Задания по линейной алгебре

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов первого курса заочной формы обучения и по тематическому объему полностью соответствует требованиям рабочих программ учебной дисциплины «Линейная алгебра», которые, в свою очередь, полностью соответствуют требованиям действующих федеральных государственных образовательных стандартов по направлениям 38.03.01 “Экономика” и 38.03.02 “Менеджмент”.

Порядок изложения разделов, тем и основных подразделов тем в данном учебном пособии соответствует порядку, принятому в рабочих программах учебной дисциплины «Линейная алгебра» по соответствующему направлению подготовки. Однако нумерация тем и подразделов в настоящем пособии может отличаться от нумерации, принятой в учебном пособии [1].

По каждой теме и подразделу темы данное пособие содержит теоретический материал, изложенный в предельно сжатой форме (теоремы и аксиомы, математические факты, формулы и их следствия, имеющие практическую значимость), а также примеры использования этого материала для решения задач. В конце изложения теоретического материала каждой темы приведены вопросы для самопроверки знаний по этой теме курса. Некоторые темы курса заканчиваются вопросами в форме тестов.

После ознакомления с теоретическим материалом студенту следует кратко и четко ответить на вопросы, самостоятельно оценив и отобрав материал, изложенный в литературе, ссылки на которую приведены в конце каждой темы, или подраздела, а полный список литературы приводится в конце пособия.

Ваши ответы должны быть размещены непосредственно в Вашем экземпляре пособия. Причем при тестовом варианте ответов на вопросы Вы должны поставить любой значок (крестик, галочку и т.п.) только в одном квадрате, соответствующем верному, на Ваш взгляд, ответу на поставленный вопрос.

Настоящее пособие может быть полезно и студентам 1 курса очно-заочного (вечернего), а также очного (дневного), отделений ИМЭС, при подготовке к сдаче экзаменов по дисциплине «Линейная алгебра».

ТЕМА 1. Матрицы и определители

1.1. Основные сведения о матрицах

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. При этом числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Матрицы принято обозначать прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются соответствующие строчные буквы с двойной индексацией: aij , где индекс i обозначает номер строки, в которой находится данный элемент матрицы, а индекс j – номер столбца, в котором находится этот элемент.

Например, для матрицы элементами являются а11= 0, а12= 1, а13= — 3, а21= 1, а22= 2, а23= — 2.

• Матрицей-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.
• Матрицей-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.
• Прямоугольной называется матрица при любом соотношении между числом строк и числом столбцов, кроме случая, когда m = n.
• Квадратной порядка n называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n.
• Верхней треугольной называется квадратная матрица, у кото¬рой все aij = 0 для всех i > j.
• Нижней треугольной называется квадратная матрица, у кото¬рой все aij = 0 для всех i < j.
• Диагональной называется квадратная матрица, у которой все aij = 0 для всех i ≠ j.
• Единичной называется квадратная матрица, у которой все aij = 0 для всех i ≠ j и все аij = 1 для всех i = j. Например, единичная матрица третьего порядка выглядит следующим образом:Главную диагональ любой матрицы образуют элементы, для которых i = j , т.е. элементы а11, а22, а33 и т.д.

Нулевой или нуль-матрицей называется матрица любого размера, все элементы которой равны нулю. Обозначение: .

1.2. Операции над матрицами (алгебра матриц)

1. Равенство матриц. Две матрицы А = (aij) и B = (bij) одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых i и j справедливо равенство aij = bij.
2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В = λ А, элементы которой для любых i и j определяются формулой bij = λ aij .

ПРИМЕР:

3. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А + В, элементы которой для любых i и j определяются формулой cij = aij + bij (т.е. матрицы складываются поэлементно).

ПРИМЕР:

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А размером m x k и матрицы В размером k x n называется матрица С размером m x n, каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов i–ой строки матрицы А на соответ¬ствующие элементы j –го столбца матрицы В.

ПРИМЕР: Найти произведения АВ и ВА матриц:

Имеем:

Как следует из примера чаще всего АВ ≠ ВА. При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, т.е. если А квадратная матрица того же порядка, что и Е, всегда выполняется равенство АЕ = ЕА = А.

5. Транспонирование матрицы – это переход от матрицы А к матрице АТ, в которой строки и столбцы матрицы А поменяны местами с сохранением порядка их следования. При этом матрица АТ называется транспонированной к матрице А.

Как следует из примера, при транспонировании матрицы любого размера элементы ее главной диагонали остаются на своих местах и в транспонированной матрице.

1.3. Определители квадратных матриц

Необходимость введения понятия определителя – некоторого числа, характеризующего любую квадратную матрицу A, тесно связана с задачей решения систем линейных уравнений (см. тему 2.2), а также с некоторыми другими приложениями матричной алгебры.

Для обозначения определителя матрицы A наиболее часто используются следующие символы: |А|, ΔА, detA.
Определение. Определителем первого порядка, или определителем квадратной матрицы первого порядка называется ее единственный элемент

Определение. Определителем второго порядка, или определителем квадратной матрицы второго порядка, называется число, которое вычисляется по правилу: разность произведений элементов главной и побочной диагоналей:

Определение. Определителем третьего порядка, или определите¬лем квадратной матрицы третьего порядка, называется число, равное:

Замечание. Эта формула может быть получена, например, по правилу Саррюсса, состоящему в следующем: приписать к определителю третьего порядка справа два первых его столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и параллельных ей диагоналей, из которых затем вычесть сумму произведений элементов побочной и двух параллельных ей диагоналей. Таким образом, вычисления надо проводить по схеме:

Определители более высоких порядков (т.е. при n > 3) вычисляются дру¬гими способами, основанными на ряде новых понятий таких, как минор элемента матрицы и алгебраическое дополнение элемента матрицы.

Определение. Минором Мij элемента aij квадратной матрицы A n-го порядка называется определитель матрицы на единицу меньшего порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Например, минором элемента квадратной матрицы: будет число, равное:

Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квад¬ратной матрицы A порядка n называется его минор, взятый со знаком , т.е.:

Например, алгебраическое дополнение того же элемента, что и в пре¬дыдущем примере, будет равно:

Для установления алгоритма вычисления определите¬лей любого порядка сформулируем следующую теорему.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Практическое значение теоремы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению n более “простых” определителей (n – 1)-го порядка. Пос¬ледовательно применяя такое разложение, в конце концов приходят к конечной сумме, состоящей из чисел, умноженных на определители второго порядка, вычисление которых не вызывает трудностей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Налимов В.Н. Основы линейной алгебры для экономистов и менеджеров: Учебное пособие. – М.: Издание ИМЭС, 2013.
2. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. – М.: Проспект, 2012.
3. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра: Курс лекций. – М.: Эксмо, 2006.