б) Задачи приводящие к квадратным уравнениям.
Турист проплыл по реке на лодке 6 км против течения и 15 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 час больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки в стоячей воде.
1.Анализ текста задачи
В задаче речь идет о движении по воде. Турист движется на лодке. Из условия задачи известно:
6 км – путь, пройденный туристом на лодке по реке против течения.
15 км – путь, пройденный туристом на лодке по озеру.
2 км/ч – скорость реки.
Известно, что время, затраченное на путь по озеру на 1 час больше, чем время, затраченное на путь по реке.
В задаче требуется найти собственную скорость лодки.
Оформим краткую запись задачи в виде таблицы. В таблице выделим отдельно столбцы для скорости лодки, времени в пути и расстояния. Так как в задаче речь идет о движении против течения реки и по озеру, то выделим две строки
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км | |
| Против течения реки | ? | ? | 6 |
| По озеру | ? | ? | 15 |
2.Составление плана решения задачи.
Обозначим через х (км/ч) собственную скорость лодки.
Зная скорость течения реки, найдем скорость против течения: (х – 2) км/ч.
Используя формулу: найдем время движения лодки против течения реки: (ч).
Собственная скорость лодки равна скорости движения лодки по озеру.
Используя формулу: найдем время движения лодки по озеру: .
Заполним таблицу.
По условию задачи, время, затраченное на путь по озеру на 1 час больше, чем время, затраченное на путь по реке.
Исходя из этого, составляем уравнение:
3.Реализация плана решения задачи.
Решаем уравнение:
По теореме Виета:
следовательно
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
Сделаем проверку, подставив в искомое уравнения полученные корни.
Равенство соблюдается, значит, числа 5 и 6 являются решением уравнения.
Собственная скорость лодки 5 (км/ч) и 6 (км/ч).
Ответ: собственная скорость лодки 5 (км/ч) и 6 (км/ч).
в) Задачи, приводящие к системе двух уравнений.
Человек в лодке начал грести против быстрой реки. Однако через 4 минуты лодка оказалась на 80 м ниже по течению. Развернув ее, он перестал грести, и пока он отдыхал, лодку снесло на 40 м. Затем он принялся грести по течению, причем лодка двигалась относительно воды с той же скоростью, как и первые 4 минуты, и прошла относительно берега еще 40 м. В целом, после разворота лодки прошло 100 секунд. Какова скорость течения реки?
Решение
1.Анализ текста задачи.
В задаче идет речь о движении по воде. Движется лодка. Из условия задачи известно, что через 4 минуты гребли против течения реки лодку отнесло на 80м ниже по течению, без гребли лодку отнесло еще на 40 м, и при гребле по течению реки лодка прошла относительно берега еще 40 м; после разворота лодки прошло 100 секунд. В задаче требуется найти скорость течения реки.
Оформим краткую запись задачи в виде таблицы. В таблице выделим отдельно столбцы для скорости лодки, времени в пути и расстояния, на которое лодку сносит. Так как в задаче речь идет о гребле против течения, о движение без гребли и гребли по течению. То выделим три строки.
2.Составление плана решения задачи
Обозначим скорость течения реки за х (км/ч), а собственную скорость лодки за у (км/ч).
Так как лодку сносит, при гребле против течения, то лодка движется вниз по течению со скоростью (х-у) м/мин и за 4 минуты проходит путь, равный
4(х-у) м.
После разворота, пока человек отдыхал, лодка прошла 40 м со скоростью х (м/мин), за время (мин). Когда человек греб по течению, то он прошел 40 м за время (мин). Заполним таблицу.
Используя условие задачи, составим систему уравнения:
3.Реализация плана решения задачи.
Решим систему уравнений.
Из первого уравнения находим Подставляя это значение во второе уравнение, получим квадратное уравнение:
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти скорость течения реки. Получили два корня: 40 м/мин и 6 м/мин. По условию (х – у) и из первого уравнения (х – у) = 20, следует, что х>20. Этому условию удовлетворяет лишь один корень 40 м/мин.
Ответ: скорость течения реки 40 м/мин.
2.2 Типизация задач «на работу» и методы их решения
К этому типу задач обычно относят задачи, в которых содержатся понятия «производительность труда», «время», «объем работы», «пропускная способность трубы», «количество перемещаемого вещества». Эти величины однотипны по математической зависимости между ними.
Обозначим производительность труда буквой p, время – буквой t, объем работы – буквой А, тогда рассматриваемые величины связываются зависимостью:
Все задачи на работу можно условно разделить на две группы:
― задачи, в которых выполняемый объем работы известен или его нужно определить (например, количество изготовленных деталей, количество гектар вспаханной земли, объем бассейна и т.д.);
― задачи, в которых вообще не сказано, какая работа выполняется или эта работа задана неявно (в таких задачах зачастую задано только время).
Задачи на работу также делятся на два типа:
— задачи, в которых выполняется раздельная работа — эти задачи решаются аналогично задачам на движение;
— задачи на совместную работу.
В задачах на работу мы ограничимся сочетанием типов задач по режиму работы и по виду уравнения его задающего.
Задачи на совместную работу при неизвестном объеме работы.
а) Задачи, приводящие к квадратным уравнениям
При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за
2 ч 55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос, работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить на 2 ч быстрее другого?
Решение
1.Анализ текста задачи
В задаче идет речь о работе. Работают два насоса. Из условия задачи известно, что при совместной работе пруд был очищен за 2 ч 55 мин, а работая по отдельности, один из насосов может выполнить эту работу на 2 часа быстрее. В задаче требуется найти время, необходимое для выполнения работы по отдельности каждому насосу.
Объем работы неизвестен, поэтому примем его за 1.
Краткую запись задачи оформим в виде таблицы с отдельными столбцами для производительности труда, времени работы и объем работы, а также с отдельными строками для работы в отдельности и совместной работы
2.Составление плана решения задачи.
Для того чтобы решить задачу нужно составить уравнение, поэтому введем переменную. В задаче требуется найти время, которое понадобится каждому насосу для выполнения работы по отдельности. По условию задачи, один из насосов, работая отдельно, выполнит работу на быстрее, чем другой. Поэтому обозначим время работы за х часов первого насоса, тогда второй насос выполнит работу за (х – 2) часов. Заполним таблицу, заменив знак «?» на х.
По формуле , получим уравнение:
3.Реализация плана решения
Преобразуем полученное уравнение в квадратное и решим его.
По условию, один из насосов, работая отдельно, выполнит работу за (х-2)час, т.е. х-2>0, х>2. Поэтому х=0,833 рассматривать не будем.
Итак, первый насос закончит работу за 7 часов, а второй за 5 часов.
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти время, которое понадобится каждому насосу, для выполнения работы по отдельности. Получили 7 часов и 5 часов.
При подстановке числа 7 в исходное уравнение, получим верное равенство.
По условию, насосы, работая вместе, выполнят работу за часа:
Ответ: первый насос закончит работу за 7 часов, а второй за 5 часов.
б) Задачи, приводящие к системе двух уравнений
Два комбайна, работая вместе, могут выполнить задание за 6 часов. Первый комбайн, работая один, может выполнить задание на 5 часов быстрее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?
Решение
1.Анализ текста задачи
В задаче речь идет о работе. Работают два комбайна. Выполняя работу вместе, они могут выполнить ее за 6 часов. Работая по отдельности, первый комбайн может выполнить задание на 5 часов быстрее. В задаче требуется найти время, которое понадобится второму комбайну для выполнения работы по отдельности. Объем работы неизвестен, поэтому примем его за 1.
Краткую запись задачи оформим в виде таблицы с отдельными столбцами для производительности труда, времени работы, объеме работы и с отдельными строками в отдельности и совместной работе.
2.Составление плана решения задачи.
Решим задачу с помощью системы двух уравнений, поэтому введем переменные. В задаче требуется найти время, которое понадобится второму комбайну для выполнения работы по отдельности. По условию, первый комбайн, работая один, выполнит работу на 5 часов раньше, поэтому за х часов обозначим время работы второго комбайна. Тогда первый комбайн выполнит работу за у= (х – 5) час. Заполним таблицу.
3.Реализация плана решения задачи.Составим систему уравнений:
Решим систему уравнений.
Во второе уравнение вместо переменной у, подставим ее значение.
Преобразуем второе уравнение и решим его.
По условию, первый комбайн, работая отдельно, может выполнить задание за (х-5) часов, т.е х-5>0; х>5. Поэтому х = 2 рассматривать не будем.
Итак, второй комбайн, работая один, выполнит работу за 15 часов, тогда первый комбайн, работая один, выполнит работу за 10 час.
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти время, которое понадобится первому комбайну, если он будет работать. Получили 10 час.
По условию задачи комбайны, работая вместе, выполнят задание за 6 часов:
6 = 6.
Ответ: первый комбайн, работая один, выполнит работу за 10 час.
2.Задачи с известным объемом работы
Задачи, связанные с известным объемом работы, решаются с помощью дробно – рационального уравнения
Ученик должен прочитать 200 страниц рассказа. Читая на 5 страниц больше, чем планировал, он прочитал рассказ на 2 дня раньше. Сколько страниц в день он читал?
Решение
1.Анализ текста задачи.
Задача на работу. Ученик читает рассказ. Из условия задачи известен объем работы – 200 страниц. Известно, что ученик читал на 5 страниц больше запланированного, поэтому закончил читать на 2 дня раньше. В задаче требуется найти количество прочитанных за день страниц на самом деле.
Краткую запись оформим в виде таблицы, где укажем режимы работы: запланировано и на самом деле.
В задаче требуется найти количество прочитанных страниц на самом деле.
2.Составление плана решения задачи.
Примем за х количество страниц в день, которое ученик должен прочитать по плану, тогда (х+5) страниц в день, ученик прочитал на самом деле.
Заполним таблицу, заменив знак «?» на х
По условию ученик прочитал книгу на 2 дня раньше запланированного времени. Исходя из этого, получаем уравнение:
3.Реализация плана решения задачи.
Решим уравнение.
(отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи, поэтому его рассматривать не будем);
– количество страниц в день по плану, тогда 20+5=25 – количество страниц в день, которое ученик читал на самом деле.
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти количество прочитанных за день страниц, в самом деле. Получили 25 стр/д .
Известно, что запланированное время превосходит затраченное на самом деле 2 дня.
10-8=2 (дня) – разница между запланированным временем и затраченное на самом деле.
Ответ: 25 страниц в день читал ученик.
3.Задачи, связанные с изменением режима работы
Задачи, связанные с изменением режима работы, решаются с помощью дробно – рационального уравнения.
Бригада рабочих должна была к определенному сроку прополоть овощные культуры. Начав работать на 2дня позже, чем было намечено первоначально, бригада перевыполнила дневную норму на 2 га и уже за 1 день до срока прополола 49 га, что составляло 98% задания. Какой срок был установлен бригаде для выполнения задания?
Решение.
1.Анализ текста задачи
В задаче идет речь о работе. Работает бригада рабочих, которая должна была к определенному сроку прополоть овощные культуры. Из условия задачи известно, что бригада начала работу на два дня позже, и закончила на один день раньше до срока, перевыполняя норму на 2 га. Значит бригада работала на три дня меньше запланированного. В задаче требуется найти срок, который был установлен бригаде для выполнения задания.
Оформим краткую запись задачи в виде таблицы, где укажем режимы работы по плану и факту. Так как 49 га составляют 98% объема работы, тогда весь объем работы будет равен ( :98)=50га
2.Составление плана решения задачи.
В задаче требуется найти срок, который был установлен бригаде для прополки. Обозначим за х запланированную производительность, тогда производительность по факту равна (х + 2) га/д. Заполним таблицу заменив знак «?» на х.
По условию, запланированное время больше затраченного на 3 дня, поэтому составляем уравнение:
(отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи, поэтому его рассматривать не будем);
Итак, запланированная производительность равна 5(га/д), тогда фактическая производительность равна 7 (га/д).
(дней) – время, которое было установлено бригаде для прополки овощей.
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти срок, который был установлен бригаде для сбора урожая. Получили 10 дней.
Известно, что запланированное время превосходит затраченное на самом деле на 3 дня:
10 – 7 = 3 (дня) – разница между запланированным временем и затраченным на самом деле.
Ответ: 10 дней было установлено бригаде для сбора урожая.
Выводы по второй главе.
Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания, и единственный метод такого обучения, это показ способа решения определенных видов задач и методов по овладению ими.
Во второй главе получили следующие результаты:
- Представлена типизация задач «на движение» по двум основаниям (по типу движения и по виду уравнения, его задающего).
- Представлена типизация задач «на работу» по двум основаниям (по режиму работы и по виду уравнения, его задающего).
- Выполнено решение системы упражнений задач «на движение» и «на работу».