вектор нормального ускорения движения точки B, во вращательном движении кривошипа 2, относительно неподвижной стойки A, направленный параллельно кривошипу AB от точки B к точке A

nB/A = ω22l = 50,265∙0,02 = 50,532 м/с;                      (2.24)

\s\up( τB/A − вектор касательного ускорения движения точки B, во вращательном движении кривошипа 2 относительно неподвижной стойки A, направленный перпендикулярно кривошипу AB в сторону вращения углового ускорения ε. Учитывая, что кривошип 2 вращается с постоянной угловой скоростью τB/A = 0.

Учитывая, что угловая скорость кривошипа 2 постоянная, ω = const, абсолютное ускорение точки B кривошипа AB равняется его нормальному ускорению и будет одинаковым для всех положений механизма:

a = nB/A = 50,532 м/с;                                     (2.25)

Принимаем масштаб построения плана ускорений:

μ = 1 м·с^-2/мм.                                           (2.26)

Длина вектора абсолютного ускорения точки B кривошипа 2 на плане ускорений:

a¯¯ = = = 50,532 мм.                              (2.27)

Последовательность построения плана ускорений рассмотрим на примере для положения 2.

Из произвольной точки P, принятой за полюс плана ускорений, по направлению от B к A, откладываем вектор абсолютного ускорения a¯¯ параллельно AB, длиной 50,532 мм.

Для определения ускорения точки C кривошипа AC воспользуемся теоремой подобия:

= ∙ = 50,532∙ = 126,331 мм.                        (2.28)

На плане ускорений относительно вектора , под углом 49,458º против часовой стрелки, от точки a откладываем отрезок , длиной 126,331 мм. Соединив полюс P с точкой c, получаем вектор a¯¯ = 126,331 мм. Тогда, абсолютное ускорение точки C кривошипа AC:

a = a¯¯∙μ = 126,331∙1 = 126,331 м/с.                        (2.29)

Соединив точки b и c на плане ускорений, получаем треугольник abc подобный треугольнику ABC кривошипа 2 на плане положений.

Определим ускорение точки E, принадлежащей группе Ассура 3−4 первого вида. Рассмотрим движение точки E относительно точек B и K. Запишем уравнения в векторной форме, которые решим графически:

\s\up12( \o(a;¯E                                      (2.30)

где − вектор абсолютного ускорения движения точки B, принадлежащей кривошипу 2 (см. выше);

\s\up( nE/B − вектор нормального ускорения движения точки E, во вращательном движении шатуна 3, относительно точки B, направленный параллельно шатуну BE от точки E к точке B, для положения 2

nE/B = ω23l = 4,159∙0,18 = 3,113 м/с;                        (2.31)

\s\up( τE/B − вектор касательного ускорения движения точки E, во вращательном движении шатуна 3, относительно точки B, направленный перпендикулярно шатуну BE в сторону вращения углового ускорения ε;

− вектор абсолютного ускорения движения точки K, принадлежащей неподвижной стойке коромысла 4, a = 0;

\s\up( nE/K − вектор нормального ускорения движения точки E, во вращательном движении коромысла 4, относительно точки K, направленный параллельно коромыслу KE от точки E к точке K, для положения 2

nE/K = ω24l = 5,497∙0,15 = 4,533 м/с;                        (2.32)

\s\up( τE/K − вектор касательного ускорения движения точки E, во вращательном движении коромысла 4, относительно точки K, направленный перпендикулярно коромыслу KE в сторону вращения углового ускорения ε.

Отрезок, изображающий на плане ускорений в масштабе μ вектор нормального ускорения точки E шатуна 3:

3¯¯ = nE/B/μ = 3,113/1 = 3,11 мм.                            (2.33)

Отрезок, изображающий на плане ускорений в масштабе μ вектор нормального ускорения точки E коромысла 4:

a4 = nE/K/μ = 4,533/1 = 4,53 мм.                           (2.34)

В соответствии с первым векторным уравнением (2.30) на плане ускорений через точку b проводим прямую параллельную шатуну BE и откладываем на ней в направлении от точки E к точке B отрезок 3¯¯ длиной 3,11 мм. Через точку n проводим прямую перпендикулярную шатуну BE. Согласно второму векторному уравнению (2.30) через полюс P (т.к. в полюсе ускорения равны нулю, а a = 0) проводим прямую параллельную коромыслу KE и откладываем на ней в направлении от точки E к точке K отрезок a4 длиной 4,53 мм. Через точку n проводим прямую перпендикулярную коромыслу KE. Пересечение прямых и определяет положение точки e, изображающей на плане ускорений конец векторов касательных ускорений \s\up( τE/B и \s\up( τE/K, для положения 2:

τE/B = ∙μ = 31,04∙1 = 31,036 м/с;                          (2.35)

τE/K = ∙μ = 28,14∙1 = 28,137 м/с.                          (2.36)

Относительное ускорение точки E шатуна 3 определим графически, решив векторное уравнение:

= \s\up( nE/B + \s\up( τE/B.                                          (2.37)

Соединив на плане ускорений точки b и e, получаем вектор  = 31,19 мм. Тогда, относительное ускорение точки E шатуна 3:

a = ∙μ = 31,19∙1 = 31,192 м/с.                          (2.38)

Так как шарнир K коромысла 4 соединен со стойкой 0 (a = 0), абсолютное и относительное ускорения точки E коромысла 4 равны:

= = \s\up( nE/K + \s\up( τE/K.                                      (2.39)

Соединив на плане ускорений полюс P с точкой e, получаем вектор
a¯¯ = 28,5 мм. Тогда, абсолютное ускорение точки E:

a = a = a¯¯∙μ = 28,5∙1 = 28,5 м/с.                         (2.40)

Для определения ускорения точки D шатуна BD воспользуемся теоремой подобия:

= ∙ = 31,19∙ = 17,33 мм.                          (2.41)

На плане ускорений относительно вектора , под углом 25,842º против часовой стрелки, от точки b откладываем отрезок , длиной 17,33 мм. Соединив полюс P с точкой d, получаем вектор a¯¯ = 33,29 мм. Тогда, абсолютное ускорение точки D шатуна BD:

a = a¯¯∙μ = 33,29∙1 = 33,293 м/с.                          (2.42)

Соединив точки e и d на плане ускорений, получаем треугольник bed подобный треугольнику BED шатуна 3 на плане положений.

Для определения ускорения центра масс S шатуна 3 на плане ускорений определим точку s, расположенную на пересечении медиан треугольника ebd. Соединив полюс P с точкой s, получаем вектор a3 = 36,28 мм. Тогда, абсолютное ускорение центра масс S шатуна 3:

a = a3∙μ = 36,28∙1 = 36,285 м/с.                          (2.43)

Ускорение центра масс S коромысла KE определяем на основании теоремы о подобии:

a4 = a¯¯∙KS\s\do(4¯¯ = 28,5∙ = 14,25 мм.                         (2.44)

На плане ускорений отложим, на векторе a¯¯ от полюса P, вектор a4, длиной 14,25 мм, изображающий в масштабе μ абсолютное ускорение центра масс S коромысла KE:

a = a4∙μ = 14,25∙1 = 14,25 м/с.                           (2.45)

Все векторы, выходящие из полюса P на плане ускорений, изображают абсолютные ускорения, а отрезки, соединяющие концы векторов − относительные ускорения точек механизма. В указанной последовательности производим построение планов ускорений для всех 12 положений механизма. Величины отрезков, изображающих в масштабе μ ускорения точек звеньев механизма, сводим в таблицу 2.5. Величины линейных ускорений характерных точек механизма сводим в таблицу 2.6.

Таблица 2.5 − Величины отрезков, изображающих в масштабе μ

ускорения точек звеньев механизма, мм

Таблица 2.6 − Линейные ускорения характерных точек механизма, м/с

Определим угловые ускорения звеньев механизма для положения 2.

Модуль углового ускорения шатуна 3:

|ε| = \s\up( τE/B = = 172,424 рад/с.                          (2.46)

Направление углового ускорения ε определим, перенося мысленно вектор с плана ускорений, для соответствующего положения механизма, в точку E шатуна 3 и наблюдая направление поворота этого звена вокруг точки B, видим, что для положения 2 угловое ускорение ε направлено против часовой стрелки.

Модуль углового ускорения коромысла 4:

|ε| = \s\up( τE/K = = 187,582 рад/с.                          (2.47)

Направление углового ускорения ε определим, перенося мысленно вектор с плана ускорений, для соответствующего положения механизма, в точку E коромысла 4 и наблюдая направление поворота этого звена вокруг точки K, видим, что для положения 2 угловое ускорение ε направлено по часовой стрелке.

На схеме механизма показываем направления угловых ускорений звеньев круговыми стрелками. Вычисленные таким образом величины угловых ускорений звеньев механизма сводим в таблицу 2.7. За положительное значение принято направление углового ускорения ε в направлении вращения против часовой стрелки.

Таблица 2.7 − Угловые ускорения звеньев механизма, рад/с

3 Динамический анализ зубчато-рычажного механизма

3.1 Силы, действующие на звенья механизма

Силовой анализ механизма проводим для положения 2. Рабочим звеном данного механизма является звено 4, к которому приложено полезное (производственное) сопротивление M = 15 Н∙м. Также на механизм действуют силы тяжести, силы и моменты инерции звеньев.

Массы зубчатых колес:

кг;                                (3.1)

кг.                                (3.2)

Масса шатуна 3:

кг,                                  (3.3)

где k – линейная плотность, для шатунов k = 8…12 кг/м;

l₃ – длина шатуна 3, для треугольников l₃ = 1,3l_BE = 1,3·0,18 = 0,234 м.

Масса коромысла 4:

кг,                                  (3.4)

где k – линейная плотность, для коромысел k = 10…20 кг/м.

Моменты инерции зубчатых колес относительно оси вращения:

кг·м²;                   (3.5)

кг·м².                   (3.6)

Момент инерции шатуна 3:

кг·м².                   (3.7)

Момент инерции коромысла 4:

кг·м².                   (3.8)

Силы тяжести звеньев механизма:

F = mg = 0,08∙9,81 = 0,78 Н;                                (3.9)

F = mg = 1,25∙9,81 = 12,26 Н;                             (3.10)

F = mg = 2,34∙9,81 = 22,96 Н;                             (3.11)

F = mg = 2,25∙9,81 = 22,07 Н,                             (3.12)

где g − ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с.

Величины сил инерции:

F = ma = 0,08∙0 = 0;                                    (3.13)

F = ma = 1,25∙0 = 0;                                    (3.14)

F = ma = 2,34∙36,285 = 84,91 Н;                          (3.15)

F = ma = 2,25∙14,25 = 32,06 Н.                           (3.16)

Моменты сил инерции звеньев механизма:

M = J|ε| = 0,000016∙0 = 0;                               (3.17)

M = J|ε| = 0,001563∙0 = 0;                               (3.18)

M = J|ε| = 0,012813∙172,424 = 2,209 Н∙м;                   (3.19)

M = J|ε| = 0,005062∙187,582 = 0,95 Н∙м.                    (3.20)

Полученные значения сил, действующих на звенья механизма в положении 2, заносим в таблицу 3.1.

Таблица 3.1 − Внешние силы, действующие на звенья механизма

На коромысло 4 действует момент полезного сопротивления M направленный против движения коромысла. Силы тяжести ¯Gi прикладываем в центрах масс звеньев S и направляем их вертикально вниз. Силы инерции ¯ii прикладываем в центрах масс звеньев S и направляем их противоположно направлениям ускорений центров масс . Моменты сил инерции M прикладываем к соответствующим звеньям противоположно их угловым ускорениям ε.

3.2 Силовой расчет группы Ассура 3−4 первого вида

Силовой расчет начинаем с наиболее удаленной от начального звена группы Ассура II класса, состоящей из шатуна 3 и коромысла 4. В масштабе 1:2 строим схему нагружения группы звеньев 3−4, отсоединенной от остальной кинематической цепи.

К группе звеньев 3−4 приложены известные внешние силы F, F, F, F и известные внешние моменты M, M, M (см. пункт 3.1). Неизвестными являются реакции во внешних вращательных кинематических парах В и В: реакция ¯R2,3 в шарнире B, действующая на шатун 3 со стороны кривошипа 2 и реакция ¯R0,4 в шарнире K, действующая на коромысло 4 со стороны стойки 0. Реакцию ¯R2,3 разложим на две составляющие: нормальную ¯\s\up( n направленную вдоль линии BE и касательную ¯\s\up( τ направленную перпендикулярно линии BE. Также разложим на составляющие реакцию ¯R0,4: нормальную ¯\s\up( n направленную вдоль линии KE и касательную ¯\s\up( τ направленную перпендикулярно линии KE:

¯R2,3 = ¯\s\up( n + ¯\s\up( τ;                                        (3.21)

¯R0,4 = ¯\s\up( n + ¯\s\up( τ.                                        (3.22)

Составляющую ¯\s\up( τ определим из уравнения моментов всех сил, действующих на звено 3, относительно точки E:

ΣM = F τR2,3 − Fh + Fh − M/μ = 0,                (3.23)

откуда

F τR2,3 = i3i3 = = 25,59 Н.

В результате решения уравнения (3.23) значение составляющей ¯\s\up( τ получилось со знаком плюс, что означает правильный выбор ее направления на схеме силового расчета.

Составляющую ¯\s\up( τ определим из уравнения моментов всех сил, действующих на звено 4, относительно точки E:

ΣM = −Fh + Fh − F τR0,4 + M/μ + M/μ = 0,        (3.24)

откуда

F τR0,4 = i4i4 =

= = 91,71 Н.

В результате решения уравнения (3.24) значение составляющей ¯\s\up( τ получилось со знаком плюс, что означает правильный выбор ее направления на схеме силового расчета.

Уравнение равновесия всех сил, действующих на группу звеньев 3−4:

Σ¯группы 3−4 = ¯\s\up( n + ¯\s\up( τ + ¯i3 + ¯G3 + ¯i4 + ¯G4 + ¯\s\up( τ + ¯\s\up( n = 0.   (3.25)

В этом уравнении неизвестными являются реакции ¯\s\up( n и ¯\s\up( n. Величины этих реакций определяем построением плана сил в масштабе μ = 2 Н/мм. В таблице 3.2 определим длину отрезков, мм, которые на плане сил будут изображать силы, указанные в векторном уравнении (3.25).

Таблица 3.2 − Силы, действующие на группу звеньев 3−4

В соответствии с уравнением (3.25) строим план сил. Проводим линию действия реакции ¯\s\up( n и из любой точки этой линии строим известные векторы сил: ¯\s\up( τ, ¯i3, ¯G3, ¯i4, ¯G4, ¯\s\up( τ. Из конца вектора ¯\s\up( τ проводим линию действия реакции ¯\s\up( n. Точка пересечения линий действия ¯\s\up( n и ¯\s\up( n определяет их величину:

F nR2,3 = ¯\s\up( nμ = 93,74∙2 = 187,48 Н;                          (3.26)

F nR0,4 = ¯\s\up( nμ = 8,68∙2 = 17,36 Н.                            (3.27)

Соединив на плане сил начало вектора ¯\s\up( n с концом вектора ¯\s\up( τ, получим суммарную реакцию ¯R2,3 в шарнире B:

F = ¯R2,3μ = 94,61∙2 = 189,22 Н.                          (3.28)

Соединив на плане сил начало вектора ¯\s\up( n с концом вектора ¯\s\up( τ, получим суммарную реакцию ¯R0,4 в шарнире K:

F = ¯R0,4μ = 46,67∙2 = 93,34 Н.                           (3.29)

Для определения реакции ¯R4,3 = −¯R3,4 во внутренней кинематической паре В (шарнир E) рассмотрим условие равновесия шатуна 3:

Σ¯звена 3 = ¯R2,3 + ¯i3 + ¯G3 + ¯R4,3 = 0.                         (3.30)

Реакцию ¯R4,3 в шарнире E определяем, замыкая силовой многоугольник в соответствии с векторным уравнением (3.30), для чего на построенном плане сил конец вектора ¯G3 соединяем с началом вектора ¯R2,3:

F = ¯R4,3μ = 62,85∙2 = 125,69 Н.                          (3.31)

F = F = 125,69 Н.                                    (3.32)

3.3 Силовой расчет начального звена 0−2

В масштабе 1:2 строим схему нагружения кривошипа 2, отсоединенного от остальной кинематической цепи. К кривошипу 2 приложены следующие силы: сила тяжести F, ставшая известной реакция ¯R3,2 = −¯R2,3 во вращательной кинематической паре В (шарнир B), неизвестная по модулю и направлению реакция ¯R0,2 в шарнире A и неизвестная по модулю уравновешивающая сила F, приложенная в полюсе зацепления P и направленная по линии зацепления зубчатых колес z−z.

Величину уравновешивающей силы определим из условия равновесия моментов всех сил, действующих на кривошип 2, относительно точки A:

ΣM = −Fh + Fh = 0,                            (3.33)

откуда

F = = = 57,84 Н.

В результате решения уравнения (3.33) значение уравновешивающей силы F получилось со знаком плюс, что означает правильный выбор ее направления на схеме силового расчета.

Реакцию ¯R0,2 в шарнире A определим из условия равновесия всех сил, действующих на кривошип 2:

Σ¯звена 2 = ¯у + ¯R3,2 + ¯G2 + ¯R0,2 = 0.                          (3.34)

Величину реакции ¯R0,2 определяем построением плана сил в масштабе
μ = 2 Н/мм. В таблице 3.3 определим длину отрезков, мм, которые на плане сил будут изображать силы, указанные в векторном уравнении (3.34).

Таблица 3.3 − Силы, действующие на кривошип 2

В соответствии с уравнением (3.34) строим план сил. Из произвольной точки на чертеже строим известные векторы сил: ¯у, ¯R3,2, ¯G2. Соединив конец вектора ¯G2 с началом вектора ¯у, получим реакцию ¯R0,2 в шарнире A:

F = ¯R0,2μ = 121,99∙2 = 243,98 Н.                         (3.35)

3.4 Силовой расчет ведущего звена 0−1

В масштабе 1:2 строим схему нагружения шестерни 1, отсоединенной от остальной кинематической цепи. К шестерне 1 приложены следующие силы: сила тяжести F, ставшая известной реакция ¯R2,1 = −¯у в полюсе зацепления P и неизвестная по модулю и направлению реакция ¯R0,1 в шарнире F.

Реакцию ¯R0,1 в шарнире F определим из условия равновесия всех сил, действующих на шестерню 1:

Σ¯звена 1 = ¯R2,1 + ¯G1 + ¯R0,1 = 0.                              (3.36)

Величину реакции ¯R0,1 определяем построением плана сил в масштабе
μ = 1 Н/мм. В таблице 3.4 определим длину отрезков, мм, которые на плане сил будут изображать силы, указанные в векторном уравнении (3.36).

Таблица 3.4 − Силы, действующие на шестерню 1

В соответствии с уравнением (3.36) строим план сил. Из произвольной точки на чертеже строим известные векторы сил: ¯R2,1, ¯G1. Соединив конец вектора ¯G1 с началом вектора ¯R2,1, получим реакцию ¯R0,1 в шарнире F:

F = ¯R0,1μ = 58,14∙1 = 58,14 Н.                           (3.37)

Результаты силового расчета механизма представлены в таблице 3.5.

Таблица 3.5 − Модули реакций в кинематических парах механизма, Н

3.5 Определение величины уравновешивающей силы методом рычага Н.Е. Жуковского

С целью проверки правильности силового расчета механизма уравновешивающую силу F определяем с помощью «жесткого рычага» Жуковского. Для этого строим в масштабе μ = 0,025 м∙с/мм, повернутый на 90º против часовой стрелки, план скоростей механизма. В одноименных точках прикладываем векторы всех внешних сил: силы тяжести F, F, F, силы инерции F, F, а также уравновешивающую силу F.

Вектор скорости в полюсе зацепления P зубчатых колес:

мм,                               (3.38)

где u_p – скорость в полюсе зацепления P, u_p = w₂r₂ = 50,265·0,05 = 2,513 м/с.

Момент силы инерции M заменим парой сил F, разнесенной по крайним точкам B и E перпендикулярно шатуну BE:

F = M/l = 2,209/0,18 = 12,27 Н.                         (3.39)

Момент силы полезного сопротивления M заменим парой сил F, разнесенной по крайним точкам K и E перпендикулярно коромыслу KE:

F = M/l = 15/0,15 = 100 Н.                              (3.40)

Момент силы инерции M заменим парой сил F, разнесенной по крайним точкам K и E перпендикулярно коромыслу KE:

F = M/l = 0,95/0,15 = 6,33 Н.                           (3.41)

Принимая повернутый на 90º план скоростей за рычаг, нагруженный внешними силами, составляем уравнение моментов этих сил относительно полюса P:

ΣM = −Fu¯¯cosα − F + Fh + Fh +

+ Fu¯¯ + Fu¯¯ + Fh − Fh = 0.                       (3.42)

Откуда определим уравновешивающую силу:

F’ = Mi3be;\s\up(¯¯ =

=

= 57,87 Н.

В результате решения уравнения (3.42) значение уравновешивающей силы F получилось со знаком плюс, что означает правильный выбор ее направления на рычаге Жуковского.

Сравним результаты определения уравновешивающей силы методом планов сил и методом рычага Н.Е. Жуковского:

ΔF = ∙100% = ∙100% = 0,05% < 5%,        (3.43)

что допустимо.

Результаты сравнения уравновешивающих сил, полученные разными методами, сведем в таблицу 3.6.

Таблица 3.6 − Сравнение методов определения уравновешивающей силы

3.6 Определение величины КПД механизма

Радиусы цапф зубчато-рычажного механизма:

r_F = 0,15r₁ = 0,15·20 = 3 мм;

r_A = 0,3l_AB = 0,3·20 = 6 мм;

r_B = 0,2l_AB = 0,2·20 = 4 мм;

r_E = 0,1l_BE = 0,1·180 = 18 мм.

r_K = 0,1l_KE = 0,1·150 = 15 мм.

По ГОСТ 6636-69 принимаем:

r_F = 3 мм; r_A = 6 мм; r_B = 4 мм; r_E = 18 мм; r_K = 15 мм.           (3.45)

Моменты сил трения во вращательных кинематических парах:

Н·м;

Н·м;

Н·м;                 (3.46)

Н·м;

Н·м,

где f – коэффициент трения скольжения, принимаем f = 0,1.

Сила трения в зубчатом зацеплении колес:

Н.                            (3.47)

Мощности трения в кинематических парах:

Вт;

Вт;

Вт;

Вт;

Вт;

Вт.

Суммарная мощность трения:

= 2,136 + 7,339 + 3,504 + 0,302 + 0,77 + 4,974 = 19,025 Вт.      (3.49)

Мощность, затрачиваемая на преодоление полезных (производственных) сопротивлений:

Вт.                           (3.50)

Мгновенное значение КПД механизма для положения 2:

Литература

1. Горбенко В.Т. Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование: учебно-методическое пособие / В.Т. Горбенко, М.В. Горбенко; Томский политехнический университет. – 3-е изд., доп. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2014. – 169 с.
2. С.А.Попов. Г.А.Тимофеев. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике машин: Учеб. Пособие для втузов / Под ред. К.В. Фролова. ‒ 2-е изд., перераб. И доп. ‒ М.: Высш. Шк., 1998. ‒ 351с.: ил.
3. Теория механизмов и машин: Учеб. для втузов / К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др.; Под ред. К.В. Фролова. ‒ М.: Высш. шк., 1987. ‒ 496 с.: ил.