б) Задачи, приводящие к квадратным уравнениям.
Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 24 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого, который выехал на 20 мин раньше второго, на 6 км/ч меньше скорости второго. Встретились велосипедисты на середине пути. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Решение.
Анализ текста задачи.
В задаче речь идет о движении, которое характеризуется тремя величинами: скорость, время, и расстояние. Велосипедисты двигаются навстречу друг другу. Из условия задачи известно, что первый велосипедист выехал на 20 мин раньше второго, и его скорость на 6 км/ч меньше, скорости второго велосипедиста. Расстояние между пунктами равно 24 км. Встретились велосипедисты на середине пути. Требуется найти скорость каждого велосипедиста.
Для оформления краткой записи задачи выполним схематический чертеж.
Из схемы видно, что велосипедисты встретились на середине пути.
2.Составление плана решения задачи.
Для того, чтобы решить задачу составим уравнение. Введем переменную.
Пусть х (км/ч) – скорость второго велосипедиста, тогда (х-6) (км/ч) — скорость первого велосипедиста; – время в пути второго велосипедиста, – время в пути первого велосипедиста.
По условию задачи известно, что первый велосипедист находится в пути до встречи на больше второго т.е > на , поэтому составляем уравнение:
3.Реализация плана решения задачи.
Приведем полученное уравнение к квадратному уравнению и решим его.
По теореме Виета:
х2 = — 12 — не удовлетворяет условию задачи.
Значит, скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч, а скорость первого велосипедиста, согласно условию задачи равна: 18 – 6 =12 км/ч.
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти скорости двух велосипедистов. Получили ответ : 12 км/ч и 18 км\ч. Оба ответа положительны и удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 12 км/ч, 18 км/ч.
в) Задачи, приводящие к системе двух линейных уравнений.
Два пешехода выходят на встречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км. Если первый выйдет на 2 часа раньше второго, то он встретит второго пешехода через 4.5 часа после своего выхода.
Если второй выйдет на 2 часа раньше первого, то он встретит первого пешехода через 5 ч после своего выхода. С какой скоростью идет каждый пешеход?
1.Анализ текста задачи
Задача на движение, которое характеризуется тремя величинами: скорость, время, и расстояние. Навстречу друг другу из двух пунктов движутся два пешехода. Из условия задачи известно, что если первый выйдет на 2 часа раньше второго, то он встретит второго пешехода через 4.5 часа после своего выхода. Если второй выйдет на 2 часа раньше первого, то он встретит первого пешехода через 5 ч после своего выхода. Известно также расстояние между пунктами, оно равно 30 км. Требуется найти скорость каждого пешехода.
Для оформления краткой записи задачи воспользуемся таблицей
| Скорость (км/ч) | Время до встречи (ч) | Расстояние до встречи (км) | ||
| 1 случай | 1 пешеход
| ? | 4,5 | ? |
| 2 пешеход | ? | 2,5 | ? | |
| Условие для составления уравнения | Расстояние между пунктами 30 км. | |||
| 2 случай | 1 пешеход
| ? | 3 | ? |
| 2 пешеход | ? | 5 | ? | |
| Условие для составления уравнения | Расстояние между пунктами 30 км. | |||
2.Составление плана решения задачи.
Введем переменные: х (км/ч) – скорость первого пешехода, у (км/ч) – скорость второго пешехода.
Рассмотрим первый случай.
Найдем расстояния, пройденные первым и вторым пешеходом. Первый пешеход прошел 4,5х (км), второй пешеход прошел 2,5у (км). Пользуясь условием задачи, что расстояние между пунктами равно 30 км, составляем уравнение:
Рассмотрим второй случай.
Найдем расстояния, пройденные первым и вторым пешеходом. Первый пешеход прошел 3х (км), второй пешеход прошел 5у (км). Пользуясь условием задачи, что расстояние между пунктами равно30 км, составляем уравнение:
Заполним таблицу, заменив знак «?» на х.
3.Реализация плана решения задачи.Составляем систему двух линейных уравнений:
Решим систему уравнений. Систему уравнений решим способом сложения. Для этого умножим первое уравнение на (-2).
Подставим во второе уравнение вместо переменной х, ее значение, и найдем переменную у.
Анализ и проверка правильности решения задачи
В задаче требовалось найти скорость каждого пешехода. Полученная пара чисел (5,3) является решением системы уравнений.
Ответ: скорость первого пешехода равна 5 км/ч, скорость второго пешехода равна 3 км/ч.
г) Задачи, приводящие к системе линейного и дробно- рационального уравнений.
Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу, выходят два поезда и встречаются через 3 часа. На весь путь первый поезд тратит на 1ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.
1.Анализ текста задачи
Задача на движение, которое характеризуется тремя величинами: скорость, время, и расстояние. Навстречу друг другу из двух городов движутся два поезда. Время, затраченное каждым поездом до встречи равно 3 часам. Расстояние между городами равно 270 км. Известно, что на весь путь первый поезд тратит на 1ч 21 мин больше, чем другой. Требуется найти скорость каждого поезда.
Для оформления краткой записи задачи воспользуемся таблицей
2.Составление плана решения задачи.
Введем переменные: х (км/ч) – скорость первого поезда, у (км/ч) – скорость второго поезда.
Согласно условию задачи составим первое уравнение.
Найдем пройденное расстояние до встречи первым поездом и вторым поездом. Для этого воспользуемся формулой S=v∙t. Тогда расстояние, пройденное первым поездом до встречи равно 3х (км), а пройденное расстояние до встречи вторым поездом равно 3у (км).
По условию задачи расстояние между городами равно 270 км. Так как сумма расстояний, пройденных первым и вторым поездами равна расстоянию между двумя городами, можно составить уравнение:
Согласно условию задачи составим второе уравнение.
Найдем время, затраченное первым и вторым поездами на весь путь. Воспользуемся формулой:
Из условия задачи известно, что на весь путь первый поезд тратит на 1час 21 мин больше, чем другой.
Составляем уравнение:
Составляем систему уравнений:
3.Реализация плана решения задачи.
Решаем систему уравнений с двумя переменными.
Разделим первое уравнение на 3. Получаем:
В первом уравнении выразим х через у, а во втором уравнении приведем к общему знаменателю.
Умножим во втором уравнении левую и праву части на 20ху. Получаем:
Подставим во второе уравнение вместо переменной х, ее значение.
у2+310у-1800=0
y2 = -360 – не удовлетворяет условию задачи
Подставим в первое уравнение вместо переменной у, и найдем ее значение.
Анализ и проверка правильности решения задачи
В задаче требовалось найти скорость каждого поезда. Полученная пара чисел является решением системы уравнений с двумя переменными
Итак, полученный ответ не противоречит условию задачи, поэтому записываем ответ: 40 км/ч – скорость первого поезда, 50 км/ч – скорость второго поезда
Движение в одном направлении
Если один объект (скорость х) догоняет другой (скорость у), выходя из того же пункта спустя время t, то расстояние s, на котором произойдет встреча, можно найти из уравнения , откуда, в частности,
Если первоначальное расстояние между двумя объектами , один из которых (скорость у) догоняет другой (скорость х), равно S, то время t, через которое второй объект догонит первый. Можно найти из уравнения
ty – tx=S, т.е t =
а) Задачи, приводящие к линейным уравнениям
С турбазы в город, отстоящий на расстоянии 50 км, выехал велосипедист. Спустя 2 ч 30 мин вслед за ним выехал другой велосипедист со скоростью, в2,5 раза превышающей скорость первого велосипедиста. Второй велосипедист прибыл в город одновременно с первым. Найдите скорость первого велосипедиста.
1.Анализ текста задачи
Из условия задачи известно: в одном направлении с разными скоростями двигаются два велосипедиста, причем второй велосипедист выехал на 2 час 30 мин позже, чем первый. Второй велосипедист прибыл в город одновременно с первым. Расстояние между турбазой и городом равно 50 км. Требуется найти скорость первого велосипедиста.
Для оформления краткой записи задачи воспользуемся таблицей
Удобнее ввести переменную, затем по условию заполнить таблицу.
2.Составление плана решения
Пусть х км/ч – скорость первого велосипедиста, тогда согласно условию задачи, скорость второго велосипедиста будет равна 2,5 км/ч.
Используя формулу , найдем время, затраченное на весь путь первым велосипедистом: ,
– время, затраченное на весь путь, вторым велосипедистом.
По условию задачи первый велосипедист был в пути на 2 ч 30 мин= 2,5 (ч) больше, чем второй, т.е. > на 2,5 , поэтому составляем уравнение:
3.Реализация плана решения.
Решим уравнение.
Приравняем к нулю и приведем к общему знаменателю.
Анализ и проверка правильности решения задачи.
задаче требовалось найти скорость первого велосипедиста. При подстановке числа в исходное уравнение получим верное равенство:
Ответ: 2,5 км/ч – скорость первого велосипедиста.
б) Задачи, приводящие к квадратным уравнениям.
Два автобуса отправились одновременно из города в пионерлагерь, расстояние до которого 72 км. Первый автобус двигался со скоростью, превышающей скорость второго автобуса на 4 км/ч, и прибыл в пионерлагерь на 15 мин раньше, чем второй автобус. Найдите скорость каждого автобуса.
Решение
1.Анализ текста задачи
Из условия задачи известно: одновременно начали движение два автобуса. Скорость первого автобуса на 4 км/ч больше скорости второго автобуса. Расстояние между городом и пионерлагерем равно 72 км. Автобус, скорость которого больше, был в пути на 15 минут меньше. В задаче требуется найти скорость каждого автобуса.
Краткая запись задачи:
S=72 км
I авт. – на 4 км/ч > чем на 15 мин ˂ был в пути, чем
II авт. — ? км/ч
Найти скорость каждого автобуса.
2.Составление плана решения задачи.
Обозначим: х (км/ч) – скорость второго автобуса, тогда (х + 4) (км/ч) – скорость первого автобуса. Используя формулу , найдем: время, затраченное вторым автобусом на весь путь, время, затраченное на весь путь первым автобусом.
Получаем таблицу:
По условию задачи второй автобус был в пути на 15 мин = ч больше, чем первый, т.е. > на , поэтому составляем уравнение:
3.Реализация плана решения задачи.
Решим уравнение:
Перенесем все в одну часть, приравняем к нулю. Приведем к общему знаменателю. Получим:
(не удовлетворяет условию задачи);
х1 =32 (км/ч) – скорость второго автобуса;
4 = 36 (км/ч) — скорость первого автобуса.
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти скорость каждого автобуса: 36 км/ч (> 0),
32 км/ч (> 0). По условию задачи скорость первого автобуса на 4 км/ч больше скорости второго автобуса: 36 – 32 = 4 (км/ч).
Ответ: скорость первого автобуса 36 км/ч, скорость второго автобуса 32 км/ч.
Движение с изменениями в режиме движения.
1) Движение с задержкой в пути
Если на перегоне S произошла задержка движения (скорость v) на время t, то скорость х, с которой объект должен продолжать движение, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, находится из уравнения:
а) Задачи, приводящие к квадратным уравнениям.
Мотоциклист предполагал проехать расстояние 90 км за определенное время. Проехав 54 км, он должен был остановиться у закрытого шлагбаума на 5 мин. Продолжая движение, он увеличил скорость на 6 км/ч и прибыл к месту назначения в намеченное время. Найти первоначальную скорость мотоциклиста.
1.Анализ текста задачи.
В задаче идет речь о движении с задержкой в пути. По условию задачи, мотоциклист предполагал проехать расстояние 90 км за определенное время, но проехав 54 км, он задержался у шлагбаума на 5 мин. Поэтому, чтобы прибыть к месту назначения в намеченное время, он увеличил скорость на 6 км/ч. В задаче нужно найти первоначальную скорость мотоциклиста.
Оформим краткую запись задачи с помощью таблицы.
2.Составление плана решения задачи.
В задаче требуется найти первоначальную скорость мотоциклиста. Обозначим искомую величину за х – скорость мотоциклиста до остановки, тогда (х+6) км/ч – скорость мотоциклиста после остановки. Воспользуемся формулой , первоначально найдем время , за которое мотоциклист предполагал проехать расстояние 90 км :
время, затраченное велосипедистом до остановки, после остановки. — время, затраченное велосипедистом после остановки.
Заполним таблицу, заменив знак «?» на х.
Составляем уравнение:По условию задачи, мотоциклист задержался у шлагбаума на 5 мин =
3.Реализация плана решения задачи.
Преобразуем полученное уравнение в квадратное и решим его.
x2 = — 54(отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи)
х1 = 48 (км/ч) – первоначальная скорость мотоциклиста.
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти первоначальную скорость мотоциклиста.
Получили 48 км/ч (>0).
При подстановке числа в исходное уравнение получим верное равенство:
Ответ: 48 (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста.
2) Другие изменения в режиме движения
а) Задачи, приводящие к линейным уравнениям
Пешеход с начало шел в гору со скоростью 3 км/ч, а затем спускался с нее со скоростью 5 км/ч. Найдите весь путь, проделанный пешеходом, если дорога в гору на 1 км длиннее спуска, а на весь путь было затрачено 3 ч.
1.Анализ текста задачи
В задаче идет речь о пешеходе, который первоначально шел в гору, а затем спускался с нее, при этом дорога в гору на 1 км длиннее спуска. Время, затраченное на весь путь равно 3 часа. Требуется найти весь путь, пройденный пешеходом.
Оформим краткий анализ задачи в виде таблицы со столбцами, отведенными для скорости, времени и расстояния, и со строками на которых режимы движения изменены.
2.Составление плана решения задачи
В задаче известно, что путь в гору на 1 км длиннее спуска. Обозначим через х(км) – путь с горы, тогда (х +1) км – путь в гору. Используя формулу , найдем время, которое пешеход затратил на подъем в гору: (ч), время затраченное пешеходом при спуске равно (ч).
Заполним таблицу, заменив знак «?» на переменную х.
По условию задачи, время затраченное на весь путь пешеходом, равно 3 часа. Составим уравнение:
3.Реализация плана решения задачи.
Преобразуем полученное уравнение в линейное и решим его.
Итак, путь с горы 5 км, а путь в гору равен 5 + 1 = 6 (км).
Общий путь, пройденный пешеходом равен: 5 + 6 = 11 (км)
4.Анализ и проверка решения задачи.
В задаче требовалось найти общий путь. Время затраченное при подъеме в гору равно : (ч), а время затраченное при спуске равно: .
Весь путь равен сумме расстояний, которое прошел пешеход. Имеем:
11=11
Ответ: 11 км – весь путь, пройденный пешеходом.
б) Задачи, приводящие к квадратным уравнениям
Повысив скорость поезда на 10 км/ч, удалось сократить время на 1 ч, затрачиваемое поездом на прохождение пути в 720 км. Найдите первоначальную скорость поезда.
1.Анализ текста задачи.
В задаче идет речь о движении поезда. Из условия известно, что поезд прошел путь в 720 км со скоростью, превышающий первоначальную на 10 км/ч, что позволило сэкономить 1 час времени. В задаче требуется найти первоначальную скорость поезда.
Для оформления краткой записи, составим таблицу.
2.Составление плана решения задачи.
В задаче требуется найти первоначальную скорость. Обозначим ее за х – первоначальная скорость поезда. Тогда, скорость поезда на самом деле равна (х+10) км/ч. Заполним таблицу, заменив знак «?» на х.
Составляем уравнение:Составим уравнение. По условию, поезд сэкономил время в пути на 1 час. По формуле (где х – первоначальная скорость поезда, (х+а) – скорость поезда на самом деле).
3.Реализация плана решения.
Преобразуем полученное уравнение в квадратное и решим его.
(не удовлетворяет условию задачи)
(км/ч) – первоначальная скорость поезда.
4.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти первоначальную скорость поезда. Получили 80 км/ч(>0). При подстановке в исходное уравнение, получим верное числовое равенство:
9 – 8 = 1
1=1.
Ответ: первоначальная скорость поезда равна 80 км/ч.
в) Задачи, приводящие к системе двух уравнений
Путь от поселка до станции идет сначала в гору, а потом под гору, при этом длина всей дороги равна 9 км. Пешеход на подъеме идет со скоростью, на 3 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от поселка до станции у него занимает 2 ч, а обратный путь 2 ч 30 мин. Определите длину подъема со стороны поселка и скорость пешехода на подъеме и спуске.
Решение
Анализ текста задачи
В задаче идет речь о движении пешехода от поселка до станции. Пешеход идет первоначально в гору, а потом под гору, при этом длина всей дороги равна 9 км. Из условия известно, что скорость пешехода на подъеме со стороны поселка, меньше чем на спуске, при этом путь от поселка до станции у него занимает 2 ч, а обратный путь 2 ч 30 мин. Требуется определить длину подъема со стороны поселка и скорость пешехода на подъеме и спуске.
Для оформления краткой записи составим таблицу
Составление плана решения задачи.
Рассмотрим движение пешехода от поселка до станции.
При подъеме в гору скорость пешехода примем за х (км/ч), а пройденный путь за у (км).
Так как скорость при спуске на 3 км/ч больше, чем при подъеме в гору, то скорость при спуске равна (х + 3) км/ч, а пройденный путь (9 — у) км.
Заполним таблицу, заменив знак «?» на х и у.
Из условия задачи, время, затраченное от поселка до станции равно 2 часа.
Исходя из этого, составляем уравнение:
Рассмотрим движение пешехода от станции до поселка.
При подъеме в гору скорость пешехода примем за х (км/ч), а пройденный путь равен (9 — у) км.
Так как скорость при спуске на 3 км/ч больше, чем при подъеме в гору, то скорость при спуске равна (х + 3) км/ч, а пройденный путь равен у (км).
Заполним таблицу, заменив знак «?» на х и у.
Из условия задачи, время затраченное от станции до поселка равно2 ч 30 мин = часа.
Исходя из этого, составляем уравнение:
3.Реализация плана решения задачи.
Составим систему уравнений с двумя неизвестными и найдем ее решение.
Решаем квадратное уравнение
ǀ: (-9)
По теореме Виета:
(км/ч) — скорость на подъеме. Тогда 3+3=6 (км/ч) – скорость при спуске.
— (не удовлетворяет условию задачи)
Найдем значение у.
(км) – длина подъема со стороны поселка.
4.Анализ и проверка решения задачи.
В задаче требовалось определить длину подъема со стороны поселка и скорость пешехода на подъеме и спуске.
Получили: (км/ч) — скорость на подъеме; 6 (км/ч) – скорость при спуске; (км) – длина подъема со стороны поселка. При подстановке чисел в исходную систему уравнений, получим верные числовые равенства.
Ответ: (км/ч) — скорость на подъеме; 6 (км/ч) – скорость при спуске; (км) – длина подъема со стороны поселка.
4.Движение по воде.
В задачах на движение по воде рассматриваются две основные скорости:
1.Собственная скорость движущегося объекта ( катера, лодки и т.д.), т.е. скорость в стоячей воде.
Скорость течения реки.
Если скорость реки и собственная скорость не известны в задаче, то именно их обозначают переменными. Другие скорости можно выразить через основные скорости.
Vс. — собственная скорость,
Vтеч. — скорость течения,
V по теч. — скорость по течению,
V пр.теч. — скорость против течения.
Тогда можно записать следующие формулы:
V np. теч = Vc — V теч;
V np. теч = Vc — V теч.;
а) Задачи, приводящие к линейным уравнениям
Моторная лодка прошла 7 ч по течению и 6 ч против течения. Определите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, и за все путешествие лодка прошла 132 км.
Решение
1.Анализ текста задачи
В задаче идет речь о движении по воде. Движется моторная лодка. Из условия задачи известно, что по течению моторная лодка плывет 7 часов, а против течения 6 часов. Собственная скорость лодки равна 10 км/ч. Расстояние пройдённое лодкой равно 132 км. Требуется найти скорость течения реки. Оформим краткую запись текста задачи в виде таблицы.
1.Составление плана решения задачи
Для того, чтобы решить задачу, нужно составить уравнение. Для этого нужно ввести переменную. Обозначим за х (км/ч) скорость течения реки. Тогда, скорость моторной лодки по течению равна (х+10) км/ч, против течения (10-x) км/ч.
Используя формулу зависимости между расстояние, скоростью и временем (S = vt), найдем расстояние, которое моторная лодка проходит по течению реки: км; и расстояние, пройденное против течения реки:
Получаем следующую таблицу:
Из условия задачи известно, что расстояние, пройдённое лодкой равно 132 км. Пройденное расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения. Составляем уравнение:
2.Реализация плана решения задачи.
Решим уравнение:
3.Анализ и проверка правильности решения задачи.
В задаче требовалось найти скорость течения реки: 2 км/ч (>0). При подстановке числа в исходное уравнение получим верное равенство:
132 = 132.
Значит число 2 — корень уравнения.
Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.