Содержание
Введение
Глава i. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
1.1Общие вопросы методики обучения решения текстовых задач
1.2. Анализ школьных учебников по изложению темы «Сюжетные задачи на работу и движение
1.3. Анализ ОГЭ по включению темы «Сюжетные задачи на работу и движение
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАБОТУ И ДВИЖЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
2.1.Типизация задач «на движение» и методика их решения
2.2 Типизация задач «на работу» и методика их решения
2.3 Факультатив по теме: «Сюжетные задачи на работу и движение»
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
Одним из важных вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач. В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Задачи являются эффективным и незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач способствует достижению целей, которые ставятся перед обучением математике.
В ФГОС ООО в пункте «Математика» говорится, о знаниях и умениях на базовом уровне, ученики должны: «решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы». Значит, теме решения задач и задачам на движение и совместную работу должно быть уделено достаточное количество времени. Решение задач на движение и совместную работу является неотъемлемой частью школьного курса математики 5-11 классов.
Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся. В задачах учащиеся знакомятся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования меж предметных связей. Задачи позволяют применять знания, для решения вопросов, которые возникают в жизни человека.
Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития учащегося, степень его усвоения учебного материала.
В данной дипломной работе выделены только два типа сюжетных задач: на работу и движение, потому что один и тот же физический закон описывает суть задачи.
Задачи на движение решаются с помощью формулы S=v∙ t, здесь S- расстояние, v – скорость, t- время.
В решении задач на работу используется формула: A=p∙t. Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени.
В школьных учебниках математики во многих темах предлагаются сюжетные задачи. Начинают изучать сюжетные задачи с 4 класса (простые задачи на движение, задачи на встречное движение, задачи на движение в одном направлении, и движение в обратном направлении). В 5-9 классах представлен большой диапазон текстовых задач: движение навстречу друг другу; движение в одном направлении, движение с изменениями в режиме движения, движение по воде; задачи на совместную работу при неизвестном объеме работы; задачи на совместную работу при известном объеме работы; задачи, связанные с изменением режима работы.
Сюжетные задачи встречаются при изучении таких тем, как уравнения, неравенства, многочлены, прямая и обратная пропорциональность, обыкновенные дроби и т.д.
Анализ материалов показал, что данные задачи встречаются в ГИА и ЕГЭ в профильном уровне. Поэтому, данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике.
Учитывая вышесказанное, можно считать, что тема дипломной работы актуальна.
Объект исследования – задачи на движение и работу в школьном курсе математики основной школы.
Предмет исследования – методика решения текстовых задач на движение и работу в курсе математики основной школы
Цель: раскрыть методику решения текстовых задач на работу и движение и разработать факультатив по подготовке к решению сюжетных задач в ОГЭ.
Задачи данной работы:
- Проанализировать школьные учебники и методическую литературу на предмет изложения «сюжетные задачи»
- Осуществить анализ материалов ОГЭ на содержание текстовых задач на работу и движение
- Раскрыть методику решения текстовых задач на работу и движение
- Разработать факультатив «Решение сюжетных задач на работу и движение» для учащихся 9 классов при подготовке к ОГЭ.
Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.
В первой главе «Общие вопросы методики обучения текстовых задач» рассмотрено понятие «текстовой задачи» и их место в обучении математике. Представлены методы и этапы решения текстовых задач. Проведен сравнительный анализ школьных учебников по математике для общеобразовательных школ, на наличие задач на работу и движение.
Во второй главе «Методика обучения решения задач на работу и движение в школьном курсе математики» рассмотрена методика решения текстовых задач «на движение» и «на работу» с выделением этапов решения и подробным описанием. Предоставлена классификация задач «на движение» и «на работу», а также подробная типизация задач «на движение» по двум основаниям: по типу движения и по виду уравнения, его задающего, и типизация задач на работу по двум основаниям: по режиму работы и по виду уравнения его задающего. Приведены задачи с полным решением и ответом. Представлен факультатив для 9 класса по теме: «Сюжетные задачи на работу и движение» для подготовке к ОГЭ.
ГЛАВА1.ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.
1.1 Общие вопросы методики обучения решения текстовых задач.
Текстовая задача — это описание определенной ситуации, одной или нескольких на обычном языке, где содержится требование дать количественную оценку какого-то компонента указанной ситуации или установить наличие, либо отсутствие определенного отношения между компонентами задачи, может также потребоваться определение вида данного отношения. Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (теорем, определений, правил, формул, аксиом, законов) которые применяя к следствиям задачи или к ее условию (результатам промежуточного решения) получаем то, что требуется к задаче – ее ответ.
В каждой задаче есть условие (исходные данные), заключение — требование, которое необходимо выполнить, и субъект – это тот, кто выполняет требование. В условии сообщаются сведения об объектах и их величинах, об отношениях между ними, задаются количественные характеристики величин (их численные значения. Требование — это указание, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.
Методы решения задач
В книге «Методика преподавания математики в средней школе» Л.В.Виноградовой, сказано, что при решении задач применяют следующие методы: математический, алгебраический, геометрический. При решении нестандартных задач можно применить эвристический метод.
Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными способами.
Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение.
Решить задачу геометрическим методом — это значит найти ответ в результате геометрических построений (чертежей, графиков), или при использовании свойств геометрических фигур.
Этапы решения текстовых задач
Изучение методической литературы позволило выделить основные этапы решения задач. Большинство указывают на следующие этапы решения сюжетных задач.
Этап 1. Анализ текста задачи. Переводится текст задачи на «язык ребенка», выделив при этом основные величины, связи между ними.
Цель — выделить объективное содержание, условие и заключение задачи. Результат — краткая запись задачи, которая может быть представлена таблицей, схематическим рисунком, графиками, отрезочными или двумерными диаграммами с определенными краткими пояснениями. По краткой записи можно восстановить текст задачи.
Этап 2. Поиск решения задачи.
Цель – создать план решения задачи. Можно составить письменный текст или схему поиска.
Основные рекомендации для поиска решения математических задач.
- Прочитав задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она принадлежит.
- Если вы узнали в ней стандартную задачу, то примените для её решения известное вам общее правило.
- Если же задача не является стандартной, то следует действовать в двух направлениях:
а) вычленять из задачи или разбивать её на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);
б) переформулировать её, свести к задаче стандартного вида (способ моделирования).
- Для того чтобы легче было осуществлять способы разбиения или моделирования, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи – её схематическую запись.
Этап 3. Реализация плана решения.
Этап 4. Проверка решения задачи (по смыслу, правильность логических и математических операций). Запись ответа, исследование задачи (другие методы и способы решения). Этот этап предполагает обобщение и систематизацию полученного опыта.
Моделирование в процессе решения задач
Моделирование – один из математических методов познания окружающей действительности, при котором строятся и исследуются модели. Моделирование упрощает процесс познания, так как выделяет и отображает только нужную грань реальности, абстрагируясь от незначимых факторов. Текстовая задача – это словесная модель некоторой реальной ситуации. Чтобы решить задачу, надо первоначально построить ее математическую модель. Математическая модель – это описание реального процесса на математическом языке.
Этапы моделирования в процессе решения текстовой задачи.
I этап– перевод задачи на математический язык.
На первом этапе происходит переход от одной модели к другой: от словесной модели (текстовой задачи) к вспомогательным моделям (рисункам, кратким записям, таблицам и др.), а от них к математической модели задачи (числовым выражениям и уравнениям).
II этап — внутри модельное решение.
На втором этапе находятся значения числовых выражений, решаются уравнения.
III этап – перевод полученного решения на естественный язык.
На третьем этапе происходит интерпретация результатов, используя полученное решение, формулируется ответ на вопрос, поставленный в задаче.
В зависимости от используемых средств модели можно разделить на схематизированные и знаковые.
К схематизированным моделям относятся:
— вещественные (обеспечивающие физическое действие с предметами, описанными в задаче),
— графические (рисунки, условные рисунка, чертежи, схемы).
К знаковым моделям относятся:
— словесные (выполненные на естественном языке: краткие записи, таблицы),
— математические (запись при помощи математических знаков: числовые выражения или уравнения)
Применение вещественных моделей дает возможность осмыслить задачу и решить ее практическим методом. Графические модели можно использовать для правильного выбора действия и формирования общего умения решать задачи.
1.2 Анализ школьных учебников по изложению темы «Сюжетные задачи на работу и движение»
При проведении сравнительного анализа школьных учебников по изложению темы «Сюжетные задачи на работу и движение», были использованы учебники следующих авторов: Н.Я Виленкин, И.И.Зубарева, Г.В.Дорофеев, Ш.А.Алимов, Ю.Н.Макарычев (под редакцией Теляковского). При анализе рассматривались те темы, в которых представлены сюжетные задачи, и типам уравнений, с помощью которых эти задачи решаются.
Сравнительный анализ школьных учебников по изложению темы «Сюжетные задачи на работу и движение»
Таблица1
| Класс | Авторы учебников и анализ этих учебников | ||
| 5 класс | «Математика» Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др.,2018. В учебнике приведены задачи на движение в одном направлении, навстречу друг другу, задачи на работу, задачи на движение по воде. Задачи решаются с помощью линейных уравнений. | «Математика» Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2013. Сюжетные задачи на движение встречаются практически в каждом параграфе. Задач на работу очень мало. Задачи решаются с помощью линейных уравнений | «Математика»Г.В.Дорофеев,И.Ф.Шарыгин и др.,2017 Сюжетные задачи представлены в виде отдельных тем «Задачи на движение», «Задачи на совместную работу». Задачи, учащиеся решают без введения понятия уравнения. |
| 6 класс | «Математика» Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др.,2013. В каждой теме имеются задачи на работу и движение. В главе «Обыкновенные дроби» задачи решаются без составления уравнения. В главе «Рациональные числа» .Задачи решаются с помощью линейных уравнений.
| «Математика» Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2014. Задачи на работу и движение приведены в каждой теме. Задачи решаются с помощью линейного уравнения.
| «Математика» Г.В.Дорофеев,И.Ф.Шарыгин и др.,2017 Приведены задачи на движение навстречу друг другу и в одном направлении, имеются задачи на движение по воде. Задач на работу очень мало. Задачи учащиеся решают без введения понятия уравнения. |
| 7 класс | «Алгебра» Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин и др.,2014 год Задачи на движение представлены в теме «Многочлены». Задачи на работу встречаются в темах: «Многочлены», «Прямая и обратная пропорциональность». Задачи решаются с помощью линейных уравнений.
| «Алгебра» Ю.Н.Макарычев,Н.Г.Миндюк и др., Под ред. С.А.Теляковского, 2013. Практически в каждой теме учебника присутствует все разнообразие сюжетных задач. Задачи решаются с помощью линейных уравнений.
| «Алгебра» Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др.,2011 Сюжетные задачи на работу и движение представлены в конце учебника для внеклассной работы. |
| 8 класс | Алгебра» Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин и др.,2016 год Сюжетные задачи на работу и движение представлены в главе 1 «Алгебраические дроби». Глава 3 «Квадратные уравнения». Глава 4 «Системы уравнений». Задачи сводятся к решению дробно- рациональных уравнений, а также к решению квадратных уравнений.
| «Алгебра» Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др., Под ред. С.А.Теляковского, 2013. Задачи на движение в одном направлении, навстречу друг другу, движение по воде, с изменениями движений, задачи на работу приведены практически во всех темах. Задачи решаются с помощью дробно — рациональных уравнений, квадратных уравнений. | «Алгебра» Н.Я. Виленкин, А.Н.Виленкин и др ,2010. Задачи на работу и движение встречаются в таких главах как: «Дроби», «Многочлены», «Формулы сокращенного умножения », «Решение неравенств». Задачи решаются с помощью дробно — рациональных уравнений, и квадратных уравнений.
|
| 9 класс | Алгебра» Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин и др.,2016 год Представлены задачи на движение, которые сводятся к решению квадратных и дробно- рациональных уравнений. | Алгебра» Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др., Под ред. С.А.Теляковского, 2013. В учебнике задачи на движение и работу встречаются в дополнительных упражнениях к главе 1, в главе 2 «Уравнения и неравенства с одной переменной», в главе 3 «Уравнения и неравенства с двумя переменными», в упражнения для повторения курса 7-9 классов. Задачи решаются с помощью дробно — рациональных уравнений и квадратных уравнений. | «Алгебра» Н.Я. Виленкин, А.Н.Виленкин и др ,2010. Задачи навстречу друг другу приведены в следующих темах: «Уравнения, неравенства и их системы». |
Выводы: В-пятых, шестых и седьмых классах задачи решаются с помощью линейных уравнений, а в восьмом и девятом классе задачи решаются с помощью квадратных, дробно — рациональных уравнений, а также систем уравнений.
Содержание темы «Сюжетные задачи на работу и движение» в школьных учебниках перечисленных авторов
Значком «+» обозначены те учебники, в которых сюжетные задачи представлены практически в каждой теме. Значком «-» обозначены учебники, в которых мало уделяется внимания сюжетным задачам. Пустыми ячейками обозначены учебники, которые не рассматривались.
В учебниках математики для 5класса и 6 класса авторов Н.Я. Виленкина, В.И.Жохова, а также авторов Г.В.Дорофеева, Ф.Шарыгина задачи на работу и движение распределены по всему учебному материалу. В данных учебниках задачи содержатся в каждом параграфе.
В учебнике Зубаревой И.И., Мордковича А.Г. для 5 класса задачи на движение представлены только для ознакомления.
Проведя анализ учебников алгебры для 7,8,9 классов, можно сказать, что количество задач на работу и движение сократилось. Наиболее полно представлены задачи на работу и движение в учебнике алгебры автора Ю.М. Макарычева, Н.Г.Миндюк и др., под редакцией С.А.Теляковского.
1.3 Анализ задач ОГЭ (ГИА) по теме исследования
Рассмотрим текстовые задачи на движение и работу за 9 класс по алгебре, входящие в систему государственной (итоговой) аттестации.
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Представим основные виды задач на движение и работу, используемые в заданиях ОГЭ (ГИА). Данные виды задач используются во 2 части – задание 22.
Приведем примеры встречающихся задач на работу и движение в материалах ОГЭ:
ОГЭ 2014.
22: Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного на 15 км/ч больше скорости другого?
22: Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 18 часов. Через 2 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
ОГЭ 2015
22: Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 21 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 120 км/ч, и через 45 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
22: Два автомобиля одновременно отправляются в 950- километровый пробег. Первый едет со скоростью на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
ОГЭ 2016
22: Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую – со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
22: Моторная лодка прошла против течения реки 221 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
ОГЭ 2017
22: По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 1700 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 6 минутам.
22: Первая снегоуборочная машина может убрать улицу за 1 ч, а вторая — за 75% этого времени. Вторая машина приступила к работе спустя некоторое время после того, как начала работать первая. Затем они вместе закончили работу за 15 мин. На сколько минут позже первой машины вторая машина приступила к работе?
ОГЭ 2018
22: Насос может выкачать из бассейна 2/3 воды за 7,5 мин. Проработав 9 мин, насос остановился. Найдите вместимость бассейна, если после остановки насоса в бассейне осталось еще 20 м3 воды.
22: Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.
ОГЭ 2019
22: Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
22: Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 105 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?
Вывод: В экзаменационных вариантах ОГЭ разных лет представлены задания по курсу математики основной средней школы. Как показал анализ материалов ОГЭ, текстовые задачи встречаются в заданиях уже не первый год. Поэтому решение текстовых задач в школьном курсе математики играет важную роль, как для младших школьников, так и для старшеклассников.
Выводы по первой главе
В данной главе получен следующий результат:
- Рассмотрены общие вопросы методики обучения решения текстовых задач.
- Выполнен анализ школьных учебников и материалов ОГЭ по математике для общеобразовательных школ, на наличие задач на движение и работу.
ГЛАВА2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАБОТУ И ДВИЖЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
2.1.Типизация задач «на движение» и методика их решения
В методической литературе обычно выделяют следующие виды текстовых задач на движение:
- задачи на встречное движение;
- задачи на движение в одном направлении;
- задачи на движение в разных направлениях;
- задачи на движение по водоему (в стоячей воде, по течению реки, против течения реки).
- движение по окружности
Задачи на движение включает три величины: скорость, время, расстояние, которые связаны пропорциональной зависимостью.
Рассматривая классификацию задач на движение, необходимо отметить следующее: различают простые и составные задачи на движение .
Составные задачи на движение подразделяют на:
- задачи на движение в одном направлении,
- задачи на сближение объектов,
- задачи на удаление объектов,
- задачи на движение по реке.
Кроме того, некоторые задачи на движение могут рассматриваться как:
- задачи на нахождение четвертого пропорционального;
- задачи на нахождение неизвестного по двум разностям;
- задачи на пропорциональное деление.
Представим ниже в виде схемы, какие методы решения текстовых задач на движение используется в курсе математики основной школе
Как видно из схемы 1, все методы решения задач рассчитаны на определенные знания школьников.
К задачам на движение относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути (S), скорости (v), времени(t). (расстояние равно скорости, умноженной на время) — это формула пути. Она устанавливает зависимость между тремя основными величинами, характерными для движения любого объекта.
При выполнении задач на движение для их решения удобно записывать данные условия в виде таблицы (скорость – время – расстояние) и использовать схемы, которые отражают процесс движения.
Рассмотрим более подробно методику решения этих задач
1.Движение на встречу друг другу
Задачи на встречное движение решаются путем нахождения скорости сближения (эта скорость показывает, на какое расстояние объекты приблизятся друг к другу за одну единицу времени).Если первоначальное расстояние между двумя объектами , движущимися навстречу друг другу со скоростями х и у , равно S, то время t , через которое они встречаются , можно найти из уравнения : х t + у t = S, а именно : t =
а) Задачи, приводящие к линейным уравнениям
От пристани А отошел теплоход со скоростью 56 км/ч. Через 45 мин от пристани В навстречу ему отошел второй теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через какое время они встретятся , если расстояние между пристанями А и В равно 204 км?
Решение.
1.Анализ текста в задачи.
Задача на движение, которое характеризуется тремя величинами – расстояние, скорость и время. Два теплохода двигаются навстречу друг другу. Известно расстояние между пристанями (204 км), и скорости теплоходов (56 км/ч и 36 км/ч). Согласно условию задачи, первый теплоход был в пути 45 минут, до выхода второго теплохода. Требуется узнать, через какое время они встретятся.
Краткий анализ задачи полезно представить с помощью таблицы.
2.Составление плана решения задачи.
Для того, чтобы решить задачу составим уравнение. Введем переменную. Обозначим t встреч. = x ч. Применив формулу пути S = V · t, и используя то, что первый теплоход был в пути 45 мин=3/4 час, до выхода второго теплохода, составим уравнение. Из условия известно, что расстояние между пристанями А и В составляет 204 км. Учитывая то, что расстояние между пристанями, равно сумме расстояний, пройденных теплоходами до встречи, составляем уравнение:
3.Реализация плана решения задачи.
Решим уравнение.
Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти время движения до встречи теплоходов:
х = 2(ч)> 0. При подстановке числа в исходное уравнение получим верное ч равенство:
Ответ: через 2 часа теплоходы встретятся.